同济大学高等数学第六版第七章第五节可降阶的高阶微分方程

1、某些二阶微分方程某些二阶微分方程变量代换变量代换一阶微分方程一阶微分方程可降阶的微分方程可降阶的微分方程降阶法降阶法一一. 型的微分方程型的微分方程) ,( yxfy 二二. 型的微分方程型的微分方程) ,( yyfy 五、小结五、小结 思考题思考题型型的的微微分分方方程程二二、),(yxfy ),(yyfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程),(yyfy ( )( )nyf x一一、型型的的微微分分方方程程四、齐次方程四、齐次方程第四节 可降阶的高阶微分方程（differential equation of higher order）定义：二阶及二阶以上的微分方程统称为 高阶微分方程。一般

2、形式为：注：一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降阶。( )( , , , ,)0.nF x y y yy( )( )nyf x一、型的微分方程解法：解法：特点：特点：.x等等式式右右端端仅仅含含有有自自变变量量(1)1(2)12( ).( )nnyf x dxCyf x dxC dxC 则同理可得依次积分下去，就可得通解依次积分下去，就可得通解.( )( )nyf x在两边积分cosyxx例. 求微分方程的通解.例.3sin2的的通通解解求求微微分分方方程程xeyx 解解次次，得得对对所所给给方方程程连连续续积积分分两两123cos321cxeyx 2123sin941cx

3、cxeyx ( , )yf x y二、型的微分方程py 设设,pdxdpy 则则特点：特点：. y 右右端端不不显显含含未未知知函函数数解法：解法：. ），（方程变为方程变为pxfp 关于关于x, p的的一一阶微分方程，设其通解为阶微分方程，设其通解为),(1Cxp 即即),(1Cxdxdyp 故方程的故方程的 通解为：通解为：21CdxCxy ),( 例(5)(4)0.xyy求微分方程的通解例0.xyy求微分方程的通解例例. 求微分方程求微分方程 yxyx 212)(满足初满足初始条件始条件3 100 xxyy,的特解的特解.)( )1()1ln(ln .12 , 12122CeCxCypC

4、xpdxxxpdppy 即即两两端端积积分分得得可可得得代代入入方方程程并并分分离离变变量量后后设设解解：. 13 3 xxy所求特解为所求特解为 33 10 Cyx，得，得由条件由条件233Cxxy 积分得积分得 )1(3 2xy 故故1120 Cyx得得又又由由条条件件三、三、 ),(yyfy 型型特点：特点：方程中不明显地含有自变量方程中不明显地含有自变量x.解法：解法：)(ypy 设设,dydPpdxdydydpy 则则方程化为关于方程化为关于y , p 的一阶微分方程的一阶微分方程),(pyfdydpp 设它的通解为：设它的通解为：),(1Cypy 分离变量并积分，可得原方程的通解为

5、：分离变量并积分，可得原方程的通解为：.),(21CxCydy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解一解一,dydPpy 则则),(ypy 设设代入原方程得代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xCeCy 所以原方程的通解为所以原方程的通解为，即即yCdxdy1 例例 解二解二,12y两端同乘不为零因子两端同乘不为零因子, 0)(22 yydxdyyyy,1yCy 故故从而通解为从而通解为.12xCeCy 解三解三原方程变为原方程变为,yyyy 两边积分两边积分,得得，1lnlnlnCyy ，即即yCy1 原方程

6、的通解为原方程的通解为.12xCeCy 例例 求方程求方程 的通解。的通解。2 ( )0yyyy例例 求方程求方程 的通解。的通解。23 ( )( )0yyyy特点：特点：解法：解法：),(),()()(nknyyyxFttyy ttyxF 次次齐齐次次函函数数k zdxey可通过变换可通过变换).(,xz得新未知函数得新未知函数将其降阶将其降阶, zdxzey,)(2 zdxezzy,),()1()( zdxnnezzzy四、齐次方程四、齐次方程, zdxke代入原方程并消去代入原方程并消去( )( , ,)0nF x y yy阶方程阶方程的的得新函数得新函数)1()( nxz. 0),()

7、1( nzzzxf.)(22的通解的通解求方程求方程yxyyyx 解解, zdxey设设代入原方程代入原方程,得得,122xzxz ,121xCxz 解其通解为解其通解为.1212)1(xCdxxCxxeCey 原方程通解为原方程通解为例例.2的通解的通解求方程求方程yyyxyxy 解解, zdxey设设，zxz ,xCz 解其通解为解其通解为.212xCCxdxeCey 原方程通解为原方程通解为代入原方程代入原方程,得得例例 五、小结五、小结通过适当的变量代换降阶求解下列方程通过适当的变量代换降阶求解下列方程( )nyf x( ),(yxfy ),(yyfy 齐次方程齐次方程逐次积分令, )(xpy xpydd 则令, )(ypy yppydd