一元二次不等式恒成立问题

1、一元二次不等式恒成立问题、热点命题一一，卜吾通考点1 形如f(x)>0(x e R)例1、若关于x的不等式ax2 + x K0的解集为R ,则常数a的取值范围是解析由题意得A= 1 + 4a w 0,解得a<-14.5例2、不等式x2-2x+5>a2-3a对任意实数x恒成立，则实数 a的取值范围为()A. -1, 4B. ( 8 , -2U 5, +00)C. ( 8 , - 1U 4, +8) D. -2, 5解析思路点拨由一元二次不等式大于。恒成立，得相应的二次函数的图像开口向上，且与x轴没有交点；方法一：原不等式可化为x2-2x-a2+3a+5>0,要使不等式对任

2、意实数x恒成立，则 A=(_2)2-4(-a2+3a+5)<0,即 a2-3a-4<0,解得一1WaW4,故选 A.方法二：x22x+5=(x 1)2+4的最小值为 4,要使x2-2x+5>a2-3a对任意实数 x恒成 立，只需a2- 3a<4,解得1 w aw 4,故选A.考点 2 形如 f(x) > 0(x C a , b)例3、设对任意实数xC1, 1,不等式x2+ax 3av0恒成立，则实数 a的取值范围是(一 一一 1_1A. a> 0B. a>2C.a>4D. a>0或av 12解析思路点拨由二次不等式在给定区间上恒成立，转化为

3、其相应的二次函数在给定区间 上恒小于0。设 f(x) = x2+ ax 3a.因为对任意实数xC1, 1,不等式x2+ax3av0恒成立，f ( 1) <0f (1) <0, 解得a>2,即实数(1)2 - a 3a<0,12+ a 3a<0,a的取值范围是考点3a>2,故选B.形如 f(x) > 0(参数 m C a, b)例4、已知aC - 1, 1,不等式x2+(a4)x+4 2a>0恒成立，求x的取值范围.思路点拨可把x当作a的系数，把原不等式化为关于a的不等式，则原问题转化为一次函数在区间1, 1恒成立问题.解：把原不等式化为(x-2)

4、a+x2-4x + 4>0,设f(a) = (x-2)a+x2-4x+4,则f(a)可看成为关于a的函数. 由f(a)>0对于任意的aC 1, 1恒成立，得f (1) >0,f (1) >0,x2-5x+6>0, x2-3x + 2>0,解得x<1或x>3,即x的取值范围是(一巴 1)U (3, +00 ).考点4一元二次不等式与二次函数、二次方程的交汇问题例5、若关于x的不等式ax2+3x+ c>0的解集为1, 2,则a =, c=解析：由题意得方程ax2+3x+ c= 0的两根为Xi=i, x2= 2,由根与系数的关系可得1+2= 3,

5、 1X2= c,解得a=- 1, c=2.aa例 6、设 a>1,若 x>0 时，(a 1)x 1(x2ax1)>0 恒成立，则 a=.思路 本题若直接求解，需分类讨论，过程较复杂.可考虑根据不等式对应的丽f(x)、方程f(x) = 0和不等式f(x)>0的关系，再构造两个函数，把不等式转化为两个函数图像在区间(0, +8)上的关系.解析 设函数yi = (a1)x1, y2= x 2 ax 1,则这两个函数图像都过定点P(0, 1),问题可转化为两个函数在区间(0, + 00)上的符号相同.在函数 y1 = (a 1)x 1 中，令 y1 = 0,得 x = >

6、0 , a 1即函数y1的图像与x轴的交点坐标为M厂、，0 , a 11a 1而函数y2= x2- ax- 1的图像过点 M,则 1 = 0,解得 a= 0 a=7.a-12一一 .3又a>1,所以a= 2.三、迁移应用一一练透1,已知关于x的不等式x2ax+2a>0在R上恒成立，则实数 a的取值范围是 解析(1) ; x2ax+2a>0 在 R 上恒成立，A= a24X2a<0,解得 0<a<8.2 .函数f(x) = ln(3x2+ax+1)的定义域为R,则实数a的取值范围是 解析依题意，知3x2 + ax+1>0对任意实数x恒成立，所以 A= a

7、24X3X1<0, 解得2g3<a<243.3 .设a为常数，？xCR, f(x)=ax2+ax+ 1>0,则a的取值范围是()A. (0, 4) B. 0, 4)C, (0, +oo) d. ( 8, 4)解析先分类讨论二次项系数，再由 f(x)>0恒成立，得出相应的判别式应小于0.当a=0时，f(x) = 1>0?xCR成立；当aw0时，要使？xCR, f(x)>0恒成立， a>0,则 2解得0<a<4.A= a 4a<0,综上，a的取值范围是0, 4),故选B.4,已知二次函数 f(x) =ax2-(a+2)x+ 1(a

8、Z),且函数 f(x)在(一2, 1)上恰有一个零点，则 不等式f(x)>1的解集为()A. ( 8, 1)U(0, +8) B. ( 8, 0) U (1 , +8 )C. (-1, 0)D. (0, 1)解析(1) . f(x) =ax2-(a+2)x+ 1, A= (a + 2)2-4a= a2+4>0,，函数f(x) =ax2(a+2)x + 1必有两个不同的零点.又 f(x)在(一2, 1)上恰有一个零点，f(-2)f(-1)<0,一35即(6a + 5)(2a + 3)<0,3<a< 5.又 aCZ, a=1, ,.不等式 f(x)>1 即

9、为一x2x>0,解得1<x<0,故选C.5.若不等式x2 + ax2>0在区间1, 5上有解，则a的取值范围是()A. 23，+8B. -23, 15523C. (1 , +8)d. 一00,5f(5)>0,解得 a>-23, 5解析由A= a2+8>0,知不等式相应的方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负, 所以方程必有一正根、一负根.于是不等式在区间1, 5上有解的充要条件是故a的取值范围为 23, +°0 ,故选A.56.若关于x的方程x2+(m 1)x+m22=0的两个实根一个小于 1, 一个大于1,则实数m的 取值范围是()A. (

10、-V2,函 B. (-2, 0) C. (-2, 1) D. (0, 1)解析设 f(x) = x2 + (m 1)x+ m2 2，由关于x的方程x2+(m1)x+ m22=0的两个实根一个小于1, 一个大于1,得f(1)v0,即 12+(m1) +m22v 0,化简得 m2+m-2< 0,解得一2vmv1,即实数m的取值范围是(一2, 1).7.已知函数f(x) =x2+ax+b(a, bCR)的值域为0,十 ),若关于x的不等式f(x)<c的解集为 (m, m+6),则实数c的值为()A. 0 B. 3C. 6D . 92 , . a 2 , . a2解析由题意知 f(x)=x

11、2+ax+ b= x+ 2+b -.f(x)的值域为0,+ 0° ),b-a-= 0,即 b = a-,4'4 ', f(x)= x+a ,1. f(x)<c,即a x+ 2 <c,解得一aMcvxvIVc，得 2*/c=6,c= 9.-2+ Vc= m+6,8 .若不等式x2+2x+2>|a- 2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是 . 解析.x2 + 2x+2=(x+1)2+1>1,由不等式x2+2x+2>|a 2|对于一切实数x均成立，得|a21V 1,解得 1 vav3,，实数a的取值范围是(1, 3).9 .已知 f(x

12、) =x2-2ax+2(a R),当 xC -1, +0o )时，f(x)>a恒成立，求 a 的取值范围.解：方法一：f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图像的对称轴为直线x=a.当a (-00 , 1)时，f(x)在-1, +8)上单调递增，且 f(1) = 2a+3,所以要使 f(x)>a, xC -1, +°o)恒成立，只需2a+3>a即可，故一3<a<- 1.当 aC1, +00)时，f(x)min=f(a)=2-a2,所以只需2 a2na即可，故1<a<1.综上所述，所求a的取值范围是3, 1.方法二：令 g(x)=x22a

13、x+ 2- a,由已知，得x2-2ax+2-a>0在1, + 8)上恒成立， >0,即= 4a24(2 a)w 0或 a<1,g ( 1) > 0,解得3Wawi.故所求a的取值范围是 3, 1.例题：设函数f(x)=mxm* 1.(1)若对于一切实数x, f(x)<0包成立，求m的取值范围；(2)对于xC1,3 , f (x)< -m+ 5恒成立，求m的取值范围.(3)对于任意mC 1,3 , f(x)< m5恒成立，求实数x的取值范围.解： (1)要使m>2- mx-1<0包成立，若m= 0,显然1<0,满足题意；若 m0,贝 ° 2gp- 4<m<0. -4<nmc0.A =m +4n<0,(2)方法一 要使f(x)<-m 5在x C 1,3上恒成立，1 ° 3一一一就要使mx 2 +4mi- 6<0在xC1,3