1.3含有量词的命题

1、1.3全称量词与存在量词(一9量词教学目标一、知识与技能：了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。二、过程与方法：教学重点:理解全称量词、存在量词的概念区别；教学难点正确使用全称命题、存在性命题 ；教学过程一、创设情境在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个”等 量词的命题进行否定，确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这 类问题，以解心中的郁结。问题1:请你给下列划横线的地方填上适当的词一 纸；一 牛；一 狗；一 马；一 人家；一 小船张头条匹户叶什么是量词？这些表示

2、人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表 形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。不遵守量词使用 的这些原则，就会闹出“一匹牛” “一头狗” “一只鱼”的笑话来。二、活动尝试所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。问题2:下列命题中含有哪些量词？(1)对所有的实数X,都有x2>0;(2)存在实数x,满足x2>0;(3)至少有一个实数 x,使得x22=0成立；(4)存在有理数x,使得x22=0成立；(

3、5)对于任何自然数 n,有一个自然数 s使得s = n K;(6)有一个自然数s使得对于所有自然数 n,有s = n K;上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外，还有量词。命题的量词，表示的是主词数量的概念。在谓词逻辑中，量词被分为两类：一类是全称量词，另一类是存在量词。全称量词：如 所有“、任何“、0切”等。其表达的逻辑为： 对宇宙间的所有事物 x来说，x都是F。 例句： 所有的鱼都会游泳。”存在量词：如 有”、宥的“、宥些”等。其表达的逻辑为：宇宙间至少有一个事物 x, x是F。"例句:宥的工程师

4、是工人出身。”含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。单称命题：其公式为“(这个)S是P'。例句： 这件事是我经办的。”单称命题表示个体，一般不需要 量词标志，有时会用 这个“某个"等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题：其公式为 所有S是P”。例句：所有产品都是一等品"。全称命题，可以用全称量词，也可以用都”等副词、 人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如人类是有智慧的。”特称命题：其公式为 宥的S是P'。例句： 大多数学生星期天休息特称命题使用存在量词，如 宥 些“、很少”等，也可以用 基本上“、&quo

5、t;般"、只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。问题3:判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？(1)方程2x=5只有一解；(2)凡是质数都是奇数；(3)方程2x2+1=0有实数根；(4)没有一个无理数不是实数；(5)如果两直线不相交，则这两条直线平行；(6)集合A A B是集合A的子集；分析：(1)存在性命题；(2)全称命题；(3)存在性命题；(4)全称命题；(5)全称命题；(6)全称 命题；四、数学理论1 .开语句：语句中含有变量 x或y ,在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这种含有变 量的语句叫做 开语句。如，x<2 , x-5=3 , (x+

6、y)(x-y)=0.2 .表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种：全称量词日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，记作 水、网 等，表示个体域里的所有个体。(2)存在量词日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作三x,弓等，表示个体域里有的个体。3 .含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。全称命题的格式：对M中的所有x, p(x)'的命题，记为：VxWM,p(x)存在性命题的格式：存在集合M中的元素x, q(x) ”的命题，记

7、为：三xM,q(x)注：全称量词就是 任意”，写成上下颠倒过来的大写字母 A,实际上就是英语"any"中的首字母。存在 量词就是存在“、有”，写成左右反过来的大写字母 E,实际上就是英语"exist"中的首字母。存在量词 的否”就是全称量词。练习：P14-练习题例1判断以下命题的真假：2222(1) xuR,x >x (2)VxuRx>x(3) = Q,x8=0(4)Vx-R, x +2>0分析：(1)真；(2)假；(3)假；(4)真；例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：第一步：设a=b,则有a2=ab第二步：等式两边都减去 b2,得a

8、2-b2=ab-b2第三步：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b第五步：由a=b代人得，2b=b第六步：两边都除以 b得，2=1分析：第四步错：因 a-b = 0,等式两边不能除以 a-b第六步错：因b可能为0,两边不能立即除以 b,需讨论。心得：(a+b)(a-b)=b(a-b) =a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。同 理，由2b=b= 2=1是存在性命题，不是全称命题。例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。(1)中国的所有江河都注入太平洋；(2) 0不能作除数；(3)任何一个实数

9、除以1,仍等于这个实数；(4)每一个向量都有方向；分析：(1)全称命题，寸河流xC 中国的河流),河流x注入太平洋；(2)存在性命题，：30CR, 0不能作除数；(3)全称命题，V x R, = x ;1(4)全称命题，V a , 1有方向；五、回顾反思要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假。要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假。即全称命题与存在性命题之间有可能

10、转化，它们之间并不是对立的关系。 六、课后习题：教材 P161,2,3 补充习题A组 1.判断下列全称命题的真假，其中真命题为()2A .所有奇数都是质数B. VxR,x +1之1C.对每个无理数 x,则x2也是无理数D.每个函数都有反函数2,将"x2+y2>2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()2222A . Vx, yuR,都有 x +y 之2xyB. zx, y = R ,都有 x +y 之2xyC. Vx >0, y >0 ,都有 x2 +y2 之2xyd,女 <0, y <0 ,都有 x2 十y2 E2xy3.判断下列命题的真假，其中为真

11、命题的是A. - x R,x2 1 =0 BTx R,x2 1 =0C. _xR,sin x : tan x4.下列命题中的假命题是(x R,sin x : tan xA.存在实数 a 和 3 ,使 cos( a + 3 )=cos a cos 3 +sin s sin 3B.不存在无穷多个 a 和 3 ,使 cos(a + 3 )=cos a cos 3 +sin a sin 3C.对任意 a 和 3 ,使 cos( a + 3 )=cos a cos3 sin a sin 3D.不存在这样的a和3 ,5.对于下列语句使 cos( a + 3 ) w cos a cos 3 sin a si

12、n 3(1) x Z,x2 =32 x R,x =224(3) x 三 R,x 2x 3 02L(4 ) -x 三 R,x x - 5 . 0其中正确的命题序号是。(全部填上)B组. (a -.-b)2 a - b ”.八“，八一"“.八一、，、6.命题-=是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请补充 b 1 b 1必要的条件，使之成为全称命题。C组1、平面向量 a =(3,4),b =(2,x),c = (2,y),已知 a / b , a _L c ,求 b>c及bWc夹角。2、已知向量 m = (cosdsin 8 )和 n=( V2sin日,cos

13、 ),(1)求| m + n |的最大值;(2)若 | m + A |=时10 ,求 sin 20 的值.5参考答案：1 . B; 2. A; 3. D; 4. B; 5. (2) (3); 6.不是全称命题，补充条件： a<-b<1 (答2案不惟一)当<1时，a+b*。-b"口丁不C组:一 一 .一 一 .一 一 31、a = (3, Y),b = (2, x), a / b u248.3J.x = , c = (2,y)a_Lcu y =x32 一 8、 一 3、,b =(2,-),c =(2,-)，b c = 0:： b,c =90324 4L2、(1) m+

14、n = (cos®-sin® + J2,cos 8+sin 8 ).| m n | 二 cos :-sin f 2 (cos - sin - )2二 ,4 2 2(cos - -sin -) = . 4 4cos -3 二5二.二 7二 .2,二 ,26 W J|JT,- I,- <e旨 < cos(0 +)拳.| m n | mak ,422 .(2)由已知1m十：匚咎，得。0市+4b5sin 21-cos2(i )42 . 二=1 -2cos (f )4 c 97二1 -2 乂 =.25 251.3全称量词与存在量词(二)量词否定教学目标：利用日常生活中的例

15、子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、 存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；课 型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境数学命题中出现 全部“、所有“、.切"、任何“、任意“、每一个”等与存在着“、有“、有些”、 某个”、至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词(用符号分别记为 “V”与3来表示)；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑 关系中，p q, p q都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。 二、活动尝试 问题1：

16、指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3) VxWR, x2-2x+1 >0分析：(1) Vx M M,p(x),否定：存在一个矩形不是平行四边形；三x w Mjp(x)(2) Vx m M,p(x),否定：存在一个素数不是奇数；三x亡Mp(x)(3) Vx=M,p(x),否定：5xWR, x2-2x+1 <0;力 WM,p(x)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题三、师生探究问题2:写出命题的否定2(1) p： 3 x R, x+2x+2W0;(2) p：

17、有的三角形是等边三角形；(3) p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：1: x R, x2 2x+2>0;(2)任何三角形都不是等边三角形；(3)对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：跖(Ap|B) = u AlJZB,跖(AljB)= u ADTjB四、数学理论1 .全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P:VxWM,有P(x)成立；其否定命题rP为：三xCM,使P(x)不成立。存在性命题P:三xWM,使P (x)成立；其否定命题rP为：V xWM,有P (x)不成立。用符号语言表示：P:ZWM, p(x )否定为P: 兴M,P (x

18、)P： 3M, p(x )否定为P: V=M,P (x)在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否 定，否定否定得肯定.2 .关键量词的否定词语是一小旦 /E心都是小于且词语的否 定不是JT _日小 TEzix不都是小于或等于或词语必有一个至少有n个至多 个所有x成立所有x不成 立词语的否 定一个也没 有至多后n-1 个至少用两 个存在一个x不 成立存在后,个 成立否定一个命题常常坚持三点互换：任意与存在互换，肯定与否定互换、或者与并且互换 五、巩固运用3 1写出

19、下列全称命题的否定：(1) p：所有人都晨练；(2) p： Vx=R, x2+x+1>0;(3) p：平行四边形的对边相等；(4) p： 3 x R, x2x+1 = 0;分析：(1)P:有的人不晨练；(2)三xCR x2+x+1W0； (3)存在平行四边形，它的的对边不相等；(4) VxWR, x2x+1w0;例2写出下列命题的否定。(1)所有自然数的平方是正数。(2)任何实数x都是方程5x-12=0的根。(3)对任意实数x,存在实数V,使x+y >0. (4)有些质数是奇数。解：(1)的否定：有些自然数的平方不是正数。(2)的否定：存在实数 x不是方程5x-12=0的根。(3)

20、的否定：存在实数 x,对所有实数y,有x+yW0。(4)的否定：所有的质数都不是奇数。解题中会遇到省略了 所有，任何，任意”等量词的简化形式，如 若x>3,则x2>9"。在求解中极 易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。例3写出下列命题的否定。(1)若 x2>4 则 x>2.。(2) 若m0,则x2+x-m=0有实数根。(3)可以被5整除的整数，末位是 0。(4)被8整除的数能被4整除。(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。解(1)否定：存在实数 小,虽然满足£>4,但x0W2。或者说：存

21、在小于或等于 2的数x0,满足x；>4。(完整表达为对任意的实数 x,若x2>4则x>2)(2)否定：虽然实数 m> 0,但存在一个 %,使x2+ x0-m=0无实数根。(原意表达：对任意实数 m,若m> 0,则x2+x-m=0有实数根。)(3)否定：存在一个可以被 5整除的整数，其末位不是 0。(4)否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被 8整除的数都能被 4整除)(5)否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。(原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。)例4写出下列命题的否命题与否

22、命题，并判断其真假性。(1) p:若 x>y,则 5x>5y;(2) p：若 x2+x< 2,贝U x2-x< 2;(3) p：正方形的四条边相等；(4) p：已知a,b为实数，若x2+ax+bwo有非空实解集，贝U a2-4b>0o解：(1)P:若存在x>y,则5xW5y;假命题否命题：若x<y,则5xW5y;真命题(2) -1 P:若存在x,满足x2+x< 2,则x2-x >2;真命题否命题：若x2+x>2,则x2-x >2);假命题。(3) -1 P:存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。

23、否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。(4) "I P：存在两个实数 a,b ,虽然满足x2+ax+bW0有非空实解集，但使 a2-4b < 0。假命题。否命题：已知a,b为实数，若x2+ax+bW0没有非空实解集，则 a2-4b <0。真命题。评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：1 .任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题若P则q”提出来的。2 .命题的否定(非)是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原 命题可能是同真同假，也可能是一真一假。3 .原命题 若P则q”的形式，它的非命题

24、“若p,则q"；而它的否命题为 若p,则Iq"，既否 定条件又否定结论。六、回顾反思在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定， 才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能 力。七、课后练习A组1.命题p：存在实数m,使方程x2+mx+ 1=0有实数根，则“非p”形式的命题是()A,存在实数 m使得方程x2+ mx+ 1 = 0无实根；B.不存在实数 m使得方程x2+mx+ 1=0有实根；C.对任意白实数 m,使得方程x2+m杆1 = 0有实根；D.至多有一个实数 m,使得方程x2 +

25、mx+ 1=0有实根；2 .有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论显然是错误的，是因为()A.大前提错误B .小前提错误C.推理形式错误 D.非以上错误3 .命题“ VxR, x2-x+3>0”的否定是 4 ."末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是否命题是5 .写出下列命题的否定，并判断其真假：(1) p： Vm R,方程 x2+x-m=0 必有实根；(2) q：卡R,使得 x2+x+1W0；B组6 .写出下列命题的 非P”命题，并判断其真假：(1)若m>1 ,则方程x2-2x+m=0有实数根.(2)平方和为0的两个实数都

26、为0.(3)若AABC是锐角三角形，则AABC的任何一个内角是锐角.(4)若abc=0,则a,b,c中至少有一为 0.(5)若(x-1)(x-2)=0 ，则 xw1,x W2.书P16习题上Ex3、4C组3二、1、已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(3,0)、B(0,3)、C(cosa,sina) , a w ()2 ' 2(1)若 Ac| =1BC'I T2sin 2 嗔 +sin 2;,求角a的值；(2)若AC BC = 1 ,求应任卓1 tan 二的值。2、设平面内的向量 OA = (1,7),OB = (5,1),OM =(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，求当 微扁取最小值时,OP的坐标及/APB的余弦值。