1999考研数二真题及解析

1、1999年全国硕士研究生入学统一考试数二试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)tx = e sin 2t , ., , , _曲线 t ,在点(0,1)处的法线方程为y =e cost(2)(4).、一 ,23.、一. dy设函数y = y(x )由万程ln (x + y )=x y +sin x确定，则 一 dxx 5 dx =-6x 13x2, 、13，函数y=二在区间I1, ye上的平均值为 口 2 一微分方程y .-4y =3的通解为二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，把所选项前的字

2、母填在提后的括号内。)1 - cosx - ,x 0 设f(x) =vx,其中g(x)是有界函数，则f (x)在x = 0处()2 . _x g x , x _0(A)极限不存在.(B)极限存在，但不连续.(C)连续，但不可导.(D)可导.5x sin t -sinx 1(2)设口(x )= I dt, P (x )= (1 + t F dt ,则当 xt 0 时Ct (x )是 P (x )的(A)高阶无穷小(C)同阶但不等价的无穷小(B)低阶无穷小(D)等价无穷小 设f(x)是连续函数，F(x)是f (x)的原函数，则()(A)当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数.(B)当f(x)是偶

3、函数时，F(x)必是奇函数.(C)当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数.(D)当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数收敛于2的（）（A）充分条件但非必要条件.（C）充分必要条件.（B）必要条件但非充分条件.（D）既非充分条件又非必要条件x-2x -1x-2x-32x-22x-12x -22x-33x-33x-24x -53x-54x4x-35x-74x-3(B) 2.为（5）记行列式(A) 1.f（x）,则方程f（x）=0的根的个数为（）(C) 3.(D) 4.三、（本题满分5分）求 l i m-1t2x 0 xl n 1 x -x四、（本题满分6分）计算二ar ct axn

4、dx .五、（本题满分7分）求初值问题y.x2 y2 dx - xdy = 0(x 0)的解.yx0六、（本题满分7分）为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N ,缆绳每米重50N ,抓斗抓污泥以 20N/S问克服重起的污泥重2000N ,提升速度为3m/s,在提升过程中, 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口, 力需作多少焦耳的功？（说明：1N dm=1J;其中m, N,s, J分别表示米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.）七、（本题满分8分）x3已知函数y = x 2 ,求(x-1)

5、函数的增减区间及极值；（2）函数图形的凹凸区间及拐点 函数图形的渐近线.（本题满分8分）1)=1，设函数f （x ）在闭区间-1,1上具有三 阶连续导数，且f（-1）=0,f（0） = 0,证明：在开区间（1,1）内至少存在一点，使f）=3.九、（本题满分9分）设函数y（x x xi0）二阶可导，且 y（x）A0, y（0）=1.过曲线y = y（x）上任意一点 P（x, y）作该曲线的切线及 x轴的垂线，上述两直线与 x轴所围成的三角形的面积记为 S, 区间I0,x上以y = y（x小曲边的曲边梯形面积记为 S2,并设2S,_S2恒为1,求此曲线 y = y（x用方程.十、（本题满分6分）

6、nn设f（x周区间0,收）上单调减少且非负的连续函数，an=Z f（k）-（ f（x）dxi=4（n =1,2, |H）,证明数列an的极限存在.十一、（本题满分8分）11-1 、1，一“，一一 ,.- -一*1*设矩阵A= -111 ，矩阵X满足AX=A +2X ,其中A是A的伴随矩阵，J -1 1，求矩阵X .十二、（本题满分5分）设向量组 % =（1,1,1,3L%=（-1,3,5力，%气3,21,p + 2，, %=（2,-6,10,p：T（1） p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量=（4,1,6,10）用u1p2,二3。4线性表出；（2） P为何值时，该向量组线性相关？并此时

7、求出它的秩和一个极大线性无关组1999年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析一、填空题【答案】y+2x-1=0【详解】点(0,1 )对应t=0,则曲线在点(0,1)的切线斜率为dy ttdy dt e cost -e sint cost -sint dx dx e sin2t 2et cos2t sin2t 2cos2tdt把t =0代入得dy =二，所以改点处法线斜率为-2 ,故所求法线方程为 y + 2x -1 = 0 .dx 2(2)【答案】1【详解】y(x)是有方程ln (x2 + y )= x3y+sin x所确定，所以当x = 0时，y=1. 23对万程ln(x +y ) = x

8、 y+sinx两边非别对x求导，得2x y _ 23 .= 3x y + x y +cosx , x2 y把x =0和y =1代入得y(0) =dy=1x -3 C2即dx xa1 . , 2_“、(3)【答案】 ln( x 6x+13)+4arctan 2【详解】通过变换，将积分转化为常见积分，(4)【答案】x 5-dx 二x -6x 13x -32_x -6x 13dx x-dx-6x 133 1121 d(x2 -6x 13)22x2 -6x 13-6x 13dx(x-3)2 412= 2ln(xln(x22d(x)-6x 13) 4 U (x-3)2 i2x 3-6x 13) 4arc

9、tan C【详解】按照平均值的定义有_1y - _3 12 232丁 xij-Tdx，作变换令x =sin t,则dx =costdt ,所以13 sin21 cost 23- . 2.y = 3 1 611，in2t31 isin tdt22= (,3 1)J(1-1cos2t)dt =(.3 1) 16 2 2.2133 1t sin 2t =二2二126-1【答案】y =C1e/x+1C2+x e2x,其中C1C2为任意常数.4【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解【详解】原方程对应齐次方程y - 4 y = 0的特征方程为:丸2 - 4 = 0,解得 = 2,儿2 =

10、 -2 ,故 y-4y =0的通解为 y1 =C1ex +C2e2x,由于非齐次项为f (x) = e2x,因此原方程的特解可设为y* = Axe2x,代入原方程可求得A 1, , 一 一-* _2x1A = 一，故所求通解为y = y+y =Ce+C2十 x44e?x二、选择题(1)【答案】(D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手因为 f (0)- lim ff x 0 x -01 一 cosx呵 xx1 2x=lim 2= 0,x 10 x ； xfMlimff) x 0 x -02x g(x)二 lim -Lx )0 -x=lim xg(x) = 0, x0

11、 从而，f (0)存在，且(0) =0 ,故正确选项为(D).(2)【答案】(C )【详解】当XT 0有,5xsint .xsin5xdt(x)0 t5xlim 二 limt1 = lim5x 1cosxx 0 ：(x) x 0 sinx 1 x 0 (1 t)tdt (1 sin x)sinxsin5x=5lim x 口 5xlim (1 sin x)sinx limcos xsin x 0x 01= 51-e 1所以当x T 0时u (x )是P (x )同阶但不等价的无穷小(3)【答案】(A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性xf(x)的原函数F(x)可以表示为F(x

12、) = L f (t)dt+C,于是-xU xF(-x) = 0 f(t)dt C = 0 f(-u)d -uC.当f(x)为奇函数时，f(_u)=_f(u),从而有 xxF(-x) = 0 f(u)du C = 0 f(t)dt C =F(x)即F(x)为偶函数.故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：213f(x) =x2是偶函数，但其原函数 F(x) = -x +1不是奇函数，可排除(B)；3一、 2、11 .八f(x)=cos x是周期函数，但其原函数F(x)= x+ sin2x不是周期函数，可排除24(C);1 2 ,、f(x)=x在区间(3,依)内是单调增函数，

13、但其原函数F(x)=-x在区间(空,) 2内非单调增函数，可排除(D).(4)【答案】(C )【详解】【方法1】必要性：数列极限的定义对于任意2定的 超A 0 ,存在N1A 0,使得当n A N1时恒有|xn -a|0, z = min三这时 (0,1),由已知，对于此名存在N 0 ,3 3使得当n之N时，恒有| xn -a |0,使得当n A N时|xn -a|0 ,总存在N1A0,使得当n岂N aNi时，有|Xn a|0 ln 11 - cosxxx,21 . x 2 次 1 x 1-1lim洛lim= lim2x Qln 1 x -x = 2 x w x (1 x) 2 x 1 x四【详

14、解】采用分部积分法二 arctan xdx*11=一 arctan xd()=arctanx1 xx万dx(-x 1 xJI2)dx 二一 ln x 一42-ln(1 x ) 2ji二ln4x一-二1一|1一-ln2.1 x242五【详解】将原方程化简叽y一2 xla j (2 dx x x x令=u ,则dyuu+xdu，代入上式，得 xdx dx化简并移项，得du_二dx.1 u2xu + xdu = u + Ji + u2 , dx由积分公式得ln(u + j1 + u2) =ln(Cx),其中C是常数,因为x 0,所以C 0 ,去掉根号，得u +Ji + u2 =Cx ,即？ +Ji

15、+ ()2 =Cx, x x，一1 o 1把y、3=0代入并化简，得y = x2 ,x0x -122w =W +W4 +W3,其中W1是克服泡诵重商U0六【详解】建立坐标轴如图所示，解法1:将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功作的功； 也是克服缆绳重力作的功；W3为提出污泥所作的功.由题意知W1 =400N 30m =12000J.将抓斗由x处提升到x+dx处，克服缆绳重力所作的功为dW2 =缆绳每米重蹴绳长 升高度= 50(30 -x)dx,30从而W2 = 0 50(30 - x)dx =22500J.在时间间隔t,t+dt内提升污泥需做功为dW3=(原始污泥重-漏掉污泥重)父提升高度(3dt

16、)二 (2000 - 20t )3dt将污泥从井底提升至井口共需时间理m二10 s,3m/s10所以W3 = J0 3(2000-20t)dt =57000J.因此，共需做功W =皿 W2 W3 = (12000 22500 57000)J =91500J解法2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为W,当抓斗运动到x处时，作用力f(x)包括抓斗白自重400N ,缆绳的重力50(30 -x)N ,污泥的重力(2000 -5 ,20)N,3rr-20170即 f (x) = 400 50(30 一 x) 2000 一 x = 3900 x,33于是卸 I170 ：85 o 的W = ,3900 -

17、x dx=3900x-85x2 00 =117000 -24500 =91500J七 I3 )3七【详解】函数的定义域为(-0,1)U(1,y),对函数求导，得2 ,x (x -3)6xy =3 ， y =4(x -1)3(x-1)4令y = 0得驻点x=0,x=3；令y* = 0得x=0.因此，需以0,1,3为分界点来讨论，列表讨论如下:x(-0,0)0(0,1)(1,3)3(3,收)y0+y+0+0+y凸，增拐点凹，增凹，减极小值凹，增由此可知,27(1)函数的单调增区间为(g,1)U(3,+/)，单调减区间为(1,3),极小值为y x.(2)函数图形在区间(_。0)内是向上凸的，在区间(

18、0,1),(1,+无)内是向上凹的，拐点为(0,0)点.3X由|im x 9 =+oc,可知x = 1是函数图形的铅直渐近线x 1 (x-1)2又因为l i my = l im 2x ：二 x x : x(x- 1 j3xlim( y -x) =hm( 一一Xx-. - (x -1). x)=lim x1)x-:(x-1),m *x：-?IL(x-1)=2故y =x + 2是函数的斜渐近线八、(本题满分8分)设函数f(x近闭区间1,1上具有三阶连续导数，且 f (-1 ) = 0, f (1) = 1 , f(0)=0,证明：在开区间(1,1 )内至少存在一点 J 使fK)=3.【详解】解法1

19、:由麦克劳林公式得1213f (x) = f (0) + f (0)x +- f (0)x2 +- f p)x3,其中“介于 0与 x 之间，xW 1,1分别令x = -1, x = 1并结合已知条件得1 .1.f (-1) = f (0) - f (0) - - f ( 1) =0,-1 :二 1 ：二02 61 .1.f (1) = f (0) f (0) f ( 2) =1,0 ； 2 二 12 6两式相减，得f ( 2) f ( 1) =6由f ”(x)的连续性，知f (x)在区间?,”2上有最大值和最小值，设它们分别为M和m ,则有1m - If ( 2) f ( 1)1 f 0,y

20、(0) =1,因此 y(x) 10 (x0)x-义V 2yx又S2 = y(t)dty2x根据题设 2s -S2 =1,得 2 .士 y(t)dt=1, 两边对x求导并化简得yy = (y j这是可降阶的二阶常微分方程，令p=y；则丫” =艺=电，型= pE,dx dy dx dy上述方程化为ypdp = p2,分离变量得生=电，解得p=Gy,即型=Gy, dyp ydx从而有 y=C1ex+C2 ,根据 y(0) =1,y(0) =1，可得 G =1,C2=0,故所求曲线得方程为y = ex.十【详解】利用单调有界必有极限的准则来证明.先将an形式化简,n _1n23nnki：；1因为 f

21、(x)dx f(x)dx，I f (x)dx I f (x)dx = f (x)dx 112n 1kk所以nnJ k 1nJ k 1an =f k f (n)f(x)dx =、 f k - f (x)dx f (n)kkII kWkW又因为f(x)单调减少且非负，kExWk+1,所以有n,k 1户 fk f (k)-f(x)dx0i k =i,故 an 之 0 ,f(n)-0又因为an 1 -an二f k - 1 f x dx f k - 1 f x dxi =1f x dx寸 f k -v f k -f x dxi 1iW=f (n 1) -f (x)dx = f (n 1) - f (x)

22、dxM 0所以Gn单调减少，因为单调有界必有极限，所以nman存在.【详解】题设条件上式两端左乘A ,得 AA XAA- 2 AX因为 AA = A E, AA=E,所以根据可逆矩阵的定义：对于矩阵可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，故X =(A E -2A)-1-1因为常数所以-11行2行k与矩阵A相乘,4A E =4E =A X= E+2 AfeA E2 )A X EAn ,如果存在矩阵Bn，使得AB = BA = E ,则称A为（AE2A）,X均是可逆矩阵，且2行 1行3行+1行0 -1-1A的每个元素都要乘以010 , 2A =42-2I2一2-211行-3行2k ,故-2 I2-2A E

23、-2A =2(2E - A) = 2：一2X =( AE-2A)1-111用初等行变换求逆,换，单位矩阵E化成了一112 12一11-111-1 （对应元素相减）1if一111T-1(kA),= k/A)当用初等行变换将矩阵初等行变换A，即（A E ） tA化为单位矩阵时,1经过相同的初等行变A：1一1：01 ：02行-1行一10-13行41行0 1 -0-2： -1010-1 1： 10010： 01/21/201：1/201/21-12行+3彳10 20 001 -1 0：1/2 01 行3行0 10； 01/20 0 1：1/2 0-1/211/2 1行十2行1 01/200 0：1/2

24、 1/201 0： 01/21/20 1：1/201/21/21X = 021/21/201 111/2 1/2 = 0 1 401/21 00111十二【概念】向量组1,2,0(3,4线性无关U以四，i =1,2,3,4为列向量组成的线性齐次方程组 a洛 +a2x2 +u3x3 +u4x4 =卜102931a4 X =0只有零解向量a能否由向量组 出42,33,口4线性表出u以Gi,i=1,2,3,4为列向量组成的线性非齐次方程组%为+%X2 +63X3 +0(4X4 =口是否有解【详解】作方程组 0(1x1 +豆2x2 +a3x3 + 0(4X4 = ,并对增广矩阵作初等行变换,Im, ：-2, ：3, ：-4,：- 1 -31-3-2： 4-