三维旋转矩阵的计算

1、三维旋转矩阵的计算旋转矩阵(Rotation matrix )是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不 改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左 手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。在三维空间中，旋转变换是最基本的变换类型之一，有多种描述方式，如 Euler 角、旋转矩阵、旋转轴/旋转角度、四元数等。本文将介绍各种描述方式以及它 们之间的转换。1 .旋转矩阵用一个3阶正交矩阵来表示旋转变换，是一种最常用的表示方法。容易证明， 3 阶正交阵的自由度为3。注意，它的行列式必须等于1,当等于-1的时候相当 于还做了一个镜像变换。2 . Euler 角根

2、据Euler定理，在三维空间中，任意一种旋转变换都可以归结为若干个沿着 坐标轴旋转的组合，组合的个数不超过三个并且两个相邻的旋转必须沿着不同 的坐标轴。因此，可以用三个沿着坐标轴旋转的角度来表示一个变换，称为 Euler角。旋转变换是不可交换的，根据旋转顺序的不同，有 12种表示方式， 分别为：XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、 ZYZ,可以自由选择其中的一种。对于同一个变换，旋转顺序不同，Euler角也不同，在指定Euler角时应当首先约定旋转顺序。2.1 Euler角转化为旋转矩阵不妨设先绕Z轴旋转T,再绕Y轴旋转制最后绕X轴旋转%即旋

3、转顺序为 XYZ,旋转矩阵cy = cos(z),3=sin(诙示逆时针旋转。3.1 旋转轴/旋转角度 转化为旋转矩阵设v是任意一个向量，定义Vn = (ny)n = nnv v = v = (Z nn )v% = nxv =m j,= /7Xi,=川、，=-v,人 A.A. A.A J 4 AV| =v-v_L =(/+w2)v如下图所示这样，我们建立了一个直角坐标系。；3xM设u为v绕轴旋转后得到的向量，则有u = cosGv, + sinOv = (sm3n -cos/川-)匕 4=i u = ij +| = (/ + sin? +( l-cos)w2)v = R(n,0R(n. = I

4、 + sin+(1 cos 0)nR即为旋转矩阵。进一步可表示为co = On =(力叼牝)、Rco) = R(nO 4 .单位四元数(Unit quaternions)四元数由Hamilton于1843年提出，实际上是在四维向量集合上定义了通常的 向量加法和新的乘法运算，从而形成了一个环。% = % + 加 + % + /i, % = ix2 + jy2 +kz、+g4l +夕2 =/(内 +2)+J(必 +%) +后(4 +Z2)+(i +处： %夕2 = (iXl +/M + 后i +。)(a2 +J2 +kZ2 +C02) 2-27 2* * 11 *-77 i = j = k =ij

5、k = -1, i = jk = kjJ =ki = ik, k = y =-jiq |= Jx2+/+z2+2q称为单位四元数，如果|q|二1 。一个单位四元数可以表示三维旋转。用单位 四元数表示旋转可以保持一个光滑移动的相机的轨迹，适合动画生成。4.1 旋转轴/旋转角度 转化为单位四元数根据旋转轴n和旋转角度9,得到单位四元数qv = (WZ) = sin，wg4.2 单位四元数 转化为旋转轴/旋转角度.90q = (v, co) = (sin w?cos 22,6 = 2tan-1() (o4.3 单位四元数转化为旋转矩阵T?(z7, 0) = I + sin Bn +(1-cos)/7

6、2 = I + 2a)v +2v2-z0XyXL22-x - zyz22yz -x - yR(q) =1-2(/+z2)2(xy +za)2(xz -yeo)2(xy-za)2(xz+ya)1 - 2(x2 +z2) 2(yz xco)2(yz +xg)l-2(x2 +y2)4.4四元数的性质定义四元数的逆、乘法和除法，如下所示/ =（匕，？），% =（%。2）qf =（匕，一: =（一匕， 1q =1 102 = I.匕 x v2 + 中产2 + 由?匕，o)xa2 - %.匕)q = qj q、= q1q? = (% x 匕 + 8 一 ，一 -%R(q) = &(% )&(%), RW) = &(%)及(1)根据该性质，我们可以对两个旋转变换 q1和q2作线性插值，这相当于在四维 空间中的超球面上对点q1和q2作球面线性插值。q(D =sin(l - t)B +sin。sin tOsin。Q = cos-1( 必=cosT(