三棱锥的外接球问题教学设计与反思

1、三棱锥的外接球问题教学设计与反思福鼎市第六中学李靖一、课程整合点立体几何需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力。教学中，若依靠传统的黑板或 PPT讲解空间立体几何问题，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难，而白板，FLASH教学软件则可以达到图形的自由分解、拖拽、旋转等效果，还可以在课堂上利用作图工具直接作出标准图，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大 的优越性。在激发学生学习兴趣吸引学生注意力方面能达到较好的效果。由于全国卷对立体几何中球的考察，多以球内切或外接于几何体的形式出现，而三棱 锥外接球的问题是一种常见题型，某些具有垂直关系的三棱锥又可以化归成正方体或长

2、方 体，进而使求三棱锥外接球的体积问题就转化为正方体或长方体外接球的相关问题。二、教材分析：(一)教材的地位、作用：本节课是在高三学生复习完高中数学必修2第一章球的表面积和体积公式的基础上开的一节专题。由于高考对立体几何中球的考察，多以球内切或外接于几何体的形式出 现，而三棱锥外接球的问题是一种常见题型，某些具有垂直关系的三棱锥又可以化归成正 方体或长方体，进而使求三棱锥外接球的体积问题就转化为正方体或长方体外接球的相关 问题。另外，化归思想是数学中的一种重要思想，通过本节的学习，使学生更好地体会化 归的思想方法，感受数学的精妙之处。从而丰富学生的理论体系，体会分析问题、解决问 题的过程。在历

3、年高考中的选择、填空题中时有出现，加重了对这一方面的考查。(二)教学目标：1、知识与技能：(1) 了解以正方体或长方体的顶点为顶点的三棱锥的结构特点。(2)能熟练的把具有一些垂直特点的三棱锥化归成正方体或长方体。并能够利用正方 体或长方体外接球的特点求出球的体积。(3)启发学生发现问题和提出问题，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。2、过程与方法：(1)通过对例题的研究求解，归纳总结，从中体会分析问题、解决问题的过程，培养 其思维的严谨性。(2)培养学生的空间想象能力和化归思想方法的运用。(3)激发学生对数学学习的热情，提高数学素养，锻炼数学品质，发展数学思维。3、情感、态度与价值观：课堂

4、中进行“师生交流”与“生生交流”，有利于提高学生的表达能力和总结概括的 能力，让学生获得成功的体验，树立学好数学的信心。(三)教学重点：1 .对可划归为正方体或长方体的三棱锥结构的认识。2 .借助正方体或长方体与球的关系解决三棱锥外接球的体积问题。3 .可转化为直棱柱，或构建直角三角形解决三棱锥外接球的体积问题。教学难点：把三棱锥化归成正方体或长方体，培养学生转化问题、分析问题的能 力。三、学法分析：高三年级的学生经过了两年多的数学训练，已具备一定的分析问题解决问题的能力。但知识体系还不够完整，运用所学知识解决问题的能力还有待提高，并且立体几何一直是 学生学习数学的难点，很多学生缺乏空间想象能

5、力，多个几何体的组合更是难上加难。针 对这一节课来说，对于特殊的三棱锥可以通过化归的方法使问题简化，难题易解。学生们 通过课堂探讨、学习，开阔思路，发散思维，并学会选择恰当的方法解题。四、教法分析：本节课针对高三年级学生的认知特点，在遵循启发式教学原则的基础上，借助白板， FLASHY学软件，采用以多媒体教学为主，以讨论法、练习法为辅的教学方法，引导学生 探索以正方体或长方体的顶点为顶点的三棱锥的结构特点，由浅入深的研究三棱锥与球相 联系的桥梁。本节课坚持以学生为主体，教学中让学生自主地“做数学”，将传统意义下的“学 习”数学改变为“研究”数学。从而，使传授知识与培养能力融为一体，在转变学习方

6、式的同时学会数学地思考。五、教学过程设计:教学 划、节教学程序及设计设计意图复 习 回 顾引 入 新 课复习回顾：1.球的表面积公式2. 球的体积公式3. 长（方）体体对角线的求法4. 利用正弦定理求三角形外接圆的半径课程导入引例1:给你一张长为8,宽为6的矩形纸张，沿着一条对角线折登成一个二梭锥，求该三梭锥外接球的表面积？多媒体FLASH动圆展示折叠，与外接与球的过程。让 学生感受图形的变化，激发学习的兴趣。引例2:认识几个特殊的三棱锥，并观察它与长（正）方体的位置关系让学生在动态图中感受，三棱锥与正方体的位置关系， 并记住几种特殊的三棱锥。这就是我们今天要研究的内容 -三棱锥外接球的问题。

7、复习回顾学 过的相关公 式和内容由它们之间 的相互关系 引出本节课 的课题。多媒体的动 回演小，让学 生直观的感 受到三棱锥 的结构特点， 为后面的三 棱锥化归做 好铺垫思 考 问 题提出问题，引 发思考通过问题的 回答，顺利的 把三棱锥的 外接球问题 化归成长方 体的外接球 问题。点明这节课 的重点。小总结：把正四 面体补充成一 个正方体，借助 正方体的外接 球来求该四面 体的外接球，进 而外接球的体 积和表面积可 解.让学生初尝 胜利的成果。小总结：把三垂 直模型补充成 正方体或者长 方体，借助正方 体或者长方体 的外接球来求 该四面体的外 接球，进而外接 球的体积和表 面积可解.问题1:

8、长方体或正方体的体对角线和体心与它的外接球有什么关系？问题2:边长为2的正方体的外接球的表面积为多少？问题3:假如一个正方体的8个顶点都在同一个球的球面上,那任意选出四个顶点，这四个顶点都在该球的球面上吗 ？问题4:正四面体有什么特征？在正方体中能否切割出一个正四面体？假如能？应该怎么切割？问题5:棱长为1的正四面体的外接球的表面积为多少？ 顺势推导正四面体的外接球的半径公式，体会数学的由特殊到一般的思想。由学生回答，老师利用FLASH1件结合白板进行展示， 并引导学生观察三棱锥的结构特点。类型一：正四面体的外接球问题例 1:在等腰梯形 ABCD 中，AB=2CD=2 , / DAB=60 &

9、#176; , E为AB的中点，ADE和4BEC分别沿着ED,EC向上 折起，使A,B重合于点P,则三棱锥P-DCE的外接球的体 积为（部分学生根据图形特点直接判断出是正四面体，直接套用公式计算，可以表扬并提倡。）类型二：三垂直的四面体的外接球问题例2:三棱锥P-ABC中，侧棱AB,AC,AP两两垂直，4ABC ,ACP, 4APB的面积分别为 立 £3但,则该三棱锥的222外接球的表面积为多少？教师演示图形，介绍三垂直模型的三棱锥结构特点。引导 学生往长方体方向去思考外接球半径的求法。 并做完整的板 书示范。类型三：双垂直的四面体的外接球问题例 3：三棱锥 P-ABC中，PAL平面

10、 ABC, AC ± CB,AC=CB=1 , PA= x,3 ,则该三棱锥的外接球的表面积是多少？教师演示课件图形，讲解双垂直模型三棱锥的特点，启 发学生联想到长方体的结构，引导学生朝补成长方体方 向去思考问题，解决问题。（调板学生完成，并对完成的情况给予点评。）例4:如图是一个空间几何体的三视图，求该几何体的外接类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题例5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DAL平面引导学生，发 现用长方体 来解决此类 型的问题。并 体验到“补 形”的优越性由学生动手 作出直观图， 并在长方体 中找到符合 条件的三棱 锥，最后由学

11、生板书过程。 体验做题过 程，体会成功 的喜悦感。通过练习进 一步加深对 可划归三棱 锥结构特点 的认识。ABC,DA=AB=AC= <3 , / ABC=60 ° ,贝U 球半径是小总结：把此类 模型的三棱锥“补形”成直棱 柱来解决问题。小总结：此类问 题通过构建直 角三角形来处 理。体会数学中用 化归思想解决 问题的思维过 程，并激发学生 积极思考。由于忽略了底面没有直角这个条件，学生自然的会想到 化归到长方体来处理该问题。碰壁后，让他们交流讨论。 师生互动，最后往直棱柱去化归。（利用正弦定理求三角形外接圆的半径的方法，在解题过程中得到再次的复习。）类型五：正三棱锥的外接球

12、问题例6:已知正三棱锥底面边长为1,侧棱长为2,求外接球 半径利用正三棱锥的特点，由顶点到底面射影及底面任 一点，组成直角三角形来解决外接球的问题。（放手让学生去构建直角三角形，去考虑球心的位置，找到合理的解决途径。）课堂小结 作业布置 板书设计总结：?1.止方体外接球半径公式： R = ®?2.长方体外接球半径公式：R2 = a2 + b2 + c2?3.三种特殊的三棱锥可通过“补体法”转化为正方体或长方体的外接球问题(正四间体，三垂直，双垂直模型)?4.直棱柱外接球半径求法：R2 = r2十(h)22?5.正棱锥外接球：R2 =r2 +(h - R)2?6.其他：折叠问题；一般的

13、棱锥等等求二梭锥外接球的问题，要注思观祭二梭锥的特点，有 些三棱锥可化归成正方体或长方体，从而转化为正方体或长 方体的外接球的问题，使问题简化.有些可以补形成直棱柱， 或者构建直角三角形来求解。解题时要注意三棱锥的结构特 点选择合适的方法来解决问题。练习纸 挑战外接球提高题(多知道一点)对棱相等的三棱锥的外接球问题已知四间体 A-BCD AB=CD=8,BC=AD=6, AC=BD=10, 求四间体外接球的体积？三棱锥外接球的问题二，讲练例题一，复习公式多媒体屏幕归纳总结题型 特点。练习纸练习是 本课知识的巩 固与强化。提高 题是分层教学 中让学有余力 的同学提升能 力的训练。由于白板的作 用，板书量变 少。几个重要公 式，及解法过程 保留在黑板，供 学生随时记忆。六、教学反思1 .本节课借助白板与 FLASH教学软件，弥补传统教学在直观感、立体感和动态感方面的 不足，可以很容易的化解教学难点、突破教学重点、提高课堂效率。尤其在三棱锥化归成正方体或长方体，图形分解等方面表现出很大的优势。2 .本节课的设计，力求体现“以学生发展为本”的教学理念。教学过程中，以问题为载 体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间。本节课中 很多题都由学生自己