全等三角形截长补短拔高练习(含答案)

1、八年级数学全等三角形辅助线添加之截长补短（全等三角形）拔高练习试卷简介:本讲测试题共两个大题，第一题是证明题，共7个小题，每小题10分；第二 题解答题，2个小题，每小题15分。学习建议:本讲内容是三角形全等的判定 辅助线添加之截长补短，其中通过截长补 短来添加辅助线是重点，也是难点。希望同学们能学会熟练通过截长补短来做辅助线，进 而构造出全等的三角形。一、解答题（共1道，每道20分）1.如图，已知点C是/ MAN的平分线上一点，CE，ABF E, B、D分别在 AM、AN上，且1AE=2 （AD+AB ）.问：/I和/2有何关系？证明：过点C作C。AN 于点F,由于AC平分/NAM 所以CF=

2、CE,则在RtAACF和Rt AC即(CF = CE| 4/7 = ACI' .AGFA ACE ( HL ) , . AF=AE, 由于 2AE=AD+AB ,所以AB-AE=AF-ADOF = CEZCFD = £CEB一., FD = EE所以 CFDA CEB ( SAS), ./ 2=/ FD&，/ 1+/ FDC=1801+/ 2=180 ° 。解题思路：见到角平分线就要想到作垂直 ，找到全等关系是解决此类问题的关键易错点：找到三角形全等的所有条件试题难度：四颗星 知识点：三角形二、证明题(共8道，每道10分)1.如图，已知 ABC 中，/ A=

3、 90 ° AB=AC, BE 平分 / ABC, CE± B于 E,求证：1CE=-BD.答案：延长CE交BA的延长线于点 H,由BE平分/ABC, BE_LCE,得CE=EH=2CH。又 Zl+ Zh=90 ° , /2+ Zh=90-1= -2在4ACH和4ABD中_ HAC= _ DAB=90AC=AB-1= _2 ACHA ABD (ASA) CH=BD 1 1 CE=-CH= - BD 解题思路：1根据题意，要证明CE=2BD,延长CE与BA,由题意的垂直平分线可得 CE的两倍长CH , 只需证明CH=BD即可，很显然有全等可以证明出结论易错点：不能正

4、确利用题中已知条件BF平分/ABC CE1BD 于E,做出辅助线，进而解答。试题难度：三颗星 知识点：全等三角形的判定与性质2.如图，已知正方形 ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分/ DAE.求证：AE-BE=DF.AD = AB/D = AABM D k= . ADFA ABM (SAS)/ 1=/3/M=/4,由于 AB/ DG AF 平分 / EAD 所以/BAF=/4 ,/1=/2 ,./ 2=/3, 从 而 / MAE= / BAF= / 4= /M ,AE=ME=BM+BE=DF+BE ,ABE=DF .解题思路：本问题的关键是将 DF转移到与AE, BE都有关的位置，运用

5、等量代换解题。首 先补短，将DF移到BE处，来证明AE=BM+BE .而解决AE=BM+BE 问题的关键是角度的 转换。/ BAF=/ 4是关键。易错点：将DF进行合理的转化 试题难度：四颗星 知识点：等腰三角形的性质3.如图，已知四边形 ABCD中，AD/ BC,若/ DAB勺平分线 AE交CD于E,连结BE,且BE恰好平分/AB。判断AB的长与AD + BC的大小关系并证明在BA上截取 BF=BC , B蛤好平分 ABCCBE= FBE又 BC=BF, BE=BE B(C£A BFEC= BFE又 AD/ BCC+ D=180而 BFE+ AFE=180AFE= D又.AE=AE

6、 ZEAF=ZEAD .AEFA AED ，AF=AD . AD+BC=AF+BF=AB解题思路：要证明两条线段和等于一条线段，最常想到的是截长补短法.截长：在BA上截取BF=BC或者在 AB上截取AF=AD ; 补短：延长BC至G,使BG=BA易错点：不会利用截长补短方法解题试题难度：四颗星 知识点：全等三角形的判定与性质4.如图，在 ABC中，AB>AC , Zl= Z2, P 为 AD 上任意一点.求证：AB-AC>PB-PC.证明：在AB上截AE=AC ,连接PE在4EAP和4CAP中AE=AC-1= _2AP=AP/ EAFA CAP(SAS)CP=EP在 BEP中PB-

7、PE<BE, PE=PC, BE=AB-AE=AB-AC二 PB-PCPB-PC。解题思路：利用截长的方法 易错点：不能正确作出辅助线，把零散的线段转化到一个三角形中 试题难度：三颗星 知识点：三角形三边关系5.如图所示：在 ABC中，/答案：u1= / 2/ B=2 / C?证：AC=AB+BD .在边AC上截取AE=AB ,连接DE.在4ABD与4AED中AD=ADZ1 = Z2A R 4 R ABDA AED (SAS). BD=DE，/ B= / AED，/ B=2 / C / AED=2 / C又 / AED= / C+Z CDE/ C=Z CDE . - CE=DE，BD=C

8、E ，AC=AE+EC=AB+BD解题思路：可以用截长法也可以用补短来解易错点：遇到线段和等于另一线段时，没有联想到运用截长补短法证明试题难度：四颗星 知识点：三角形学习参考6 .如图， ABCK / ABC=60 °AD、CE分别平分 / BAC, / ACI断 AC 的长与 AE+CD的大小关系并证明答案：判断：AC=AE+CD证明：令AD与CE的交点为G,在AC上截取 AF=AE ,在4AEG和4AFG中AE = AFZ1Z2= J(7 ./ AGE=Z AQF/ ABC=60 ；,. AEm AFG ( SAS ),丁./ BAC+Z BCA=120又 AD、CE 分别为 /

9、 BA。/ BCA勺角平分线，所以/ 2+/ 3=60 ° ,从而ZAGE=60 ;于是 /AGFW AGE=60 , / CGD =AGE=60 , 从而 / CGF=60 ;在 4CGFZ3 = Z4CG=CG和 4CGD 中"GF=/CGD .ACGFA CGD ,.-.CD=CF ,AC=AF+CF=AE+CD 。解题思路：看到两段不相干的线段与另一条线段的关系的题目一定要想到分解较长线段分别证明相等。易错点：未将全部条件找全就使两个三角形全等试题难度：四颗星 知识点：三角形7 .如图，Rt AB,/ ACB=90 ° , CD5AB, AF 平分 / C

10、A皎 CD 于 E,交 CB于 F,且EG/ AB交CB于G,判断CF与GB的大小关系并证明判断：CF=GB证明：过点F作FHL AB于点H,由于AF平分/ CAB 则在4ACF与4AHF中Z1 =Z2LAHF = ZACFAp = AF . ACCFA AHF,贝UCF=FH,而 FHL AB, CD± AB, . FH / CD,而 /4=/5 ,.-.Z3=Z4,，CF=CE, 从 而 CE=FH , 又 EG/ AB , 所以 / 6=/B/ CEG=Z CDB=90 则 CEGA FHB ,CG=FB故 CF=BG解题思路：找到全等关系是证明的关键易错点：想到将线段转移，想

11、不到全等。试题难度：四颗星 知识点：三角形8. ABGK / BAC=60 ° , / C=AP平分/ BA顷 BC 于 P, BQ 平分 / AB顷 AC于 Q,求证：AB+BP=BQ+AQ .答案：E"延长 AB 至U E 使 BE=BP,连接 EP,贝U AE=AB+BE=AB+BP , Z ABC=180 -/BAG/C=800.由 BQ 平分 /ABC, AP 平分 / BAC 则 / BAP4 PAC=30 , / ABQ= CBQ=40 .又因为 /C=40Q 我们彳#至 CQ=BQ , BQ+AQ=CQ+AQ=AC 。; BE=BP, ZABP=80 °1z E=X80