非线性微分方程51329

1、高阶微分方程的降价技巧作者：陈思 指导老师：张海摘要：一般的高阶微分方程没有普遍的解法，处理问题的基本原则是降价，利用变换把高阶微分方程的求解问题化为较低阶的方程来求解。因为一般说来，低价微分方程的求解比高阶微分方程方便些，特别地，对于二阶（变系数）齐次线性微分方程，如能知道它的一个非零特解，则可利用降价求得与它线性无关的另一特解，从而得到方程的通解，对于非齐次线性微分方程，只需运用常系数变异法求出它的一个特解，就能求通解。本文总结了一些基本的降价技巧并举例说明。关键词：方程，降阶，技巧，解，特解，通解，微分方程1引言：价微分方程的求解比高阶微分方程方便，通常，高阶微分方程的求解方法是先进行降

2、阶，将其降为低阶微分方程再求其解。本文先介绍了三类基本的二阶微分方程的降价技巧，然后又总结了一些更高阶的微分方程的降阶及求解。2形如型2.1降阶技巧;设两端积分，即有：再积分一次，得函数为方程的通解2.2例：求解二阶微分方程解：两端积分，得：再积分,得总结小语：同样的方法可以求出形如的通解3形如型3.1设二阶微分方程为，方程中不显含未知函数，令：，则故原方程变为，设其通解为：若的原函数为则原方程的通解为：3.2求解解：令则原方程变形为：此方程为一阶线性微分方程：所以原方程的通解为：4形如型4.1对于这种类型的方程，不显含，做变换：则：则原方程变为：从而化为一阶微分方程4.2例：求二阶微分方程解

3、：令，则原方程变为：消去：即： 即故原方程的通解为：5形如型（3）5.1对于的n阶方程，将表示为参数的函数，得到与（3）等价的参数方程（4）积分（4）的第二个方程：继续下去，求得：于是，方程的解为：（5）5.2例;解解：令，则则，若将视为参数，则上式与一起给出原方程的解。6形如型5.1对于（6），若可以解出（7），令，得，积分可得：若解得：即：积分可得：若从（6）中解不出，用参数表示，经过积分可得（6）的参数形式的解为：5.2例2解方程： 解：令，得到：，即 ，积分可得：所以：所以：又因：故:上式与表达式:一起为原方程参数形式的解，其中p为参数。若从它们中消去参数p，得到显示解：（其中，）6形

4、如型对于（8）的n阶方程，在令以后，将（8）化成（n-k）阶的方程（9）若方程（9）可以积分，求得：即：连续积分k次，可求得（8）的解：例3：求方程的解解：令，则方程化为：这是一阶方程，积分可得：，即于是：（其中，为任意常数），这就是原方程的通解。7形如型若令，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程可以降低一阶。对于：（10）的n阶方程令（11）（12）将（11）（12）代入（10），得到一个关于函数z和自变量y的n-1阶方程，若此方程可以积分，最后可得到关于y的一阶方程例：解方程解：令：，化原方程为，再令：得解得：即：，积分可得：用除两边，假定；另一方面，验算知为一特解8形如型，对于 （

5、13）的阶方程，若左端关于是次的齐次函数即：令： （13）则： （14）将（4），（5）代入（13），得到关于未知函数的阶方程若求得（16）的通解即积分（17），得到例5：解方程：解：令，化原方程为解得：则：当约去因子时，假定，经核验，仍为一特解，但此解可以包含在通解之中。9形如型的方程对于（18）的阶方程，若左端关于是次的齐次函数，即;令；（19）则：（20）将（19）（20）代入（18），由齐次性得知：方程（21）不显含自变数的阶方程，可用6的方法求解。例6解方程：解：这是左端关于的三次齐次函数令则：代入原方程，消去公因子得到： 再令：，得：由，得出 再积分得：；即：由得：，但此解不包含在

6、通解中。10形如型的方程对于（22）的阶方程，若将算作一次，算作次，即为次，为次，为次时，（22）的左端是齐次函数。令（23）则（24）将（23）和（24）代入（22），得到一个不显含自变量的方程，可用4的方法求解。例7解方程解：将算作一次，算作两次时，所给方程的左端为四次齐次函数令，则代入原方程，消去因子后，得出令上式化为：由。得，即当时，由，得出即：当时，同理由，可得：11恰当导数方程定义：假如方程（1.8）的左端恰为某一函数对x的导数，即（1.8）可化为：则（1.8）称为恰当导数方程。降阶技巧：这类方程的解法与全微分方程的解法相类似，显然可降低一阶，成为:之后再设法求解这个方程。例5求解

7、解：易知可将方程写为故有：即：积分后即得通解：例6求解解：先将两端同乘不为0的因子，则有：故，从而通解为评析：这一段解法的技巧性较高，关键是配导数的方法。12形如型对于（25）的n阶方程，若，则（26）为方程（25）的首次积分。这样就把方程降低一阶。有时方程（25）的左端虽不是恰当导数，但乘以因子后求得首次积分例8解方程解：因为所以积分可得13齐次线性微分方程：（4.2）方程（4.2）的求解问题可归结为寻求方程的n个线性无关的特解思路：若知道方程的k个线性无关的特解，则可通过一系列同类型的变换，使方程降低k阶，并且新得到的阶方程，也是齐次线性的。降阶技巧：设是方程（4.2）的k个线性无关解，令

8、直接解得：（*）（*）式代入（4.2），得到令，用除方程各项，得到：（4.67）为n-1阶齐次线性微分方程由知方程（4.67）有n-1阶齐次线性微分方程由，即方程（4.67）有k-1个线性无关解令，即，其中是常数。那么，就有：即：又因：线性无关，所以：从而线性无关对方程（4.67）仿以上做法，令，可将方程化为关于的阶齐次线性微分方程（4.68）评析：由此讨论知：利用k个线性无关特解当中的一个解，可以把方程（4.2）降低一阶，成为阶齐次线性微分方程（4.67），并且知道它的个线性无关解，而利用两个线性无关解，则可把方程（4.2）降低两阶，成为阶齐次线性微分方程（4.68），同时知道它的k-2个线

9、性无关解.依此类推，继续上面的做法，若利用了方程的个线性无关解。则最后我们就得到一个阶的齐次线性微分方程，这就是说把方程（4.2）降低了阶14二阶齐次线性微分方程（4.69）降阶技巧：只要知道方程的一个非零特解，则利用变换，可将方程降一阶， ，作此变换：方程化为：（一阶线性微分方程）解得：因而（4.70）这里为任意常数检验：取，得方程（4.69）的一个特解：，显然它与线性无关所以（4.70）为（4.69）的通解，包含了方程（4.69）的所有解例4已知是方程的解，试求方程的通解解：这里由（4.70）得到：其中是任意常数，这就是方程的通解非齐次线性微分方程：设有线性n阶方程：（39）其中都是在某一区间中的连续函数方程： （40）称为与（39）对应的线性齐次方程，而（39）称为齐次的。定理2设是方程（40）的个线性无关解，称为基本解组，则（40）的通解是其中为任意常数定理3。如果已知方程（40）的k个线性无关解，则（40）可以降低为n-k阶方程，如果已知方程（40）的n-1个线性无关解，则（40）的通解也可以得到。例6求方程：的通解，设已知它有特解。解：令，则其中为任意常数一起代入（49），得到新