导数各类题型方法总结()

1、百度文库1.已知 f(x)1A. 一4变式1:设fA. 1 1D. 1第一章导数及其应用导数的概念1,则 lim f(2x)一L) 的值是()x x 0xB. 2 /'C. 1 D. - 24f 3 h f 3 、34,则 lim 为()h 02hB . 2C . 3变式2：设fix在x0可导，则lim一x-f x0 3 x等于 x 0x3A. 2f x0B. f x0C. 3f x0导数各种题型方法总结请同学们高度重视：首先，关于二次函数的不等式 恒成立的主要解法：1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法5、二次函数区间最值求法：(1)对称轴(重视单调区间)与定义域的关系(2)

2、端点处和顶点是最值所在其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以 及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立;1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令f'(x) 0得到两个根；第二步：画两图或列表；第三步：由图表可知；其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题,2、常见处理方法有三种：第一种：分离变量求最值 用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0)第二种：变更主元(即关于某字母的一次函数)-(已知

3、谁的范围就把谁作为主元)；(请同学们参看2010省统测2)例1：设函数y f (x)在区间D上的导数为f(x),f(x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D上，g(x)"432恒成立，则称函数 y f (x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常数，f (x) 区旺也1262(1)若y f (x)在区间0,3上为“凸函数”,求m的取值范围;2mx - 3x2g(x) x(1) "y则mx 3f(x)在区间0,3上为2g(x) x mx 3 0从二次函数的区间最值“凸函数”，在区间0,3上恒成立入手:等价于gmax(X)解法一：g(0)g(3)3 09 3m 3 0解法二：

4、分离变量法:,当 x 0 时，g (x) x2 Imx2当 0 x 3时，g(x) x mx3 0恒成立,0恒成立x23等价于m -3而 h(x)x3 (0 xx 的最大值x(0 x 3)恒成立,X 3)是增函数，则hmax(x)h(3)(2)二,当 m 2 时f (x)在区间a,b上都为“凸函数”则等价于当m 2时g(x)mx 30恒成立变更主元法再等价于F (m) mxF( 2)F(2)b2x2x2x2x2 x2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)例2:设函数f(x)1 -x32ax2 3a2xb(0a 1,b R)(2)若对满足 m 2的任何一个实数 m,函数f(x)在区间a,b上都为

5、“凸函数”，求b a的最大值.432 2/ 3解:由函数f(x) 上更竺得f (x)-12623(I)求函数f (x)的单调区间和极值;(n)若对任意的 x a 1,a 2,不等式f (x) a恒成立，求a的取值范围(二次函数区间最值的例子)解：(I) f (x) x2 4ax 3a2x 3a x a1110 a 1f (x)a3aa3a令f (x) 0,得f(x)的单调递减区间为(一,a)和(3a, + )当 x=a 时,3 3 =-a4b；当x=3a时，f (x)极大值=5(n)由|f (x)|wa,得：对任意的a1,a2,2x 4ax3a2 a恒成立g (x)min则等价于g(x)这个二

6、次函数gmax(x)gmin (x)a 1 a a 2a (放缩法)g(x)2x 4ax2 .3a的对称轴x2a0 a 1,即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。g(x) x2 4ax 3a2在a 1,a 2上是增函数.(9分)g (x)maxg(a 2)g(a 1)2a 1.4a 4.于是，对任意x a 1,a 2,不等式恒成立，等价于g(a 2)4ag(a 1)2aa 1.a 1, a 2x 2ac/4,又 0 a 1,- a 1.5点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴(重视单调区间)与定义域的关系第三种：构造函数求最值题型特征：f (x) g(x

7、)恒成立 h(x) f (x) g(x) 0恒成立；从而转化为 第一、二种题型 /32-例3；已知函数f (x) x ax图象上一点P(1,b)处的切线斜率为3,/3 t 6 2 g(x) x x (t 1)x 3 (t 0)2(I)求a,b的值；(n)当x 1,4时，求f (x)的值域；(出)当x 1,4时，不等式f(x) g(x)恒成立，求实数t的取值范围。令f (x)0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a)百度文库解：(I) f/(x) 3x2 2axf/(1)3b 1 a(n)由(i)知，又 f( 1)4, f (0)f(x)的值域是f(x)在0, f (2)4,161,0上单调递增

8、,在4, f(4) 16a 3解得b 20, 2上单调递减，在2, 4上单调递减(出)令 h(x) f (x) g(x)-x2 (t 1)x 32x 1,4思路1 ：要使f (x) g(x)恒成立，只需h(x) 0,即t(x2 2x) 2x 6分离变量思路2：二次函数区间最值二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围解法1：转化为f'(x) 0或f'(x) 0在给定区间上恒成立，回归基础题型解法2:利用子区间(即子集思想)；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区 间是求的增或减区间的子集；做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)

9、”，要弄清楚两句话 的区别：前者是后者的子集例4：已知a R,一“，13 a 1 2函数 f(x) x x (4a 1)x.122(I)如果函数g(x) f (x)是偶函数，求f (x)的极大值和极小值;(n)如果函数f(x)>()上的单调函数，求 a的取值范围.解：f (x)2 (a 1)x (4a 1).(D f(x)是偶函数，：a 1.1r ,、13 cr /、此时 f (x) x 3x , f (x) 12令 f (x)0,解得：x 2V3.x(-OO-2V3)-2 v13(-2 V3 ,2v13 )2 4 3(2W 3，+ 8)f (x)+0一0+f(x)递增极大值递减极小值递

10、增列表如下:f (x)的极小值为f (2« 3)4 J3.可知：f(x)的极大值为f( 243) 4,3 ,(口) 函数 f (x)是()上的单调函数,7f (x) 1x2 (a 1)x (4a 1) 0 ,在给定区间R上恒成立判别式法 4212则 (a 1)4 (4a 1) a 2a 0,解得：0 a 2.4综上，a的取值范围是a0 a 2./1 Q 19例 5、已知函数 f(x) x - (2 a)x (1 a)x(a 0). 32(I)求f (x)的单调区间；(II)若f(x)在0, 1上单调递增，求a的取值范围。 子集思想(I) f (x) x2 (2 a)x 1 a (x

11、1)(x 1 a).1、当a 0时，f(x) (x 1)2 0恒成立，当且仅当x 1时取“=”号，f仁)在(，)单调递增。2、当a 05t,由f (x) 0,得为1,x2a 1,且xx?,单调增区间：(，1),( a 1,)单调增区间：(1,a 1)(II人当：f(x)在0,1上单调递增, 则0,1是上述增区间的子集:1、a 0时，“*)在(，)单调递增 符合题意2、0,1 a 1, a 1 0 a 1综上，a的取值范围是0, 1。三、题型二：根的个数问题题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点=即方程根的个数问题 /解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即

12、三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减” ；/第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组)；主要看极大值和极小值与 0的关系;第三步：解不等式(组)即可；1 . (k 1) o1例6、已知函数f (x) -x -x , g(x)- kx ,且f (x)在区间(2,)上为增函数.323(1) 求实数k的取值范围；/(2) 若函数f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.解：(1)由题意f (x) x2 (k 1)x f(x)在区间(2,)上为增函数，百度文库9(x)1x2 (k 1)x 0在区间(2,x恒成立，又(2)h(x) f(x)g(x)k 1

13、(k2)上恒成立2,故 k，1) 2x kx(分离变量法)1 k的取值范围为k 113h (x)令 h (x)x2 (k 1)x当当0得x k或x1 时，h (x) (x(x k)(x 1)1 由(1)知 k 1 ,21)20, h(x)在r上递增，显然不合题意飞x(,k)k(k,1)1I (1,)h (x)0一0h(x)极大值,3. 2.kk1"6"T3极小值k 12/1时，h(x) , h (x)随x的变化情况如下表:0 ,欲使f (x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程由于2,3. 2kk16230,即(k 1)(k2 2k 2)k0 k22kh(x) 0有三个

14、不同的实根，故需综上，所求k的取值范围为k 1,3根的个数知道，部分根可求或已知。例7、已知函数f (x) ax3 1x222x c(1)若x 1是f (x)的极值点且f (x)的图像过原点，求f(x)的极值;1 , 2g(x) -bxx d ,在2(1)的条件下，是否存在实数有含1的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。解:(Df(x)的图像过原点，则f(0)f(x)的极值点，则f(1)3a(x)3x22 (3x 2)(x1) 0f极大值(x)f(1)f极小值(x)2 fq22(2)设函数g(x)的图像与函数f(x)的图像恒存在含 x点，等价于f(x)g(x)有含x1的三

15、个根，即：f (1)2x22x121j L-bx x -(b 1)整理得:22g(x)的图像与函数f (x)的图像恒f (x)1的三个不同交1 g( 1) d 2(b 1)百度文库3121即：x (b 1)x x (b 1) 0恒有含x 1的三个不等实根 221 1(计算难点来了：)h(x) x (b 1)x x (b 1) 0有含x 1的根,2 2则h(x)必可分解为(x 1)(二次式)0,故用添项配凑法因式分解，322121x x x (b 1)x x (b 1) 0222121x2(x1)(b1)x2x(b 1)022212x2(x 1) (b 1)x2 2x (b 1)0221十字相乘

16、法分解：x2(x 1) (b 1)x (b 1) x 102211(x 1) x -(b 1)x -(b 1)03121x (b 1)x x (b 1) 22一 211等价于 x (b 1)x (b 1)220恒有含x 1的三个不等实根0有两个不等于-1的不等实根。171 21(b 1)4 (b 1) 01) ( 1,3) (3,422 11(1)-(b1)-(b1) 022题2:切线的条数问题=以切点x°为未知数的方程的根的个数例7、已知函数f(x) ax3 bx2 cx在点x0处取得极小值4,使其导数f'(x) 0的x的取值范围为(1,3), 求：(1) f(x)的解析式

17、；(2)若过点P( 1,m)可作曲线y f(x)的三条切线，求实数 m的取值范围(1)由题意得：f'(x) 3ax2 2bx c 3a(x 1)(x 3),( a 0). .在(，1)上 f'(x) 0；在(1,3)上 f'(x) 0;在(3,)± f '(x) 0/因此f (x)在x0 1处取得极小值4/a b c 4，f '(1) 3a 2b c 0 ，f '(3) 27a 6b c 0 a 132/由联立得：b 6 ,，、f(x)x 6x 9xc 9(2)设切点 Q(t, f(t), y f(t) f ,(t)(x t)/232y

18、 ( 3t 12t 9)(x t) ( t 6t 9t) _2_2_2-(3t12t9)xt(3t12t 9)t(t6t 9)_ 2_2_,(3t12t9)xt(2t63过(1,m)232m ( 3t12t 9)( 1) 2t6t32g(t) 2t3 2t2 12t 9 m 0令 g'(t) 6t2 6t 12 6(t2 t 2) 0,g(1) 03 12m 16g(2) 01612 24 9故：11m 16;因此所求实数 m的范围为：(11,16)m 11题3:已知f(x)在给定区间上的极值点个数 则有导函数=0的根的个数解法：根分布或判别式法例8、已知函数/(#)=gX3 - m

19、+ 3 ) x2 + (m +6)x,xelt (nt 为常数). a(I )当小二4时,求函数月口的单调区间；(n )若函数y二人外在区间(1 , + 8 )上有两个极值点,求实数m的取值范氏解：函数的定义域为 R (I)当m=4时，f (x)= 1x3 7x2+10x, 32f (x)=x27x+10,令 f (x) 0 ,解得 x 5,或 x 2.令 f (x)可知函数f(x)的单调递增区间为(，2)和(5, +8),单调递减区间为2,5(n) f(x) =x2 (m + 3)x+ m + 6,要使函数y=f(x)在1, +O°)有两个极值点 ， f (x) = x2(m+3)

20、x+m+6=0 的根在(1, 十根分布问题:求得：t 1,t 2,方程g(t) 0有三个根。2(m 3)2 4(m 6) 0;则 f (1) 1 (m3) m 6 0;,解得 m>3例9、已知函数f(x) ax3 31 2 1 ,-x , (a R,a 0) (1)求 f (x)的单调区间；(2)令 g(x) = 7 x4+f (x) (xC R)有且仅有3个极值点，求a的取值范围.解：(1) f (x) ax2 x x(ax 1)I ，1当a 0时，令f (x) 0解得x 或x j 0 ,令f (x) 0解得 一 x 0 , a / a所以f(x)的递增区间为(，1) (0,)，递减区

21、间为(1,0). aaII当a 0时，同理可得f(x)的递增区间为(0,),递减区间为(,0)(-,)./aa14a 31 2(2) g(x) -x -x -x有且仅有3个极值点 432.3/2.22g (x) x ax x x(x ax 1)=0 有 3 个根，贝U x 0或 x ax 1 0, a 2方程x2 ax 1 0有两个非零实根，所以a2 4 0,a 2 或 a 2而当a 2或a 2时可证函数y g(x)有且仅有3个极值点其它例题：0)在区间1、(最值问题与主元变更法的例子) .已知定义在R上的函数f (x) ax3 2ax2 b (a2,1上的最大值是5,最小值是11.(I)求函

22、数f (x)的解析式； (n)若t 1,1时，f (x) tx 0恒成立，求实数x的取值范围.一_322斛：(I) , f (x) ax 2ax b, f (x) 3ax 4ax ax(3x 4) 一一4令 f(x)=0，得 x10,x2 2,13因为a 0,所以可得下表:x2,000,1f (x)+0-f(x)极大因此 f (0)必为最大值，. . f (0) 5因此 b 5, ；f(2) 16a 5,f(1) a 5, f(1) f( 2),即 f( 2)16a 511, a 1, .f(x)x3 2x2 5.(n) . f (x) 3x2 4x, f (x)tx 0等价于 3x24x t

23、x 0,令g(t) xt 3x2 4x,则问题就是g(t) 0在t 1,1上恒成立时，求实数 x的取值范围,* 叶口中 g( 1) 03x2 5x 0为此只需，即 c,g (1) 0 x2 x 0/解得0 x 1,所以所求实数 x的取值范围是0, 1.2、(根分布与线性规划例子)(1)已知函数 f(x) 2x3 ax2 bx c3(I)若函数f(x)在x 1时有极值且在函数图象上的点(0, 1)处的切线与直线 3x y 0平行，求f(x)的解析式；(n)当f(x)在x (0, 1)取得极大值且在 x (1, 2)取得极小值时，设点M (b 2, a 1)所在平面区域为 S,经过原点的直线 L将

24、S分为面积比为1:3的两部分，求直线L的方程.解：(I ).由f (x)/2x2 2ax b,函数f (x)在x 1时有极值， 2a b 2 0/ f (0) 1 c 1又 f (x)在(0, 1)处的切线与直线3xy 0平行,(n )解法f (0) b 3 故3 1x2 3x2(x)2x22ax bf (x)在 x(0, 1)取得极大值且在x(1,.7分2)取得极小值，(0)易得A( 2,2a4a令 M (x, y),0),2y4y同时 DE ABCB( 2,1),的中位线，S故点M所在平面区域S为如图C(2,2), D(0,1), E(0,ABC,2)DEC 3 SI边形 ABED所求一条

25、直线L的方程为：x 0另一种情况设不垂直于x轴的直线L也将S分为面积比为设直线ABC分别交于F、G,则k 0, Sg边形 DEGF 1L方程为y kx，它与AC,BC1:3的两部分，百度文库y kx2y x 2 0得点F的横坐标为Xf22k 1y kx4y x 60得点G的横坐标为：Xg64k 1Sh边形 DEGFS OGES OFD4k 1 22k- 1 即 16k2 2k 5 0 1(舍去)故这时直线方程为综上，所求直线方程为：.12分(n)解法由 f (x)22x 2ax b及f(x)在x (0, 1)取得极大值且在 x(1, 2)取得极小值f (0) 0f (1) 0f (2) 0b

26、0即 2ab 2 04a b 8 0x b 2令 M(x, y), 则y a 1x 2 02y x 20 故点M所在平面区域 S为如图 ABC,4y x 6 0易得 A( 2, 0) , B( 2,1), C(2,2), D(0,1), E(0,2)S ABC同时DE为ABC的中位线，S DEC1s 3另一种情况由于直线 BO方程为:2y1x2x 2四边形ABED，所求一条直线L的方程为：x 01 1y得直线L02,22, S ABCS 一° DEC已知函数f(x)3 axbx2(c 3a 2b)x d (a 0)的百度文库29(n)若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程

27、为3x y 11 0,求函数f ( x )的解析式;(出)若X0 5,方程f(x) 8a有三个不同的根，求实数 a的取值范围。解：由题知：f2(x) 3ax2bx+c-3a-2b(I)由图可知函数f( x)的图像过点(0,3 )，且f 1 = 0d 3d 33a 2b c 3a 2b 0 c 0(n )依题意 f 2 = - 3 且 f ( 2 ) = 512a 4b 3a 2b 3解得 a = 1 , b = -68a 4b 6a 4b 3 5所以 f ( x ) = x3 - 6xv/斛：(1) f(x) x 2ax 1x1 x22a, x1 x21'/x x27(xi x2&qu

28、ot;)24x1x2 La24 2 + 9x + 3(出)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 - ( 3a + 2b )x + 3 ( a>0 )f x = 3ax2 + 2bx - 3a - 2b 由 f 5 = 0 b = - 9a满足 f ( 5 )<8a<f ( 1 )若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根，当且仅当x2(2,1)1(x)一(x)8a192a由 得-25a + 3<8a< 7a + 3 < a< 311 ， ， 1所以当一 vav3时,、方程f ( x ) = 8a有二个不同的根。12分114、(根的个数问题)

29、已知函数f (x) 1x3 ax2 x 1(a R)(1)若函数f (x)在x Xi,x x2处取得极值，且 x1 x22,求a的值及f(x)的单调区间;11 25(2)若a 一,讨论曲线f(x)与g(x) -x2 (2 a 1)x -( 2 x 1)的交点个数. 226-2_2/ f (x)x 2ax 1 x1令 f (x) 0得 x1,或x 1/,令 f (x) 0得 1 x 1/. f (x)的单调递增区间为(，1), (1,)，单调递减区间为(1,1)5分1c c1c53261 o1c1即一x (a )x 2ax 0326a13121令(x)-x(a-)x2ax-(2 x 1) 6 分

30、326(x) x2 (2 a 1)x 2a (x 2a)(x 1) 令 (x) 0得x 2a或x 1 7分由题 f(x) g(x)得1x3 ax2 x 1 -x2 (2a 1)x -H 1 a -1 2当2a 2即a 1时，一， 一 9 一 一此时，8a - 0, a 0,有一个交点； 9分，一一1当2a2即1 a 1时，2x2(2,2 a)2a(2a,1)1(x)十0一(x)9、 8a2/2 21 a (3 2 a) 36aH 2 21 3a (3 2a) 6 0,.99当8a0即1 a时,有一个父点；216.9 一9当8a 0,且a 0即一a 0时，有两个父点；21619当0 a 时，8a

31、 - 0,有一个交点 13分22八，一，91综上可知，当a一或0a时，有一个交点；1629当 一 a 0时，有两个交点. / 14分165、(简单切线问题)已知函数f(x)x32 10F 图象上斜率为3的两条切线间的距离为 ,a25函数g(x)(I)(n) 围.f(x)萼 3./a若函数g(x)在x 1处有极值，求g(x)的解析式；若函数g(x)在区间1,1上为增函数，且b2 mb 4 g(x)在区间1,1上都成立，求实数m的取值范函数中任意性和存在性问题探究高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点, 究一、相关结论：卜面结合高考试题对此类问题进行归纳探结i1：x1 a,b,

32、 x2 c,d, f(x1) g(x2)f (x) min g(x)max ； 【如图一】结i2：x1 a,b, X2 c,d, f(x1) g(xz)f(x)max g(x)min ；【如图二】结论3:为a,b, x2 c, d, f(x1) gd)f (x)min g(x)min ；【如图三】结i仑 4：x a,b, x2 c,d, f(x1) g(x2)f (x)max g(x)max；【如图四】结i5：x1 a,b, x2 c,d, f(x1) g(xz)f(x)的值域和g(x)的值域交集不为空；【如图五】因二Zb)上“RM*Av) F*岳五【例题1：已知两个函数- 2 一f (x)

33、8x 16x k, g(x)_32_ _2x3 5x2 4x,x 3,3, kR.; 若对x 3,3,都有f(x) g(x)成立，求实数k的取值范围;(2)若x 3,3,使得f(x) g成立，求实数k的取值范围；(3)若对x1，x2 3,3,都有f(Xi) g(x2)成立，求实数k的取值范围；32解：(1Th(X) g(x) f(x) 2x 3x J12x k, (1)中的问题可转化为：x 3,3时，h(x) 0恒成立，即h(x)min °。/'一 2 一 一一 -h (x) 6x 6x 12 6(x 2)(x 1).当X变化时，h(x)，h(x)的变化情况列表如下：x-3(

34、-3,-1 )-1)(-1,22)(2,33h (x)+0一0+h(x)k-45增函数极 大值娄减函 k极 小值娄增函 kk-9因为 h( 1) k 7,h(2) k 20,所以，由上表可知h(x)mink 45 ,故 k-45 >0,得 245,即 kC 45,+oo).小结：对于闭区间 I ,不等式f(x)<k 对xC I时恒成立 f(x)max<k, x CI;不等式f(x)>k 对xC I时恒 成立 f(x)min>k, x CI. 此题常见的错误解法：由 f(x)max < g(x)min 解出k的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)max

35、< g(x)min ”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价(2)根据题意可知，(2)中的问题等价于h(x)= g(x) -f(x) >0在x -3,3时有解，故h(x)max >0.由(1)可知h(x)max= k+7,因此 k+7>0,即 k 7,+ oo).(3)根据题意可知，(3)中的问题等价于f(x)max <g(x)min ,xC-3,3.由二次函数的图像和性质可得，x -3,3时，f(x)max=120- k.仿照(1),利用导数的方法可求得x -3,3时，g(x)min= 21./由 120k>21 得 k>141，即 kC

36、141,+ oo).说明：这里的x1,x2是两个互不影响的独立变量从上面三个问题的解答过程可以看出，对于一个不等式一定要看清是对“ x”恒成立，还是“ x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量，然后再根据不同的情况采取不同的等价条件，千万不要稀里糊涂的去猜.类、相关类型题：/一、"a f(x)"型；、/形如"a f(x)","a f (x)"型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“af (x)在x D上恒成立，则af(x)max(x D); a f (x)在xCD上恒成立，则a f(x)min

37、(x D); ”许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.例1 :已知二次函数 f (x) ax2 x,若 x 0,1时，恒有I f(x)|1 ,求实数a的取值范围.2 ax解：:| f (x) | 1,， 1 axf (x) t 2at 1对所有x 1,1, a 1,1恒成立，求实数t取值范围. x值为当x 0时，不等式显然成立,当 0 x 1 时，由 1 x ax2 1c .11.a 0 . 又. ( F _) maxX X二、"f (xi)f (x)f(x2)"型aC R.x得： x2,综上得)0 minXa的范围是a 2,0。x例2已知函数f(x) 2sin(-)

38、25若对 x都有"f (%)f(x)f(x2)"成立，则|xi x2|的最小解,对任意xCR,不等式f(x1) f (x) f(x21l!成立,f (x1)，f (x2)分别是f(x)的最小值和最大值.对于函数y sin x ,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是兀，即半个周期.又函数 f(x) 2sin( y三、“f一)的周期为4,|Xi5f(x1)£仁2九刑生x2 I的最小值为2.x1x2"f3f(x"恒成立的函数的个数是,使例 3：(2005 湖北)在 y 2x, y log2 2x, y2、一 一一.x , y cosx这四个函数中，

39、当0 x1 x2 1时x1 x2fIf (x1) f (x2)解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件"j"的函数，应是凸函数的性质,画草图即知y log22x符合题意;四)、."f(x1)一f (x2) 0"型x1x2例4已知函数f(x)定义域为1,1, f (1) 1,若m,n 1,1, m n 0时，都有"f(m)-f-(n解：任取 1x1x2 1 ,则f (x1)f (x2)f(X1)f(X2)(Xx2),由已知 f(Xl)f(X2)0 ,又x1 x2x1 x2xi x2 0, f(xi)f(x2) 0f,即 f (x)在1,1上为

40、增函数.f(1) 1 , . x 1,1,恒有 f(x) 1 ；要使f(x) t2 2at 1对所有x 1,1, a 1,1恒成立，即要t 2at 1 1恒成立，故 t2 2at 0 恒成立，令 g(a) 2at t2,只须 g( 1) 0 且 g(1) 0,解得t 2或t 0或t 2。评注： 形如不等式"上(土)一f2 0"或"1x2一fix! 0"恒成立，实际上是函数的单调性的另一种表 x x2x x2现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息五、."f (x) g(x)"型：1一一例 5：已知 f(x) -lg(x 1), g(x) lg(2x t),若当 x 0,1时，f (x) g(x)恒成立，求实数 t 的取 2值范围.解：f(x) g(x)在 x 0,1恒成立，即 jx7 2x t 0在 x 0,1恒成立xm 2x t 在0,1上的最大值小于或等于零.令 F(x)2x t, F'(x) x 3； . f(x)在2, 1为增函数，在1,2为减函数. Vx-J, . x 0,12 x 1' . . . F (x) 0 ,即F(x)在0,1上单调递减，F(0)是最大值./f (x) F(0)、1 t 0,即t 1。/六、"f(X) g(x2)"型1 3249x c例