(完整版)复变函数与积分变换重要知识点归纳

1、复变函数复习重点（一）复数的概念1复数的概念：z x iy , x,y 是实数，x Re z , y Im z .i2 1.注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 2复数的表示1）模：z 一 x2 y2 ；2）幅角：在z 0时，矢量与x轴正向的夹角，记为 Arg z （多值函 数）；主值arg z是位于（，中的幅角3） arg z与arctanY之间的关系如下: x当 x 0, argz arctan-;xy 0,arg z 当x 0,y 0,arg z4）三角表示：z z,y arctan- x,y arctan- xcos isin ,其中argz;注：中间一定是“ +”5）指

2、数表75 : z zei ,其中 arg z（二）复数的运算1.加减法：若乙Xiiy1,z2x2iy2 ,贝U4zxx?iyV22乘除法：1）若 z1X1iy1,z2X2iy2 ,则乙马X1X2 NN2i x1y2；47iy1z2X2iy2X iy X2 iy2x2 iy2 x2 iy2X1X2丫佻.XX2y2”22 i 220X2 V2X2V22）若 4 乙 ei 12z2 ei2 ,则Z1Z2ZiZ2ei 1 23.乘哥与方根1 ) 若 z z (cosi sinzn (cosn isinn ) zn ein。2) 若 z z (cosi sinn.zin cos2k ni sinn2k(

3、k 0,1,2L n 1)(有n个相异的值)18（三）复变函数1 .复变函数：w f z ,在几何上可以看作把z平面上的一 个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.2 .复初等函数1）指数函数：ez ex cosy isin y ,在z平面处处可导，处处解析；旦 ez ez。注：ez是以2 i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数：Lnz ln z i（argz 2k ） （k 0, 1, 2L ）（多值函数）；主值：lnz lnz i arg z o (单值函数)Lnz的每一个主值分支ln z在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且lnz工； z注：负复数也有对数存在。（与实函数

4、不同）3）乘号与号函数：ab ebLna （a 0） ； zb ebLnz（z 0）注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbbzb1。iz iziz iz4）三角函数：e ee esin z coszsin z ,cos z , t gz , ctgz 2i2cosz sin zsin z,cos z在 z 平面内解析，旦 sin z cosz, cosz sin z注：有界性sinz 1, cosz 1不再成立；（与实函数不同）z zz z4） 双 曲函数 shz -,chz - ； 22shz奇函数，chz是偶函数。shz, chz在z平面内解析，且shz chz, chz shz

5、。（四）解析函数的概念1 .复变函数的导数1）点可导zof limz 0zof zo2）区域可导：f z在区域内点点可导。2 .解析函数的概念1）点解析：f z在zo及其zo的邻域内可导，称f z在zo点解析；2）区域解析：f z在区域内每一点解析，称 f z在区域内解析;3）若f（z）在zo点不解析，称zo为f z的奇点；3 .解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为 零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1 .函数可导 的充要条件：f z u x, y iv x,y在z x iy可导u x, y和v x, y在x, y可微，且在x

6、, y 处满足C D条件：u vuv,x yyx此时， 有f z i o x xiv x,y在区域内解析2 .函数解析的充要条件：f z u x, yu x, y和v x, y在x, y在D内可微，且满足C D条件：、/、- 'C卜 4注息:此时f若u x,y ,v x,y在区域D具有一阶连续偏导数，则u x,y ,v x,y在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C R条件时，函数f（z） u iv一定是可导或解析的3 .函数可导与解析的判别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函数以f z u x,y iv

7、x,y形式给由，如第二章习题2）3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f z是以z的形式给由，如第二章习题 3）（六）复变函数积分的概念与性质n1. 复变函数积分的概念：c f z dz lim f k zk, c是光滑曲线。cnk 1注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2. 复变函数积分的性质1） f z dz 1 f z dz（c1与c的方向相反）；cc2） f z g z dz f z dz g z dz,是常数；ccc3） 若曲线c由Ci与c2连接而成，则 c f z dz c f z dz % f z dz。3复变函数积分的一般计算法1）化为线积分： f z dz udx

8、 vdy i vdx udy ； （常用于理论证明） ccc2）参数方法：设曲线c ： z z t （ t ） ，其中 对应曲线 c 的起点， 对应曲线 勺终点，则 cf zdz fztz（t）dt。（七）关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理：设f z在单连域B内解析，c为B内任一 闭曲线，则?f z dz 0 c2 .复合闭路定理： 设f z在多连域D内解析，c为D内任意一条 简单闭曲线，Ci,C2,L Cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不 相交，并且以C1,C2,L Cn为边界的区域全含于D内，则n？f z dz ?f z dz, 其中C与Ck均取正向； ck 1

9、ck?f z dz 0,其中 由c及c1（k 1,2,L n）所组成的复合闭路。3 闭路变形原理： 一个在区域D 内的解析函数f z 沿闭曲线 C 的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程 中c不经过使f z不解析的奇点。4 解析函数沿非闭曲线的积分： 设 f z 在单连域 B 内解析， G z为f z在B内的一个原函数，则z：fZdzGZ2 G .（z1，z2 B）说明：解析函数f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5。柯西积分公式：设f z在区域D内解析，c为D内任一正向简 单 闭 曲 线 ， c 的 内 部完 全属 于 D ， z0 为 c

10、内 任 意一 点 ， 则dz z02 ifzo6 .高阶导数公式：解析函数f z的导数仍为解析函数，它的 n阶导数为(z zo)n 1dz 2 f nn!(n 1,2L)其中c为f z的解析区域D内围绕zo的任何一条正向简单闭曲线,而且它的内部完全属于Do7 .重要结论：12 i, n 0（c是包含a的任意正向简单闭曲On-rdzc?（z a）0, n 08 .复变函数积分的计算方法1）若f z在区域D内处处不解析，用一般积分法c f z dz fz t z t dt2）设f z在区域D内解析，c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，2 f z dz 0c是D内的一条非闭曲线，ziz对

11、应曲线c的起点和终点，则有z2f z dz f z dz F z2F z1cz13）设f z在区域D内不解析曲线c内仅有一个奇点?Qdz(z 20)曲线c内有多于一个奇点:?f z dzcn?f z dz (g内只有一个奇 k 1 ck点Zk)n或：?f z dz 2 i Resf(z),Zk(留数基本定理)若被积函数不能表示成f ",则须改用第五章留数定理来计(Z Zo)算。(八)解析函数与调和函数的关系1 .调和函数的概念：若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数 22且满足0, x y(x, y)为D内的调和函数。2 .解析函数与调和函数的关系解析函数f Z u iv的实部

12、u与虚部v都是调和函数，并称虚部 v 为实部u的共辗调和函数。两个调和函数u与v构成的函数f(Z) u iv不一定是解析函数； 但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则u iv一定是解析函数。3 .已知解析函数f Z的实部或虚部，求解析函数f Z u iv的方法。1)偏微分法：若已知实部u u x,y ,利用C R条件，得,，；x y对-v -u两边积分，得V dy g x(*)y xx再对(*)式两边对x求偏导 得dy g x (*) x x x由C R条件，-u,得-u - -udy g x ,可求由 g x ；y x y x x代入（*）式，可求得虚部vdy g xx2 ）线积分法：若已知

13、实部u u x,y ,利用C R条件可得, v . v , u , u .dv dx dydx dy ,x y y x故虚部为v ydx dy c ；x0,y0yx由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其 中xo,yo与x, y是解析区域中的两点。3）不定积分法：若已知实部u u x,y ,根据解析函数的导数公式 和C R条件得知,u. vu . ui i x yx y将此式右端表示成z的函数U z ,由于f z仍为解析函数，故f Z u z dz c（ c为实常数）注：若已知虚部v也可用类似方法求生实部 u.（九）复数项级数1 .复数列的极限1）复数列 n an ibn （n

14、 1,2L ）收敛于复数 a bi的充要条件为 liman a, lim bn b（同时成立）nn2）复数列 n收敛 实数列%,4同时收敛。2 .复数项级数1）复数项级数n（ n an 0）收敛的充要条件是级数烝与bn同n 0n 0n 0时收敛；2）级数收敛的必要条件是pm n 0。注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）哥级数的敛散性1 .哥级数的概念：表达式 Cn（Z Z0）n或CnZn为哥级数。 n 0n 02 .哥级数的敛散性1）级级数的收敛定理一 阿贝尔定理（Abel）:如果哥级数gzn在zo 0n 0处收敛，那么对满足z |z0的一切z,该级数绝对收

15、敛；如果在Z0处发散，那么对满足z匕的一切z,级数必发散。2）哥级数的收敛域一圆域事级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。比值法 如果pm c0 ,则收敛半径R工；根值法”m屈°，则收敛半径R 1 ；如果 0,则R ；说明在整个复平面上处处收敛；如果 ，则R 0；说明仅在z z。或z 0点收敛；注：若事级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如cnz2n ） n 03 .哥级数的性质1）代数性质：设 anzn, bnzn的收敛半径分别为R与R2 ,记 n 0n 0R min R,R2 ,则当z

16、 R时，有(anbn)znn 0n anZn 0bnZnn 0（线性运算）(anZn)( bnZn)n 0n 0(anb°n 0an ibi La°bn)zn（乘积运算）2）复合性质：设当| | r时，f且 g z r ,an n,当 IZ R时, 0g z解析则当z R时,fgz angn 0zn3）分析运算性质：设备级数anzn的收敛半径为R 0, n 0其和函数f zanzn是收敛圆内的解析函数;n 0在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且f znanzn 1n 0在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变;zf z dz0an n 1zn 0 n 1z R（十一）哥函数的泰

17、勒展开1 .泰勒展开：设函数f z在圆域zR内解析，则在此圆域内f zn可以展开成哥级数f zz z0 n ；并且此展开式是唯一的。n 0 n!注：若f z在z0解析，则f z在z0的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R z° a ;其中R为从z0到f z的距z0最近一个奇点a之间的距离。2 .常用函数在zo 0的泰勒展开式1)1 nzo n!2 z2!3 z3!n!2)3)sin z1)2n 1 zo(2n 1)!3 z3!5 z5!(1)(2n 1)!4)cosz0"2 z2!4 z4!L2nL(2n)!3.解析函数展开成泰勒级数的方法1)直接法：直接求由Cn-fn z0，

18、于是n!cn0nz zoo2)间接法：利用已知函数的泰勒展开式及哥级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。(十二)事函数的洛朗展开1 .洛朗级数的概念：Cn z z°n,含正事项和负事项。n2 .洛朗展开定理：设函数f z在圆环域R1 |z z00内处处解析,C为圆环域内绕z°的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有f zCn z z° n ,且展开式唯一。n3 .解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。*4.利用洛朗级数求围线积分：设 f z在r z耳R内解析，c为 r z z R内的任何一条正向简单闭曲线， 则？cf z

19、dz 2 ic 1。其中 C1为f(z)在r |z z R内洛朗展开式中 的系数。z Zo说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中(z Z0)1的系(十三)孤立奇点的概念与分类 1。孤立奇点的定义 ：f z在Z0点不解析，但在Z0的0 |z Zo 内解 析。2。孤立奇点的类型：1)可去奇点：展开式中不含zzo的负事项； 2 f Z C0GZZ0 C2 z Zo Lc mC (m 1)/Tm、m 1(Z Zo)(Z Zo)2)极点：展开式中含有限项Z Z0的负事项；g Z7rm,(Z Zo)C 12Co C1(Z Zo) C2(Z Zo)L(Z Zo)其中 gZ C m C (m 1) (

20、Z Zo)L C 1(Z Zo)m1 Co(ZZo)mL 在 Zo 解析,且 g Zoo,m 1,c m o ;3)本性奇点：展开式中含无穷多项Z Zo的负事项；f Z L-C mm LCoC1(ZZo)LCm(ZZo)mL(Z Zo)(Z Zo)(十四)孤立奇点的判别方法1 .可去奇点：lim f z Co常数； Z zo2 .极点：lim f z Z Zo3 .本性奇点：lim f z不存在且不为。Z zo4 .零点与极点的关系1)零点的概念：不恒为零的解析函数f Z ,如果能表示成f Z (Z Zo)m Z ,其中Z在Zo解析，Zoo,m为正整数，称Zo为f Z的m级零点；2)零点级数判

21、别的充要条件Z0是f z的m级零点f n z00, (n 1,2,L m 1)mfZo03）零点与极点的关系：Zo是f z的m级零点 Zo是 4 的m级极点; f z4）重要结论若z a分别是 z与 z的m级与n级零点，则za是 z g z的m n级零点；当m n时，z a是的m n级零点；z当m n时，z a是一z-的n m级极点； z当m n时，z a是一二的可去奇点； z当mn时，za是 z z的l级零点，l min（m,n）当m n时，z a是 z z的l级零点，其中l m（n）（十五）留数的概念1.留数的定义：设zo为f z的孤立奇点，f z在zo的去心邻域0 z zol内解析，c为

22、该域内包含zo的任一正向简单闭曲线， 则称 积分,？ f z dz为f z在zo的留数（或残留），记作2 i "1 .Resf z ,zo12f z dz2 .留数的计算方法若Zo是f z的孤立奇点，则Res f z ,zo c 1 ,其中c 1为f z在zo的去心邻域内洛朗展开式中（z Zo） 1的系数。1）可去奇点处的留数：若Zo是f z的可去奇点，则Resf z ,zo o2) m级极点处的留数法则I若zo是f z的m级极点,则Resf z 41(m 1)!limz Zo dzm 1 ( Zm r zo) f特别地，若zo是f z的一级极点，则Resf z ,zo J吗z z&

23、#176;)f z注：如果极点的实际级数比 m低，上述规则仍然有效。法则 II 设 f z P-z- , P z ,Q z 在 zo 解析，P zo 0, Q zP zP 4Q zo O,Q zo O,贝U Res-,zoQ zQ zo(十六)留数基本定理设f z在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2L 2外处处解析，c为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则J z dz2 i Resf z ,zn n 1说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积 函数f z在c内各孤立奇点处留数的局部问题积分变换复习提纲、傅里叶变换的概念Ff(t) f(t)ejwtdt F(w)1 1j tF F( )F( )ej d f(t)2二、几个常用函数的傅里叶变换1Fe(t)- j1Fu(t)()jF (t) 1F1 2 ()三、傅里叶变换的性质位移性(时域)：Ff(t to) ejwt0Ff(t)位移性(频域)：Fejw0tfF(w)www0 F(w wo)位移性推论：Fsin wotf (t)F(wwo)F(w wo)位移性