线性代数总结分析

1、线性代数总结概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确A可逆r（A）=nA勺列（行）向量线性无关A勺特征值全不为0A #0uAx=口只有零解uVx#口，Ax#oV?Rn,Ax=P总有唯一解ATA是正定矩阵A=EA=P1P2-pspi是初等阵、存在n阶矩阵B,使彳#AB=E或AB=E：全体n维实向量构成的集合Rn叫做n维向量空间.A不可逆r（A）<nA=0u<A的列（行）向量线性相关0是A的特征值Ax有非零解,其基础解系即为A关于0=0的特征向量r（aEbA）:naE+bA|=ou（aE+bA）x=。有非零解向量组等价三t反身性、对称性、传递性矩阵等价（三）矩阵相似（

2、|_）矩阵合同（|_）v关于e,e2,en称为Ln的标准基，1n中的自然基，单位坐标向量P教材87 'e,e2,en线性无关;e，e2,©=1；trE=n；任意一个n维向量都可以用e1,e2,en线性表示a11a12IIIa1na21a22IIIa2n+i*an1an2IIIann行列式的定义Dn='、(-1)(jlj2"|jn)aijia2j2l|anjnj1j2|l，jnV行列式的计算:行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零

3、若A与B都是方阵（不必同阶）AO，则OB=AB«1)mn A B（拉普拉斯展开式）8上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积关于副对角线:a2n Ja2n Jn（n J）=（1）Fa1na2n|an1 （即：所有取自不同行不an1同列的n个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式:X12X1X22X2二n1 _j ：i_nXi -XjnX1nX2IIInXn矩阵的定义 由m父n个数排成的伴随矩阵 A =（A ）A21A22川IIIAn1An2A2nIlla11a12IIIana21+a224IIIa2ni+am1«am2IIIamnm行n列的表A称为铲n矩阵.记作：A

4、 = （aijL或Aj为A中各个元素的代数余子式V逆矩阵白求法：A4bfdjd-bad-bcca主换位副川变号(AE)_"Ut(E：A)门a1aia3a2a2a2a2a3a3V方阵的哥的性质：AmAn=Am*(Am)n=(A)mnV7设AmaBn,A的列向量为«1,«2,的列向量为I,'则AB=Cms=：1,二2,M由11b21b12b22川IIIbjb2s=cl,c2,111,cs仁A-i=G(i=1,2，川，s)uPi为bn2IllAx=c的解ttA(?1,P2,Ps)=(Ap1,AP2,APs)=(q,C2川,Q六GCJII,Q可由%,%,On线性表

5、示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示,B为系数矩阵.同理：C的行向量能由B的行向量线性表示,AT为系数矩阵.即:ana12a21a22IIIIIIa1nV用对角矩阵AClc2ana21"a12-2IH-aln：2=c1'1'a22-2IH'a2n'2-c2an2IIIamn.八IHIam1：1aIIIm2-2IHamn'2二cm,相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的初向量;用对角矩阵A后乘一个矩阵，相当于用A的对角线上的各元素依次乘此矩阵的V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘V分块矩阵的转置矩阵:分块矩阵的逆矩阵:分块对

6、角阵相乘:<CDJATBTA，A4,B=aVB4_1ACBB1A-1-b,ca"B22JARA22B22/AnA22分块对角阵的伴随矩阵:*,*BA厂A(1)mnAB八<BJ=(1)mnBA冲，13V矩阵方程的解法（A#0）：设法化成（I）AX=B或（II）XA=B（I）的解法：构造（A出）一竺t（E遥）（II）的解法：将等式两边转置化为ATXT=BT,用（I）的方法求出XT,再转置得X 零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关.（向量个数变动） 原向量组无关，接长向量

7、组无关；接长向量组相关，原向量组相关.（向量维数变动） 两个向量线性相关u对应元素成比例；两两正交白非零向量组线性无关p教材114. 向量组%,4,pn中任一向量叫（1wiwn）都是此向量组的线性组合. 向量组3，网,，玛线性相关u向量组中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表示.向量组ai,ot2,;4线性无关u向量组中每一个向量都不能由其余n-1个向量线性表示. m维列向量组a1,a2,an线性相关ur（A）n；m维列向量组%,4,14线性无关ar（A）=n.若%P2,线性无关，而1alp2,-,«n,P线性相关，则P可由%,%，'I外线性表示，且表示法唯一.矩阵的行向

8、量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩.行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.行阶梯形矩阵|可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为标而形矩阵?矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系；矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系.即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对A施行一次初等变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵迷)乘A;对A施行一次初等到)变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵乘A.矩阵的秩|

9、如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r+1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)=r向量组的秩|向量组四，a?,"I，a口的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记彳rQi,a2,|,an)矩阵等价|A经过有限次初等变换化为B.记作：A空B向量组等价%,a2，,，'和P1，P2,，Pn可以相互线性表示.记作：(02,清出，P2,',，Pn)?矩阵A与B等价uPAQ=B,P,Q可逆ur(A)=r(B),A,B为同型矩阵分A,B作为向量组等价，即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价=厂(叫,”,Un)=r(A,鼠,丸)=r(ai,a2,，

10、“，01凡，,联)二矩阵A与B等价.?向量组及P2,1Ps可由向量组叫，口2,口n线性表示UAX=B有解ur(«i«2,9尸r(«i«2,“邛1邛2,",Ps)=11月，Ps)w(%,匕，Qn).?向量组团葭,其可由向量组%,%,1%线性表示，且sAn,则白，尾，一，久线性相关.向量组?1,?2,，久线性无关，且可由%,%,线性表示，则swn.?向量组耳尾，,其可由向量组«1«2,；an线性表示，且逆1,久，1久)=(,。2,1%)，则两向量组等价；ptt94,例10?任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关

11、组等价.?向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定?若两个线性无关的向量组等价，则它们包含的向量个数相等.?设A是mn矩阵，若r(A)=m,A的行向量线性无关；若r(A)=n,A的列向量线性无关，即：%,%,一,4线性无关.V矩阵的秩的性质：若A#Our(A)>1若A=Our(A)=00&r(Am)&min(m,n)Dr(A)=r(AD=r(ATA)履材101,例15r(kA)=r(A)若k#0*r(A)r(B)wn右Amr(AB)=0=b的列向量全部是ax=o的解r(AB)wminr(A),r(B)即：可逆矩阵不影响矩阵的秩若A可逆r(AB)=r(B)

12、若B可逆r(AB)=r(A)若r(Am>n)=n«Ax=o只有零解r(AB)=r(B)A在矩阵乘法中有左消去律AB=O=B=OAB=AC=B=C若r(Bns)=n=r(AB)=r(B)B在矩阵乘法中有右消去律若r(A)=r=A与唯一的ErO等价，称ErOi为矩阵A勺等价标准型9OjeO)maxlr(A),r(B)<r(A,B)&r(A)+r(B)想材7。r(A土B)wr(A)+r(B)9BJ,BA'O=r(A)r(B)AC)=r(A)r(B)上人乂=有无穷多解一上巴二|A=0<n"表示法不唯一P可由巴,。2，,4线性表示U人乂 = 

13、3;有解之r(A)=r(AP)«二%22,川Qn线性相关UAx=0有非零解Ax=p有唯一组解一刍叱三二|A=0;克莱姆法则表示法唯一%,“*|,c(n线性无关uAx=口只有零解15F不可由31P2，,4线性表示仁Ax=P无解杓Ir(A);r(A：)r(A)二r(A述)r(A)1=r(A：)教材72讲义87/Ax=P有无穷多解(二)其导出组有非零解等:/，/Ax=P有唯一解；二;其导出组只有零解线性方程组的矩阵式011队IIIa1 nGJ%、a21a22IIIa2nX2Rb2.,x =P = ,X*+ib*qF+kam1am2IIIamn /xn J<bm J向量式IxQi+x2

14、口2+川+%=Pa)1jGj=：2j,j=1,2川，n+mjjA'(«1«2,HI«n)x2=P+矩阵转置的性质：(AT)T=A(AB)T=BTAT(kA)T=kATAT=A(A土B)T=AT土BT(A/)T=(AT)(A)=(A*)T矩阵可逆的性质：11(A，)=A_111(AB)=BA111(kA)=kAA，卜A，_111(A±B)#A土B(A/)k=(Ak)二A伴随矩阵的性质：(AY=An?A(AB)*=B*A*(kA)*=kn-1A*|a1=N*(A土B)#A±B6）“=吠）专(Ak=(a»n若r(A)=nr(A)=&

15、lt;1若r(A)=n-1/若r(A)<n-1|ab|=Ab|kA=kn|AAk=IAkA土B#A±|BAA=AA=AE（无条件恒成立）'尸2是Ax=口的解，+“2也是它的解b齐次方程组(2)”是Ax=口的解，对任意k,k"也是它的解，产2,|1|,七是人*=。的解，对任意k个常数九52川，限，兀+九2”2十九/也是它的解线性方程组解的性质：(4)是Ax=P的解，”是其导出组Ax=口的解，¥+“是Ax=P的解(5) I,%是Ax=的两个解。J2是其导出组Ax=。的解(6) %是Ax=P的解，则，也是它的解u2是其导出组Ax=。的解(7) “1产2川|

16、,是Ax=P的解，则?中1+)吆“2+标"k也是Ax=B的解u%+M+标=1I%，+%Z+4*是Ax=0的解u九1+%+%=。，设A为mxn矩阵，若r(A)=m=r(A)=r(A述)=Ax=P一定有解,当men时，一定不是唯一解方程个数未知数的个数向量维数,向量个数则该向量组线性相关23m是r(A)和r(A邛)的上限.v判断72H*s是Ax=。的基础解系的条件：n1,n2,lll,ns线性无关；,产2*1，都是Ax=。的解；s=n-r(A)=每个解向量中自由未知量的个数V一个齐次线性方程组的基础解系不唯一V若刈*是Ax=P的一个解，二41",4是Ax=o的一个解口。，勺|,

17、线性无关,s,s,V庆*=口与8*=。同解(A,B列向量个数相同)，则:它们的极大无关组相对应，从而秩相等;它们对应的部分组有一样的线性相关性；它们有相同的内在线性关系=r(A) = r(B) .V两个齐次线性线性方程组Ax=。与Bx=。同解ur1A|1BV两个非齐次线性方程组Ax=P与Bx=丫都有解，并且同解wrA邛,iB"=r(A)=r(B).，矩阵As与Bl5的行向量组等价u齐次方程组人*=口与8*=。同解=PA=B(左乘可逆矩阵P);p教材管ImM】l乂1L101U1矩阵Am>n与Bl刈的列向量组等价yAQ=B(右乘可逆矩阵Q).V关于公共解的三中处理办法：把(I)与(

18、II)联立起来求解；通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设22产3是(I)的基础解系，*5是(II)的基础解系，则(I)与(II)有公共解£基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示即：r(1,2,3)=r(1,2,394C25)当(I)与(II)都是非齐次线性方程组时，设，+cR+g%是(I)的通解，b+q%是(II)的通解，两方程组有公共解u邑+才3/1可由12线性表示.即：。1,02)=。1,”2工2+烈一。)设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。

19、标准正交基n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为1.向量0=(a1,a2,|a T与 P =(b1,b2|,bn T 的内积n(：,：)=),aM=、匕16a2b2Hla】bni=1豆与B正交(ot,P)=U.记为：«_LPT 向量Ct =(a1,a2*an )的长度n(-=J("尸)=Zaixfa_+a?11+ani=1口是单位向量|a|=J(a,a)=1.即长度为1的向量.V内积的性质：正定性：(0(,口)之U,且(豆，0f)=Uu汽=口对称性：(%B)=(B,q)双线性：(%打+P2)=9,久)+g,P2)(：1二2；)=(11；)(二2；)(c：,)=C(

20、二，)二(二，C：)A的特征矩阵KEA.A的特征多项式EE-A=中。,一).V文儿)是矩阵A的特征多项式=(A)=0A的特征方程ZEA=0.Ax=?1x(x为非零列向量)tAx与x线性相关nV|A21H加工人=trA，trA称为矩阵A的回1V上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.V若A=0,则九=0为A的特征值，且Ax=口的基础解系即为属于九=0的线性无关的特征向量.%i、Vr(A)=1uA一定可分解为A=a28，b2,III,bn)、A2=(a1bl+a2b2+|+anbn)A,从而A的特征值为:+<an),i-trA=aibia2b2111anbn,2=3=lH

21、='n=0p指南358.(ai,a2,HlaT为A各行的公比，(b，b2|,bn)为A各列的公比.，若A的全部特征值,%,|,4，f(A)是多项式，则： 若A满足f(A)=O=A的任何一个特征值必满足f(1)=0 f(A)的全部特征值为f(%),f(%),|,f(£)；f(A)=f(%)f(%)中f(%).V初等矩阵的性质:E(i,j)|=-1|Ei(k)|=k|Ei,j(k)|=1E(i,j)T=E(i,j)Ei(k)T=印(k)Ei,j(k)T=Ej,i(k)E(i,j)E(i,j)Ei(k),=Ei(%)Ei,j(k)=Ei,j(k)*E(i,j)=-E(i,j)*dE

22、i(k)=k印宓*Ei,j(k)=Ei,j(k)，设f(x)=amxm+amAxm-+|j+a1x+a0,对n阶矩阵A规定：f(A)=amAm+amAm'+|"+a1A+%£为A的一个多项式kAaA+bEATK是A的特征值，则：A分别有特征值A*A2Amk 1a. bk1九|A 1 ,2|l' '3-rr = rfA A2九mk'V x是心于河勺特征向量，则x也是aA bEaaA A2 AmlA z/i.i/的特征向量. 1 23kAVA2,Am的特征向量不一定是A的特征向量.VA与AT有相同的特征值，但特征向量不一定相同A与B相似 P,AP

23、 = B （ P为可逆矩阵）记为：AL B-:-_1_iA与B正交相似PAP=B(P为正交矩阵)A可以相似对角化A与对角阵A相似.记为：Al_上（称A是A的相似标准形）VA可相似对角化un-r（4E-A）=KR为九i的重数uA恰有n个线性无关的特征向量.这时，P为A的特征向量拼成白矩阵，PAP为对角阵，主对角线上的元素为A的特征值.设%为对应于的线性无关的特征向量，则有：A(cti,c(2,m«n)=(Ac(i,A(2,HI,A%)=(脑%，九尹2,|，加n)=(四,如川|Qn).rPP【XJL一一JYA隹：当九=0为A的重的特征值时，A可相似对角化u兀的重数=门-(庆)=Ax=o基

24、础解系的个数V若n阶矩阵A有n个互异的特征值二A可相似对角化.V若A可相似对角化,则其非零特征值的个数(重根重复计算)=r(A).金兀)、,若A1A=Ak=PAkP，g(A)=Pg(A)P=Pg('"，PI1gg(£n),V相似矩阵的性质：|KE-A=|八E-B，从而A,B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.x是A关于的特征向量，P,x是B关于的特征向量. trA=trBA=B从而A,B同时可逆或不可逆 r(A)=r(B)ATLlBT；AUB(若A,B均可逆)；A*LB* AkLlBk(k为整数)；f(A)|Jf(B),f(A)=|f(B)口-ABi'B)

25、 ab,c_d=lU一<CJIDJ等前四个都是必要条件.V数量矩阵只与自己相似.V实对称矩阵的性质： 特征值全是实数，特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交；：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；一定有n个线性无关的特征向量.若A有重的牛I征值,该特征值儿的重数=n-r（%E-A）；必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形;与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似u有相同的特征值.正交矩阵AAT二EVA为正交矩阵uA的n个行（列）向量构成Ln的一组标准正交基V正交矩阵的性质：AT=A/；AAT=ATA=E；正交阵的行列式等于1或-1;A是正交阵，则AT,A，也是正交阵；两个正交阵之积仍是正交阵；A的行（列）向量都是单位正交向量组.n n二次型 | f (Xi，X21|,Xn) =xTAx =2 £ ajXiXj i =1 j =1a。=aji ,即 A为对称矩阵，x= (Xi,X2,lll,Xn)TA与B合同 CTAC=B.记作：AL B （ A, B为实对称矩阵。为可逆矩阵）正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p负惯性指数二次型的规范形中负项项数r - p符号差2p-r（r为二次型的秩）V两个矩