必修二立体几何较难的题目汇总情况

1、实用标准文案1.四面体ABCLH个面的重心分别为E、F、G H,则四面体EFGHH勺表面积与四 面体ABCD勺表面积的比值是（）B)16C)D)精彩文档如图，连接AF AG并延长与BC CD相交于M N,由于F、G分别是三角形的重心，所以M N分别是BG CD的中点，且 AF: AM=AGAN=2 3,所以 FG MN=2 3,又 MN BD=1 2,所以 FG BD=1 3,即两个四面体的相似比是1: 3,所以两个四面体的表面积的比是1: 9;故选C.如图，平面a /平面3/平面丫，两条直线l, m分别与平面a, 3 , 丫相交于点A, B, C和点 D, E, F,已知 AC= 15cm,

2、 DE= 5cm, AB： BC= 1 ： 3,求 AB, BC, EF的长设平面 a II B ,A、CC a ,B、DC 0 直线 AB与 CD交于 S,若 AS=18,BS=9,CD=34, 则 CS=28/3 或 68与空间四边形ABCDH个顶点距离相等的平面共有多少个 七个你可以把它想象成一个三棱锥四个顶点各对应一个有四个，两条相对棱对应一个共三组相对棱因此有三个总共有七个如图，在四棱锥 P-ABCD中，平面 PADL平面 ABCD AB/ DC PAD是等边三角形, 已知 BD=2AD=8 AB=2DC=5P(1)设M是PC上的一点，证明：平面 MBDL平面PAD(2)求四棱锥P-

3、ABCD的体积解：(1)证明：在刃中，由于心=4 , BD=8 ,刃所以'一 ，故I ? '又平面PAD J_平面BCD，平面FAD 平面AB CD = AD ,8口匚平面”。口 ,所以3门,平面3D u ,又BD c平面MBD ,故平面设8口 平面?"。(2)过F作尸0 L血交的于Q由于平面户以0 -L平面相8 ,所以户口,平面口因此p°为四棱锥PTB8的高,又FMD是边长为4的等边三角形PQ 二显 x4= 2/因此实用标准文案在底面四边形上BCQ中，AB H DC AB= 2DC ,所以四边形W3C。是梯形，4x8 _ 8在RtAADF中，斜边AB边上的

4、高为4琳5 ,此即为梯形达因C0的高,-=2非+46又毡_= 24所以四边形达3，°的面积为25¥?一般。=三乂 24 x 23 16收故§。BBDD（2008福建）（6）如图，在长方体 ABCDABCD中，AB=BG=2, AA=1,则BC与平面所成角的正弦值为A.,63B.2.65C.D.(15)如图，二面角a -l -P的大小是60。，线段ABca . B w l ,AB与l所成的角为30。.则AB与平面P所成的角的正弦值是 _ 419.（本小题满分12分）1如图，直三棱柱 ABC-ABC中，AC=BC=AA, D是棱AA的中点, 2证明：DGL BC(2)

5、求二面角 ABD- G的大小。【解析】(1)在 RtDAC 中，AD = AC ,得：/ADC =45 ,DG± BRDA精彩文档B实用标准文案同理：/ADC1=45工 /CDC1=90 :得：DC1_LDC。又 DG±BD DCBD = D ,所以DC1 _L平面BCD。而BC u平面BCD ,所以DC1 _L BC。(2)解法一：(几何法)由 DC1 _L BC,CC1 _L BC= BC，面 ACC1A=BC _L AC o取ABi的中点O,连接CiO , OD。因为 ACi =BiCi,所以 CQ_L AB ,因为面 AB1cl 上面庆田口，所以C1O_L面ABD

6、,从而C1O .L BD , 又DC, BD所以BD _L面DC1O ,因为OD u平面DC1O ,所以BD _L OD。 由BD _LOD , BD£ DC,所以ZC1 DO为二面角ABD-C1的平面角。2a仅 AA( = 2a , AC = BC = a,则 C1O =, C1D = J2a ,，一.一一 一 _ _1 -在直角 C1OD , CQ_LOD, CQ= C1D, 2所以/CDO =30;因此二面角A1 - BD -C1的大小为30 口。AD1OCC精彩文档(2007)2、(北京市西城区2012年4月高三抽样测试)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点， M、

7、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()3、(吉林省吉林市2012届上期末)三棱锥P- ABC的高PO=8 AC=BC=3分别在BC和PO上，且CM=x PN=2CM试问下面的四个图像中哪个图像大致描绘了三棱车B N-AMC勺体积V与x的变化关系(xw (0,3)()AUC答案：AABC比平行四边形，点P是平面ABC卜一点,M是PC的中点，在DM±取一点G, 过G和AP作平面交平面 BDMT GH求证:AP / GH.平面a过正方形ABCDABCD的三个顶点B,D, Ai, a与底面ABCD的交线为L, 则L与BD的位置关系？如图，正方形ABC以正方形ABE

8、FW在平面相交于 AB,在AE, BD上各有一点P,Q,且 AP=DQ 求证：PQ/ 面 BCE4下列各图是正方体或正四面体, 共面的一个图是（）.P, Q, R, S分别是所在棱的中点，则四个点不空间三条直线，其中一条和其他两条都相交，那这三条直线中的两条能确定的 平面个数是多少1、 若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面；2、 若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。3、 若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。答案：一个或三个线面平行的判定定理证明线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。线面平行的定义

9、是：若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。证明：设直线a II直线b, a不在平面a内，b在平面a内。用反证法证明alia。 假设直线a与平面a不平行，则由于a不在平面a内，有a与a相交，设an a 二A。则点A不在直线b上，否则a A b=Af a II b 2PM0过点A在平面a内作直线c II b,由a II b得a II c。而AC a,且AC c,即a C c=A,这与a II c相矛盾。于是假设错误，故原命题正确。（反证法） 例题2从正方体的棱和各个面上的对角线中选出 k条，使得其中任意两条线段所 在直线都是异面直线，求k的最大值.解答 考察如图所示的正方体上的四条线段

10、AC BG, DBi, AD,它们所在直线两两都是异面直线.又若有 5条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异 且个数不少于10,与正方体只有8个顶点矛盾.故K 的最大值是4.练习1在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共 计27个点中，问共线的三点组的个数是多少 解答 两端点都为顶点的共线三点组共有 丝7 =28个；两端点都为面的中心共线2三点组共有 空1=3个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有 12力=18个，且22没有别的类型的共线三点组，所以总共有 28+3 + 18=49个.例题3在单位正方体ABCDABGD的面对角线AB上存在一点P使得AdDP最短，

11、求APfDP的最小值.解答 将等腰直角三角形AAB沿A1B折起至A'AB，使三角形A'AB与四边形A1BCD共面，联结AD1 ,则A'D1的长即为AP+ DF的最小值，所以，AD1 = -12 12 -2 1 1 cos13d = 22练习3已知单位正方体ABCDABGD的对棱BB、D上有两个动点E、F, BE=DF=?.10九£-）.设EF与AB所成的角为a ,与BC所成的角为P ,求a +P的最小 2化.一1_ TT._. . ._解答 当人=1时，a+P =万.不难证明a+P = f（Q是单调减函数.因止匕a+P的最小值为 2例十七、（2000年全国联赛

12、一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ,则这个球的体积是 .分析：由正四面体的图象的对称性可知， 内切球的球心必为正四面体的中心， 球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内2切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有： 2r =笠a2V 43近3=a a24练习：同样可用体积法求出棱长为a的正四面体的外接球和内切球的半径.分析可知，正四面体的内切球/ O 与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，A可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥， 于是可知内切球的半径即力泊四小 高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三.故只要

13、求出正四面体的高度 即可.又：hja2 一使a【石=纸所以r二a aYl3 j、33412例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥 ABC勺高为PQ M为PO的中 点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分 的体积比.分析：取BC的中点D,连接PD交AMR" G,设 所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF,由 直线与平面平行的性质定理得：EF/ BC,连接 AE, AF,则平面AEF为合乎要求的截面.作 OH/ PG 交 AG于点 H,贝U: OH=PGBC.PD=PGD=iGD=i 里=i.空=5EF PG PG PG OH AO 2故:VA

14、_PEFVa _PBCS PEFS PBCBC-;于是:25VA PEF _ _4Va _efbc21例5 已知正三棱锥SABC的高SO =3,底面边长为6.过点A向它所对的侧面 SBC作垂线,垂足为。'，在AO'上取一点产， 使备 =8求经过点产Fl平行于底面的截面 的面积.（1989,全国高中联赛）解二如图5.因为S-ABC是正三棱锥.所以点O 是 ABC 的重心. 连结AO 并延氏交 BC 于 D, 因为点I） 是的 中点.BC _L平面DSAIL而 AOHC.所以 ACT在平面SAD 上.从而，点。'必在以S上.于是.73. K _ _号=3/3,00 =+ (

15、/3)2 =<12 = 2/3,SD.则设过点p且平行于底面的截面与s。的 交点为。二则需=我=半即og=scr = sd - 5）=彳6 二卷.故所求截面的面积为gs 21r =6 .8、如果空间三条直线a, b, c两两成异面直线，那么与a, b, c都相交的直线有（1997,全国高中联赛）（A） 0条 （B） 1条 （C）多于1的有限条 （D）无穷多条解：在a、b、c上取三条线段 AR CC、AD,作一个平行六面体 ABCD-ABCD, 在c上取线段AD上一点P,过a、P作一个平面，与DD交于Q与CC交于R, 则QR/ a,于是PR不与a平行，但PR与a共面.故PR与a相交.由于可

16、以取 无穷多个点P.故选D.3.设四棱锥P-ABCD的底面不是平行四边形，用平面口去截此四棱锥，使得 截面四边形是平行四边形，则这样的平面：（）（A）不存在（B）只有1个（C） 恰有4个（D）有无数多个例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的 个数为（A） 4;（B） 8;（C） 12;（D） 24.分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形 的边必须是正方体的面对角线.考虑正方体的 12条面对角线，从中任取一条可 与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现 两次，故所有边共出现2C；2=24次，而每一个

17、三角形由三边构成，故一共可构成 的等边三角形个数为24 =8个.3例1在桌面上放着四个两两相切、半 径均为r的球，试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径.图1分析如图 1,可将四个球的球 心提炼出一个正四 面体，其棱长恰为 两球半径之和，即 为2z，因此，只要求出这个正四面体的高，再加上上、下两个半 径，即得所求的高度.而所求的小球半径应是 正四面体的外接球半径与厂的差.解如图2, 设四个球的球心分 别为。I ,。之，。3，04构成校长为2r 为正四面体,设E, G分别为OQQ.与。3。4的中心,QE与。6相交于F, OaG与相交于，则H也是此正四

18、面体的中心.由勾股定理可得:01E = J。】产一。r,故顶端离桌面的高度为(2 /T+ 2）匕由 GF = J。/ = &F,二 sinZGO2F JJ3，从而 aH = 3HE,QG=QH+HG=4HM而。6 =。1 =之缓厂, HE=卒尸，C b一O2H = -r.从而夹在这四个球所组成图形空隙中与rr四个球均相切的小球的半径为(空一1".kf说明】)本例能够解决的关键是将四 个球的球心提炼出了一个正四面体，从而我 们可以将有关计算转移到该正四面体内进 行.(2)正四面体的外接球半径是内切球半 径的3倍，它们分别是高的四分之三与四分 之一*(2012重庆)9.设四面体的

19、六条棱的长分别为1,1,1,1 , &和a,且长为a的棱 与长为 反的棱异面，则a的取值范围是(A )A. （0, J2）B. （0,、3） C. （1, 2） D. （1-3）（2010 全国）（6）直三棱柱 ABC - A1B1cl 中，若/BAC = 90*, AB = AC = AA ,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(C )(A)30 0 (B)45 0 (C)60 ° (D)90 °6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱 ABC-AB1cl的性质、异面直线所成 的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA到D,使得AD = AC ,则ADAC 1为平行四边形，上DAB就是异面直线BA与ACi所成的角，又三角形 ADB为等边三角形，,NDAiB = 600过正方体ABCDABGD的顶点A作直线a,使a