“恒成立问题”解决的基本策略

1、“恒成立问题”解决地基本策略一、恒成立问题地基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立地命题函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有：在给定区间上某关系恒成立。某函数 地定义域为全体实数R。某不等式地解为一切实数。某表达式地值恒大于a等等恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数地性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生地综合解题能力，在培养思维地灵活性、创造性等方面起到了 积极地作用因此也成为历年高考地一个热点 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数地奇偶性、周期性等性质；直 接根据函数

2、地图象二、恒成立问题解决地基本策略<一)两个基本思想解决“恒成立问题"思路 1、m _ f(x)在x D上恒成立二 m _f(x)max思路2、m乞f (x)在x D上恒成立 二m乞f (x) min如何在区间D上求函数f(x>地最大值或者最小值问题，我们可以通过习题地实际，采取合理有效地方法进行 求解，通常可以考虑利用函数地单调性、函数地图像、二次函数地配方法、三角函数地有界性、均值定理、函数 求导等等方法求函数f<x )地最值这类问题在数学地学习涉及地知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频岀现地试卷类型，希望同学们在日常学习中注意积累(二 &

3、gt;、赋值型利用特殊值求解等式中地恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得例 1.由等式 x4+Qx3+a2X2+a3x+a4= (x+1> 4+bi(x+1> 3+ b2(x+1>2+k3(x+1>+b4 定义映射 f : (a i，a 2，a 3，a 4> bi+b2+bs+b4,则 f : (4,3,2,1>(>A.10B.7C.-1 D.O略解：取 x=0,则 a 4=1+b1+b2+b3+b4,又 a 4=1,所以=0 ,故选DJl例2.如果函数y=f(x>=sin2x+acos2x 地图象关于直线 x= 一

4、 一 对称那么a=<)8A. 1B . -1 C . , 2 D . - . 2 .兀JI略解：取 x=0 及 x= - 一,则 f(0>=f(- 一 >,即 a=-1,故选 B.44此法体现了数学中从一般到特殊地转化思想.<三)分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本地解题策略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷给定一次函数 y=f(x>=ax+b(a工0>,若 y=f(x>在m,n内恒有f(x>>0,则根据函数地图象 <直线)可得上述结 论等价于f(m) >0L f (n)

5、=0同理,若在m,n内恒有f(x><0,则有伽f(n) <0例2对于满足|a| _2地所有实数a,求使不等式x2+ax+1>2a+x恒成立地x地取值范围将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2,2内关于a地一次函数大于0恒成立地问题.解：原不等式转化为(x-1>a+x 2-2x+1>0在<2时恒成立，设 f(a>= (x-1>a+x2-2x+1,则f(a>在-2,2上恒大于0,故有:"心即"x2 -4x +3 =0 解得：丿J(2)>'x2 -1 a0J/ x<-1 或 x>3.即 x

6、( a , - 1>U (3,+ s> 此类题本质上是利用了一次函数在区间下方)即可.2、二次函数型涉及到二次函数地问题是复习地重点，题中自觉运用.<1)若二次函数 y=ax2+bx+c(a工0>大于x3或 x 1x 1或 x ： 1m,n上地图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴上方 <或同学们要加强学习、归纳、总结，提炼岀一些具体地方法，在今后地解<2)若是二次函数在指定区间上地恒成立问题0恒成立,则有a . 0且厶：:0,可以利用韦达定理以及根地分布知识求解例 3若函数 f (x)二.(a2 -1)x2 (a-1)x-地定义域为R,求实数a地取值

7、范围.a 12 2 2分析：该题就转化为被开方数(a-1)x (a -1)x0在r上恒成立问题，并且注意对二次项a +1系数地讨论.解：依题意，当x R时,(a2 1)x2 (a 1)x - 0恒成立,a +12a 1=0所以，当a2 -1 =0,即当时，a =1,a+1 式0,此时当2 2 2(a -1)x (a -1)x1 _ 0,. a = 1.a +1a2 -1 >0,-1=0时，即当2川2 J、2“时,(a-1) -4(a -1)0a +1a21=1 ： a _ 9,-10a 9 乞 0,综上所述，f(x>地定义域为R时，a 1,92例4.已知函数f (x)二x ax 3

8、 -a,在R上f (x) _ 0恒成立，求a地取值范围分析：y = f (x)地函数图像都在X轴及其上方，如右图所示：略解：，;=a2-4 3al=a2 4a 12 _0 6a E2变式1：若x 1-2,2 时，f(x)_O恒成立，求a地取值范围分析：要使x I -2,2丨时，f(x) _ 0恒成立，只需f (x)地最小值g(a) _ 0即可.解：f(x)a2a 3,令f (x)在1-2,2 上地最小值为g(a).4-2,即 a 4时，g(a) =f (-2) =73a _0. a_7 又:a 43aa当22 ,即一4乞a岂4时，g(a) = f ()=222a a3_0-6_a_2 又44a

9、4 一一4込a2a当 2,即 a ： 4时，g(a)二 f (2) = 7 a _ 0. a _ 7 又;a ： 4. 一 7 乞 a ： 42综上所述,_7乞a岂2.变式2:若xI -2,2 时,f (x)亠2恒成立，求a地取值范围.解法一：分析：题目中要证明f (x)兰2在1-2,2 上恒成立，若把2移到等号地左边，则把原题转化成左边二次函数在区间1-2,2 时恒大于等于o地问题.略解：f (x) = x2 ax 3 - a - 2 _ 0,即 f (x) = x2 ax 1 - a _ 0在 1-2,2 1 上成立.;.=a2 4 1 a <0 -2-22< a 乞 一2 2

10、.2 广2A =a -4(1-a)>0f(2) Z0_ f (-2) _ 0_5 _ a _ -2.2 _2->2或 _a 兰 一22 2解法二：V运用根地分布)a5当2,即 a 4 时，g(a) = f (-2) =73a _2. a4, a 不存在.23a当-22,即一 4 a 42综上所述,一5乞a乞2.2 2.时g(a) = f (-|)222a乞22 22-a 3 _24-4<a<2 2 - 2a当一刁 2,即 a ： 4 时，g(a) = f (2) = 7 a _2,.a _ -5. - 5 _ a ： -4综上所述5乞a乞2.2 - 2.此题属于含参数二

11、次函数，求最值时，轴变区间定地情形，对轴与区间地位置进行分类讨论；还有与其相反地，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法<如例4、例5)，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上地最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中岀现两个变量，其中一个变量地范围已知，另一个变量地范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号地两边，则可将恒成立问题转化成函数地最值问题求解.运用不等式地相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内地任何一个数都有f(x>>g(a>恒成立，则g(a>vf(x> min。若对于

12、x取值范围内地任何一个数，都有f(x><g(a>恒成立，则g(a>>f(x> max.(其中f(x> max和f(x> min分别为f(X>地最大值和最小值>例5.已知三个不等式x2 -4x 3 ： 0，x2 - 6x 8 ： 0 ,2x2 - 9x m . 0 .要使同时满足地所有x地值满足，求m地取值范围.略解：由得2<x<3,要使同时满足地所有 x地值满足，2即不等式2x -9x m ： 0在x ：= (2,3)上恒成立，即m ： -2x - 9x在x (2,3)上恒成立，又-2x2 9x在x (2,3)上大于9,所

13、以 m岂9例6.函数f(x)是奇函数，且在-1,1上单调递增，又f( 一1)= _1,若f (x)乞t2 - 2at 1对所有地 a -1,1都成立,求t地取值范围.解：据奇函数关于原点对称，f(1)=1,又f(x)在 -1,1上单调递增f(X)max = f胡2f (xpt -2at 1对所有地a，T,1都成立.因此，只需t2 -2at 1大于或等于f (x)在-1,1上地最大值1,2 2t -2at 1 -1= t -2at - 0又；对所有a 1,1都成立,即关于a地一次函数在-1,1上大于或等于0恒成立,t2 -2t _0t2 2t _ 0二 t _2或 t =0或t _ -2即：t

14、(-：，-202,：)利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数地最值问题4、根据函数地奇偶性、周期性等性质若函数f(x>是奇(偶函数，则对一切定义域中地 x ,f(-x>=-f(x>(f(-x>=f(x>> 恒成立；若函数y=f(x>地周期为T,则对一切定义域中地x,f(x>=f(x+T> 恒成立.5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理地变形后，能非常容易地画岀等号或不等号两边函数地图象，则可以通过画图直接判断得岀结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.例7.对任意实数X,不等式x+1 - X-2 >a恒成

15、立，求实数a地取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,对任意实数x,不等式乂+1-乂2：>8恒成立即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|地最小值，画出此函数地图象即可求得a地取值范围3x 兰1解：令 y =x 比一X 2 =2x 11 £X <2改为3x _2在直角坐标系中画岀图象如图所示，由图象可看岀，要使对任意实数x,不等式x，1-x-2 a恒成立只需a -3.故实数a的取值范围是(3).本题中若将同样由图象可得 a>3对任意实数x,不等式X 1 - X -2 a恒成立，求实数a对任意实数X,不等式x+1 - X-2|va恒成立，求实数a对任意实数X,不

16、等式X +1 + X -2 >a恒成立，求实数a,构造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作岀符合已知条件地图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间地关系，得岀答案或列岀条件，求岀参数地范围.三、在恒成立问题中，主要是求参数地取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本地解题策略，在学习中学会把 问题分类、归类，熟练基本方法.<一)换元引参，显露问题实质1、对于所有实数X,不等式log2 2xlog2空 g 注 0恒成立,求a地取值范围.aa+14a解:2a2a因为log2地值随着参数a地变化而变化，若设t = log 2 -a+1a+1则上述

17、问题实质是“当t为何值时，不等式(3-t)x2 2tx_2t 0恒成立”.这是我们较为熟悉地二次函数问题，它等价于求解关于t地不等式组:<3一t>_02.解得tcO,即有log2 空 c0,易得苫= (2t)2 +8t(3 t) cOa+10 ： a ： 1.2、设点P<x,y )是圆x2 * (y -1)2 =4上任意一点，若不等式x+y+c_0恒成立，求实数c地取值范围.<二)分离参数，化归为求值域问题. 23、若对于任意角 v总有sin v - 2mcosv - 4m -1 ： 0成立，求m地范围.解：此式是可分离变量型，由原不等式得 m(2cosv - 4) ：

18、 cos ,又COST 2 . 0,则原不等式等价变形为 2m ：型恒成立.cosT +2根据边界原理知，2m必须小于f(r)C0地最小值，这样问题化归为怎样求cos 日 +2C0S地最小值.cost 2因为 f(R = C0S 二cos 日 +2(cos： 2)2 -4(cos)2) 4cost 24=cost 24cos。+2_4 一4 =0即cost - 0时,有最小值为0,故 m： 0.<三)变更主元，简化解题过程4、若对于0乞m三1,方程x2 mx -2m -1二0都有实根，求实根地范围.解：此题一般思路是先求岀方程含参数m地根,再由m地范围来确定根 x地范围，但这样会遇到很多

19、麻烦，若以m为主兀，则 m(x -'2) - (1 -'X)2,由原方程知x =2,得m=U又0乞m乞1,即0乞<1x 2x 2解之得小卫乞x1或仁X乞-V 132 25、当a <1时,若不等式x2 +(a-6)x+9-3a a 0恒成立，求x地取值范围 <四)图象解题，形象直观6、设x 二(0,4,若不等式.x(4X) ax恒成立，求a地取值范围.解：若设 . x(4 _x),则(x _2)2 yf = 4(y- 0)为上半圆.设yax,为过原点,a为斜率地直线.在同一坐标系内作岀函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有a : 0时成立，即a地取值范围为a

20、： 0.7、当x三(1,2>时，不等式(x-1> 2<log ax恒成立，求a地取值范围.解：设y1=(x-1> 2,y 2=log ax,则y1地图象为右图所示地抛物线要使对一切x三(1,2>,y 1<y2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y地函数值大于等于 y地函数值. 故 log a2>1, .1<a ：28、 已知关于x地方程lg(x 2+4x>-lg(2x-6a-4>=0有唯一解，求实数a地取值范围.解：令 y1=x2+4x=<x+2) 2-4,y 2=2x-6a-4,y地图象为一个定抛物线y2地图象是

21、k=2,而截距不定地直线，要使y和屮在x轴上方有唯一交点，则直线必须位于I !和I 2之间.< 包括l 1但不包括l 2)当直线为l 1时，直线过点<-4,0 ),此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2。2 2当直线为l 2时，直线过点<0,0 ),纵截距为-6a-4=0,a= _ 地范围为_2_)3' 3分析：方程可转化成lg(x 2+4x>=lg(2x-6a-4>,从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两边看成是二次函数 y= x2+4x及一次函数y=2x-6a-4,则只需考虑这两个函数地图象在x轴上方恒有唯一交点即可.<五)

22、合理联想，运用平几性质9、不论k为何实数，直线y = kx 1与曲线x2 - y2 -2ax a2 -2a -4二0恒有交点，求a地范围.解：(x - a)2y4 2a,c<a,0),当a一2时，联想到直线与圆地位置关系，则有点a<0,1 )必在圆上或圆内，即点a<0,1)到圆心距离不大于半径，则有a2 1乞2a 4(a -2),得-1乞a< 3.分析：因为题设中有两个参数，用解读几何中有交点地理论将二方程联立,用判别式来解题是比较困难地.若考虑到直线过定点 A<0,1 ),曲线为圆.<六)分类讨论，避免重复遗漏210、当|m|_2时,不等式2x -1 m(

23、x -1)恒成立，求x地范围.解：使用 |m|_2 地条件，必须将m分离岀来，此时应对x2 -1进行讨论.22x 12x -113当x2-1.0时,要使不等式二m恒成立，只要22,解得 1 ：: x :x -1x -122c2x 12x -1小-1 + 77当x-1:0时,要使不等式 m恒成立，只要2< -2,解得:X ： 1.x-1x- 122-1.71 . 3当x-1=0时,要使2x - 1 - 0恒成立，只有x = 1.综上得x2 2解法2：可设f (m) = (x2 - 1)m -(2x -1),用一次函数知识来解较为简单.11、当1 ： x : 3时，不等式x2 - 2ax 6

24、0恒成立，求实数a地取值范围七)构造函数，体现函数思想12、1990年全国高考题)设1，其中a为实数,n为任意给定地n自然数，且n _2,如果f (x)当x (-：:, 1时有意义，求a地取值范围解：本题即为对于(一巳，1，有1x 2 (n- 1)x nxa o恒成立.这里有 三种元 素交织 在一起，结构复杂，难以下 手，若考虑到求a地范围，可先将a分离岀来，得a(勻一(口门(n- 2)，对于 x (-： ：，1恒成立.n nn12n _ 1构造函数g(x)二-()x ( )()x，则问题转化为求函数 g(x)在(-：，1上地值n nn域.k x因为函数u(x) = -() (k =1, 2，

25、n -1)在x (-：,1上是单调增函数，n1则g(x)在(-：-，1上为单调增函数.于是有g(x)地最大值为：g(1)(n -1)，从而可得21 a (n -1).2四、同步跟踪练习1、对任意地实数x，若不等式x+1 x2 a恒成立，求实数a地取值范围2、已知函数f(x)二1lg(2x 22" -m)(mR)，对任意的R都有意义，求实数m的取值范围3、知f (x)是定义在(-：，3地单调减函数，且f(a2 -sinx) _ f (a 1 - cos2 x)对一切实数x成立，求实数a地取值范围.4、当a、b满足什么条件时，关于x地不等式°： "(a 5)_3 .

26、b -1对于一切实数x恒成x -x + 1立？5、已知f(x>= x3 ax2 bx c,在x=1与x=-2时，都取得极值.<1 )求 a、b 地值； <2 )若 -3,2都有 f(x>>1 一1恒成立，求实数cc 2地取值范围.解、<1)a=3,b=-6.<2)由 f(x> m.=-Z+c>1-1 得22 c 2上卫：或c 2 26、定义在定义域D内地函数y = f (x),若对任意的x1, x2D ,都有| f(xj - f (x2) I： 1,则称函数y = f (x)为“接近函数”，否则称“非接近函数”.函数f(x) = x3 -X a(x -1,1, a R>是否为“接近函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请 说明理由.解：因为 | f (Xj - f 匕2)|计 fmax 一 fmin |函数f (x) = x3 - x a(x -1,1, a R导数是 f (x) = 3x2 -1当 3x2 -13时，f (x) =3x2 -1 ： 0;当 x3时,f (x) =3x2 -10,32、3故f(x)在x0,1内的