常熟理工学院-高数A2-题库系列：第10章

1、精选优质文档-倾情为你奉上 1、用先对和先对两种方法求 ，其中D由x=0,y=和y=x围成。解：（1） 3分 5分（2） 8分 10分 2、证明： 。解：围成的图形是正方形，且边长为 2分 其面积 由于 4分所以 6分3、计算二重积分，其中。解： 由题意， 2分 4分 6分4、求 D为由轴围成的区域。解： 3分 6分5、设D由围成，试计算二重积分。解： 3分 6分6、计算二重积分，其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。解： 4分 6分 8分7、求使中的值 ，其中D：（）。解：令，其中 2分于是 4分所以 6分8、求由围成。解： 可表示为 2分于是 4分 6分9.求，由与

2、围成的第一象限中的区域。解：由题意得 积分区域为 2分所以 原式 4分 。 6分10求二重积分，D由 围成。解：由题意，积分区域可以分为和，且，其中 3分所以，原式 5分 8分11、求二重积分，其中D由及围成。解： 令 ，其中 2分 则 4分 6分 8分12. 计算由两坐标轴及围成。 解： 由题意知该函数的积分区域为 3分 从而，有 原式 5分 . 8分13求，其中为以点为顶点的三角形区域.解：由题意，知该函数的积分区域为 . 2分所以 4分 6分14.求,其中D为矩形：解：由题意得 积分区域为 2分所以 原式 4分 。 6分15计算二重积分 ，其中D由围成。解：积分区域为 2分 4分 8分1

3、6.利用极坐标计算二次积分。解： 令 ，则积分区域为 3分 6分17、设D是以O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）为顶点的三角形区域，求。解 闭区域可表示为 ， 2分 所以 2分 4分 6分18、求，由，及轴围成。解 闭区域可表示为 ， 2分 所以 3分 6分19、设在上连续，求证： 。解 积分区域可表示为 2分 则 4分 6分20、求。解 积分区域可以表示为 则 2分 4分 6分21、求使 ，其中D：（）。解 令， 其中 于是 3分 6分所以 8分22、求，。解 令其中 2分于是 5分 8分23.求，为由与轴围成的第一象限部分区域。解：令则积分区域为 2分所以 原式 4分 6分24计算二

4、重积分，是由和围成的面积小的那部分区域。解：积分区域为D： 2分所以 6分25、求二重积分，其中D是由直线y2,y=x及y=2x所围成的闭区域。解 于是 2分 4分 6分26、计算二重积分，其中是由直线及所围成的区域。解 闭区域可表示为 ， 2分 所以 3分 5分 6分27、设在上连续，试证明：。解 闭区域可表示为 ， 1分 于是积分 3分而，所以 5分即 6分28、计算二重积分，其中。解 令其中 1分于是 4分 6分29、计算二重积分：（1）是由和围成的面积小的那部分区域。（2）是由围成的区域。解 （1）积分区域可表示为 2分 则 5分 （2）积分区域可表示为 7分 则 10分30、设是由平

5、面以及锥面所确定的有界闭区域，试计算。解 区域 令 ， 其中 3分于是 6分 = 8分31、求曲面与曲面所围立体的体积。解 1分其中 所围成部分 令 ， 则区域可以表示为 2分于是 6分 从而 8分32、设积分区域：，试从直角、柱面、球面三个坐标系任选二个坐标系，把化成二种形式的三次积分。解 直角坐标系，积分区域可以表示为 1分则 3分 柱面坐标系，令 则积分区域可以表示为 5分 于是 7分 球面坐标系，令 则积分区域可以表示为 于是 10分33. 设为立方体：，（），求三重积分解： 因为：，（） 2分所以 4分 6分34、设是由及所围的有界闭区域，计算。解 令 则区域可以表示为 3分于是 6

6、分 8分35、利用三重积分求由曲面与平面围成的立体的体积。解 设围成的区域为。则 2分其中 令 ， 其中 3分于是 6分36.利用柱坐标计算三重积分，其中是由曲面与平面所围成的区域。解： 积分区域为 2分于是 4分 8分37. 求，为.解：令 2分则积分区域为 4分所以 原式 6分 8分38.设积分区域由围成，求解：利用柱面坐标计算三重积分，有 2分则由题意可知，积分区域可用不等式 4分来表示，于是 原式 6分39、求 ，其中由曲面和平面（）围成。解：空间闭区域可表示为 2分则 6分40.求由曲面z=x2+y2与z=4所围立体的体积。解： 令 2分则有 4分所以该立体的体积为 6分 8分41、

7、利用二重积分计算由平面 (其中) 及坐标面所围立体的体积。解： ，其中 2分于是 3分 5分故 6分42. 设平面薄片所占的区域是由直线和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量。解： 由题意，知由可知它们的交点为，则积分区域为 3分则该薄片的质量为 6分 . 8分43设有圆形簿片D：，其面密度为，求簿片的质量。解： 令 则积分区域为 2分所以该薄片的质量为 4分 6分44、平面薄片由与所围成，其上各点的面密度等于该点到x轴的距离，试求薄片的质量和质心。解： 2分 其中为闭区域的面积 4分 6分 8分 10分45、平面薄片由围成，其上各点的面密度等于该点到x轴的距离，试求薄片的质量。解 1分其中为

8、 于是 3分 6分46、设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质量。解 以直角坐标定点为原点，直角边为坐标抽建立直角坐标系，是由抽，围成部分，即 于是 2分 4分 8分47设平面薄片所占的闭区域D由抛物线和直线所围成，它在点(x,y)处的面密度，试求（1）该薄片的质量； （2）该薄片的的质心。解：（1）积分区域为D： 2分所以该薄片的质量为 4分（2）设质心的坐标为,则有 6分 8分所以 . 10分48、平面薄片由、及轴所围成，其上各点的面密度，试求：（1）该薄片的质量； （2）该薄片的质心。解 （1） 曲线和交点为 1分 其中为 3分 5分 （2） 9分所以质心为 10分