数理统计复习总结

1、精选优质文档-倾情为你奉上1统计量与抽样分布1.1基本概念：统计量、样本矩、经验分布函数总体X的样本X1，X2，Xn，则T(X1，X2，Xn)即为统计量样本均值样本方差修正样本方差样本k阶原点矩样本k阶中心矩经验分布函数 其中Vn(x)表示随机事件出现的次数,显然,则有 补充：n nl 二项分布B(n,p):EX=np DX=np(1-p)l 泊松分布: l 均匀分布U(a,b): l 指数分布: l 正态分布: 当时， 1.2统计量：充分统计量、因子分解定理、完备统计量、指数型分布族T是的充分统计量与无关T是的完备统计量要使Eg(T)=0,必有g(T)=0且h非负T是的充分统计量T是的充分完

2、备统计量是的充分完备统计量1.3抽样分布：分布，t分布，F分布，分位数，正态总体样本均值和方差的分布，非正态总体样本均值的分布分布： T分布： 当n2时，ET=0 F分布： 补充：n Z=X+Y的概率密度 f(x,y)是X和Y的联合概率密度n 的概率密度n 的概率密度l 函数： l B函数： 1.4次序统计量及其分布：次序统计量、样本中位数、样本极差RX(k)的分布密度：X(1)的分布密度：X(n)的分布密度：2参数估计2.1点估计与优良性：概念、无偏估计、均方误差准则、相合估计(一致估计)、渐近正态估计的均方误差：若是无偏估计，则对于的任意一个无偏估计量，有，则是的最小方差无偏估计，记MVU

3、E相合估计(一致估计): 2.2点估计量的求法：矩估计法、最大似然估计法矩估计法：1 求出总体的k阶原点矩:2 解方程组 (k=1,2,.,m)，得即为所求最大似然估计法：1 写出似然函数，求出lnL及似然方程 i=1,2,.,m2 解似然方程得到，即最大似然估计 i=1,2,.,m补充：n 似然方程无解时，求出的定义域中使得似然函数最大的值，即为最大似然估计2.3MVUE和有效估计：最小方差无偏估计、有效估计T是的充分完备统计量，是的一个无偏估计为的惟一的MVUE最小方差无偏估计的求解步骤：1 求出参数的充分完备统计量T2 求出，则是的一个无偏估计或求出一个无偏估计，然后改写成用T表示的函数

4、3 综合，是的MVUE或者：求出的矩估计或ML估计，再求效率，为1则必为MVUET是的一个无偏估计，则满足信息不等式，其中或，为样本的联合分布。最小方差无偏估计达到罗-克拉姆下界有效估计量效率为1无偏估计的效率：是的最大似然估计，且是的充分统计量是的有效估计2.4区间估计：概念、正态总体区间估计(期望、方差、均值差、方差比)及单侧估计、非正态总体参数和区间估计一个总体的情况： 已知，求的置信区间：未知，求的置信区间：已知，求的置信区间：未知，求的置信区间：两个总体的情况：，均已知时，求的区间估计：未知时，求的区间估计：未知时，求：非正态总体的区间估计：当时， ，故用Sn代替Sn-13统计决策与

5、贝叶斯估计3.1统计决策的基本概念：三要素、统计决策函数及风险函数三要素：样本空间和分布族、行动空间（判决空间）、损失函数统计决策函数d(X):本质上是一个统计量，可用来估计未知参数风险函数：是关于的函数3.2贝叶斯估计：先验分布与后验分布、贝叶斯风险、贝叶斯估计1 求样本X=(X1,X2,.,Xn)的分布：2 样本X与的联合概率分布：3 求关于x的边缘密度4 的后验密度为：取时的贝叶斯估计为：贝叶斯风险为：取时，贝叶斯估计为：补充：n 的贝叶斯估计：取损失函数，则贝叶斯估计为n3.3minimax估计对决策空间中的决策函数d1(X),d2(X),.，分别求出在上的最大风险值在所有的最大风险值

6、中选取相对最小值，此值对应的决策函数就是最小最大决策函数。4假设检验4.1基本概念：零假设(H0)与备选假设(H1)、检验规则、两类错误、势函数零假设通常受到保护，而备选假设是当零假设被拒绝后才能被接受。检验规则：构造一个统计量T(X1,X2,.,X3)，当H0服从某一分布，当H0不成立时，T的偏大偏小特征。据此，构造拒绝域W第一类错误（弃真错误）：第二类错误（存伪错误）：势函数：当时，为犯第一类错误的概率当时，为犯第二类错误的概率4.2正态总体均值与方差的假设检验：t检验、X2检验、F检验、单边检验一个总体的情况： 已知，检验：未知，检验：已知，检验：未知，检验：两个总体的情况：，未知时，检

7、验：未知时，检验：单边检验：举例说明，已知，检验：构造，给定显著性水平，有。当H0成立时，因此。故拒绝域为4.3非参数假设检验方法：拟合优度检验、科尔莫戈罗夫检验、斯米尔诺夫检验拟合优度检验: 其中Ni表示样本中取值为i的个数，r表示分布中未知参数的个数科尔莫戈罗夫检验： 实际检验的是斯米尔诺夫检验： 实际检验的是4.4似然比检验明确零假设和备选假设：构造似然比：拒绝域：5方差分析5.1单因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验、参数估计数学模型,(i=1,2,.,m;j=1,2,.,ni)总离差平方和组内离差平方和 组间离差平方和当H0成立时，构造统计量，当H0不成立时，有偏大特征且应用：n 若原始数据比较大而且集中，可减去同一数值再解题n 辅助量：5.2两因素方差分析：数学模型、离差平方和分解、显著性检验数学模型,(i=1,2,.,r;j=1,2,.,s)总离差平方和组内离差平方和 因素B引起的离差平方和当H0成立时，因素A引起的离差平方和当H0成立时，辅助量：构造统计量：6回归分析6.1一元线性回归：回归模型、未知参数的估计(、2)、参数估计量的分布(Y02*2)回归模型：i=1,2,.,n.的估计： 分布：的估计： 6.2多元线性回归：回归模型、参数估计、分布回归模型： i=1,2,.,n