新人教版八年级上册数学[分式的概念和性质(提高)知识点整理及重点题型梳理]

1、精品文档用心整理新人教版八年级上册数学知识点梳理及巩固练习重难点突破课外机构补习优秀资料分式的概念和性质（提高）【学习目标】1 .理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0的条件.2 .掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地，如果 A、B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 人叫做分式.其中AB叫做分子，B叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式 .分式的分母中含有字母；分数的分子、分

2、 母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但兀表示圆周率，是一个常数，不是字母，如 亘是整式而不能当作分式.五（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式2不能先化简，如 xy是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， x不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1 .分式有意义的条件：分母不等于零 .2 .分式无意义的条件：分母等于零 .3 .分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零要点诠释：（1

3、）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明， 所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做A A M A A M分式的基本性质，用式子表示是： C=A, A =M JM （其中M是不等于零的整式）.B B M B B ：- M要点诠释：（1）基本性质中的 A、R M表示的是整式.其中BW 0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题

4、过程中不另强调；w0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时， 必须重点强调 而0这个前提条件(2)在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式，一八， 、八,rJ - 1 r 1,、,中字母的取值范围有可能发生变化 .例如：_L二土，在变形后,X' +工 X字母x的取值范围变大了 .要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、 分母与分式本身的符号，改变其中任何两个， 分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数, , , , 4 一， b b-b b , 一一,要点诠释：根据分式的基本性质有 ,=.根据有理数除法的符号法则有- a a a -

5、 a士 = & = -b .分式刍与-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着a -a a b b重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分 .如果一个分式的分子与分母没有相同的因式(1除外)，那么这个分式叫做最简分式 .要点诠释：(1)约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分 母再没有公因式.(2)约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次哥的积；当分式 的分子、分母中含有多项式时，要先

6、将其分解因式，使之转化为分子 与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分要点六、分式的通分与分数的通分类似， 利用分式的基本性质， 使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.要点诠释：(1)通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次哥的积作为公分母.(2)如果各分母都是单项式， 那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相 同字母的最高次哥的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解 因式，然后再找最简公分母 .(3)约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言， 而通分则是针对多个分式

7、而言.【典型例题】 类型一、分式的概念11 a +b x 3x ' x y '2 '二'x2 -1-3 + 2y2,【403986 分式的概念和性质例1】 1、指出下列各式中的整式与分式:22J Ux 4【思路点拨】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含 有字母则不是分式.【答案与解析】2解：整式有：ab,- , -3+2y2 , y-;2 二 34分式有:113 x?2?x x y x -1x【总结升华】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母.此题判断容易出错的地方有两处: 一个是把 兀也看作字母来判断，没有弄清 兀是一个常数；另

8、一个就是将分式化简成整式后2 x再判断，如x和一，前一个是整式，后一个是分式，它们表木的意义和取值范围是不相同 x的.类型二、分式有意义，分式值为0【403986 分式的概念和性质例2x取什么数时，下列分式的值为零?a、当x取什么数时，下列分式有意义？当x/c、x -5 /c、2x -10(1)； (2)(3)x 1 xx -5【答案与解析】解：(1)当x2+1 #0,即x21时，分式有意义.2 , x为非负数，不可能等于一1,对于任意实数x ,分式都有意义；当x=0时，分式的值为零.(2)当x2 #0即x#0时，分式有意义;x : 0,x - 5 = 0,即x=5时，分式的值为零资料来源于网

9、络仅供免费交流使用(3)当x-5#0,即x#5时，分式有意义;x5#0,当2x10=0 时，分式的值为零,由得x#5时，由得x=5,互相矛盾.2x 10不论x取什么值，分式 2x 10的值都不等于零.x -5【总结升华】 分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值 为零.举一反三:定有意义的的是（【变式1】（2016春？召兴期末）下列分式中不管 x取何值,2A. xx -1B TT1x -1D.x 1 x -2【变式2当x取何值时，分式 22x 6的值恒为负数?左x2 0,x-2 ： 0,解：由题意可知或才2x 6 ：二 0, 2x 6 0.-x-2 0,、- 解不等

10、式组«该不等式组无解.2x 6 二 0,解不等式组!x-2<0,得-3<x<2.2x 6 0. ,，x 2 , 一，一，所以当-3<x<2时，分式2的值恒为负数.2x 6类型三、分式的基本性质【403986 分式的概念和性质例4】一八M 3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数x-曰一 2-x（1）（2）（3）.1-/42-/+3【答案与解析】解：士二号二,；-Q-1 (/1) a+(2)0 f 2 2，- a 2a -22 z -(工-2) 工一 2【总结升华】（1）、根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用；（2）、添括

11、号法则: 当括号前添“ + ”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“一”号，括号内各项都变号举一反三：【变式】下列分式变形正确的是（）A.2x2y22m -n _ (m -n) _ (m - n)一，、，、一 22m n (m n)(m -n)m n1 -X-2x 11X -1b ab【答案】D;提示：将分式变形时，注意将分子、分母同乘（或除以）同一个不为0的整式这一条件.其中A项分子、分母乘的不是同一整式，B项中m-n#0这一条件不知是否成立，故 A、B两项均是错的.C项左边可化为:1 - x(1-x)21,，故Cx - 1项亦错，只有D项的变形是正确的.类型四、分式的约分、通分【答案与解析

12、】2_a 2a 1a2 -1c 2/c、 2n -m;3 ;2mn -4n3 - a -b /1 4x厂与一厂；(4) , 1一2ab ab c x 2 x -42x -2解：（1）a2 2a 1 (a 1)2 a 12二"a -1 (a 1)(a -1) a -1(2)c 2c 22、2n -m2n -m-(m -2n )T'_3 = Z_2" 二 Z2"2mn - 4n 2n(m - 2n ) 2n(m - 2n )2n，(3)最简公分母是2a2b2c.3 3l bc = 3bc a-b _ (a-b)U 2a _ 2a2-2ab 2a2b 2a2b

13、L bc 2a2b2c ' ab2cab2cLI2a2a2b2c（4）最简公分母是（x+2）（x2）,1 x -2 x-2 4x 4x 22(x 2) 2x 4x 2 (x 2)(x -2) x24' x24 x24' x-2 (x-2)(x 2)x2 - 4【总结升华】 如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次哥.通分的关键是确定几个分式的最简公分母，若分母是多项式,则要因式分解，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变化情况.类型五、分式条件求值Hx5、右 一 =2 ,求x2 -2xy -3

14、y2 , -、的值.x -6xy -7 y【思路点拨】本题可利用分式的基本性质，采用整体代入法，或把分式的分子与分母化成只含同一字母的因式，使问题得到解决.【答案与解析】xyyjy解法一：因为=2 ,可知y 0 0 , y,22122 (x - 2xy - 3y )2所以x -2xy - 3yyx2 -6xy -7y22 221(x -6xy -7y )2y(_2)2_2 (-2)3 5(-2)2-6 (-2)-7 -9解法二：因为- = 2, y所以 x = 2y ,且 y#0,22所以 x -2xy-3y = (x -3y)(x + y) _ x-3y = -2y -3y = 5x2 -6xy-7 y2 (x-7y)(x y) x-7y -2y -7y 9【总结升华】本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想.一般情况下，在条件中含有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简的目的.举一反三：飞十求黑美的值.【答案】x V z斛： 设一=k(k=0) 则 x = 3k