统计学常用分布及其分位数

1、统计学常用分布及其分位数§ 1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当XI、X2、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z二的分布称为自由度等于n的分布，记作Z(n),它的分布密度p(z尸式中的=,称为Gamm函数，且=1,二。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y(n),Z(m),则Y+入(n+m)。证明：先令XI、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+mf互独立且都服从N(0,1)，再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y=X+X+X,Z=X+X+X,Y+

2、Z=X+X+-+X+X+X+-+X,即可得到Y+Z(n+m)。2. t分布若X与Y相互独立，且XN(0,1),Y(n),则Z=的分布称为自由度等于n的t分布，记作Zt(n),它的分布密度P(z)=。请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时，t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3. F分布若X与Y相互独立，且X(n),Y(m),则2=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作ZF(n,m),它的分布密度p(z)=请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当ZF(

3、n,m)时，F(m,n)。4. t分布与F分布的关系若Xt(n),则F(1,n)。证：Xt(n),X的分布密度p(x)=。Y=X的分布函数F(y)=PY<y=PX<y。当y0时，F(y)=0，p(y)=0；y>0时，F(y)=P-<X<=2，Y=X的分布密度p(y尸，与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X-F(1,n)。为应用方便起见，以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表。有关分位数的概念如下：4.常用分布的分位数1)分位数的定义分位数或临界值与随机变量的分布函数有关，根据应用的

4、需要，有三种不同的称呼，即分位数、上侧0c分位数与双侧0c分位数，它们的定义如下：当随机变量X的分布函数为F(x),实数0c满足0<%<1时，a分位数是使PX<Xa=F(Xa)=a的数Xa,上侧口分位数是使PX>入=1-F(入尸口的数入，双侧口分位数是使PX<入1=F（入1）=0.5%的数入1、使PX>入2=1-F（入2）=0.5%的数入2。因为1-F（入尸口,F（入）=1-0c,所以上侧口分位数入就是1-%分位数x1-%;F（入1）=0.5%,1-F（入2）=0.5%,所以双侧口分位数入1就是0.5%分位数x0.5%,双侧分位数入2就是1-0.5%分位数x

5、1-0.5%。2）标准正态分布的分位数记作ua,0.5%分位数记作u0.5%,1-0.5%分位数记作u1-0.5%。当XN（0,1）时，PX<ua=F0,1（u%）=%,PX<U0.5a=F0,1（u0.5a）=0.5a,PX<u1-0.5a=F0,1（u1-0.5a）=1-0.5%。根据标准正态分布密度曲线的对称性，当a=0.5时，ua=0；当a<0.5时，ua<0。u%=-u1-民。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数，则先查出U1-%,然后得到U%=U1-oco论述如下：当XN(0,1)时，PX<u%=F0,1(u%)=%,PX<u1

6、-%=F0,1(u1-%尸1-%,PX>u1-%=1-F0,1(u1-%)=%,故根据标准正态分布密度曲线的对称性，u%=-u1-%。例如，u0.10=-u0.90=-1.282，u0.05=-u0.95=-1.645，u0.01=-u0.99=-2.326，u0.025=-u0.975=-1.960，u0.005=-u0.995=-2.576。又因为P|X|<u1-0.5%=1-0c,所以标准正态分布的双侧口分位数分别是u1-0.5%和-u1-0.5%。统计学常用分布及其分位数标准正态分布常用的上侧0c分位数有：%=0.10,u0.90=1.282;%=0.05,u0.95=1.

7、645;%=0.01,u0.99=2.326;%=0.025,u0.975=1.960;%=0.005,u0.995=2.576。3)卡平方分布的分位数记作(n),%(n)>0,当X(n)时，PX<%(n)=%统计学常用分布及其分位数例如，0.005(4)=0.21，0.025(4)=0.48，0.05(4)=0.71，0.95(4)=9.49，0.975(4)=11.1，0.995(4)=14.9。4) t分布的分位数记作t%(n)。当Xt(n)时，PX<t0c(n)=%,且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性，也有t%(n)=-t1-%(n),论述同ua=-u

8、1-%。例如，t0.95(4)=2.132，t0.975(4)=2.776，t0.995(4)=4.604，t0.005(4)=-4.604，t0.025(4)=-2.776，t0.05(4)=-2.132。另外，当n>30时，在比较简略的表中查不到t%(n),可用ua作为t%(n)的近似值。5) F分布的分位数记作Fa(n,m)。Fa(n,m)>0，当XF(n,m)时，PX<F%(n,m)二%。另外，当0c较小时，在表中查不出F%(n,m),须先查F1-%(m,n),再求Fa(n,m)=。论述如下：当XF(m,n)时，PX<F1-%(m,n)=1-%,P>=1-

9、%,P<=%,又根据F分布的定义，F(n,m),P卜F%(n,m)=0c,因此Fa(n,m)=。例如，F0.95(3,4)=6.59，F0.975(3,4)=9.98，F0.99(3,4)=16.7，F0.95(4,3)=9.12，F0.975(4,3)=15.1，F0.99(4,3)=28.7，F0.01(3,4)=，F0.025(3,4)=，F0.05(3,4)=。【课内练习】1. 求分位数0.05(8)，0.95(12)。2. 求分位数t0.05(8)，t0.95(12)。3. 求分位数F0.05(7,5)，F0.95(10,12)统计学常用分布及其分位数4. 由u0.975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数。5. 由t0.95(4)=2.132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。6. 若X(4),PX<0.711=0.05,PX<9.49=0.95,试写出有关的分位数。7. 若XF(5,3),PX<9.01=0.95,YF(3,5),Y<5.41=0.95，试写出有关的分位数。8. 设X、X、X相互独立且都服从N(0,0.09)分布，试求P>1.44。习题答案：1.2.73,21.0。2.-1.860,1.782。3.，3.37。4.1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数