《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导

1、第13章 三角形中的边角关系、命题与证明学习要求：1.理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和2 .掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。3 .掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。4 . 了解三角形的稳定性。知识要点:、三角形中的边角关系1.三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。 注意：三角形的中线平分三角形的面积。2 .三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边,法是

2、看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。3 .三角形各角之间的关系：三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。三角形的外角和等于 360° （每个顶点处只取一个外角）；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4 .三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类：其简便方不等边三角形三角形,等腰三角形：底和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形按角的关系可以如下分类:三角形直角三角形Rt（有一个角为直角的三角形）（如一个也锐角三角形（三个角都是锐角的三角 斜二角形，于屯角三角形（有一个角为钝角的三角形）形）5.三角形具有

3、稳定性。知识结构:三角形的三边关系全戏的 铺设->三角形的内角和->外角性质I多边形I径边形的内角和多朋外角和用正多边形铺满地面24、命题与证明1 .判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。2 .命题都可以写成：“如果，那么。”的形式。为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。3 .命题由题设、结论两部分组成。“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。4 .命题分为真命题和假命题。真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。5 .将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。逆命题可真可假。6 .公理和定理都是真命题，公理不需要证明，定理必须证明。

4、7 .定理的逆命题如是真命题就是原定理的逆定理，定理不一定有逆定理。逆定理一定是真命题。8 .命题的证明方法和步骤。证明需要掌握的判定与性质：(1)两直线平行同位角相等。同位角相等两直线平行。(2)两直线平行内错角相等、同旁内角互补。内错角相等两直线平行。同旁内角互补两直线平行。(3)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。(4)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。(5)三角形内角和定理和推论。三角形中位线定理。(6)三角形全等：“ SS6、“SAS、"ASA 。全等三角形的对应边相等，对应角相等。(7)等腰三角形的判定与性质。(8)直角三角形的判定与性质。9 .反

5、证法假设，推理，矛盾，结论。第13章 三角形中的边角关系、命题与证明练习题一、填空题：1 .三角形的一边是8,另一边是1,第三边如果是整数，则第三边是 ，这个三角形是 三角形。2 .已知三角形两边的长分别为1和2,如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。3 .三角形的三边长分别为 a -1 , a , a +1 ,则a的取值范围是 。4 .三角形的三边为1, 1 -a , 9,则a的取值范围是 。5 .已知a, b, c为AABC的三条边，化简 叱a+b-c) 2 |b ac| =。6 .在 ABC中，AB= AC, AD是中线， ABC的周长为 34cm, 4ABD的周长为 30cm,

6、求AD的长。7 .如图，CE平分/ ACB 且 CE! DB, / DAB= / DBA AC= 18cm, CBD勺周长为 28 cm,贝U DB=。8 .已知等腰三角形两边长分别为4和9,则第三边的长为9 .等腰三角形的周长为 20cm,(1)若其中一边长为 6cm,则腰长为 (2)若其中一边长为 5cm,则腰长为 .10 .等腰 ABC中，AB= AC, BC= 6cm,则 ABC的周长的取值范围是 11.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为15厘米和6厘米两部分，则此三角形的底边长为 O15厘米和11厘米两部分，则此三角形的底边长为12 .等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周

7、长分为13 .写出“等腰三角形两底角相等”的逆命题14 .已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1 ： 4,则这个等腰三角形顶角的度数为q15 .三角形的最小角不大于 _ 度,最大角不小于 度。16 .三角形的三个内角中至少有 个锐角,三个外角中最多有 个锐角。17 .在 ABC中，若/ C= 2 （/ A+ / B）,则/ C=度。,-11_ 一18 .在 ABC中，/ A = / B= /C,则/ B=。2319 .如果 ABC的一个外角等于 150°，且/ B=/ C,则/ A=。20 .如图，已知/ 1 = 20° , / 2 = 25 , / A= 50°

8、 ,贝U/ BDC勺度数是 。21 .如图，在 ABC中，/ A= 80° , / ABC/ ACB的外角平分线相交于点 D,那么/ BDC= 22 .纸片 ABC中，/ A= 65° , / B=75° ,将纸片的一角折叠，使点C落在 ABC内（如图），若/ 1 =20° ,则/ 2的度数为。（第20题图）（第21题图）23.纸片 ABC中，/ A= 65° , / B= 75° ,将纸片的一角折叠，使点 / 1的度数为。（第22题图）C落在 ABC外（如图），若/ 2=20° ,则24.认真阅读下面关于三角形内外角平分线

9、所夹的探究片段，完成所提出的问题。探究1:如图1,在 ABC中，O是/ ABC与/ ACB的平分线BO和CO勺交点，通过分析发现/BOC= 90° + 1/A,理由如下：2.BO和CO另1J是/ ABC / ACB的角平分线， / 1= 1/ABC / 2= 1/ACB221. / 1+Z 2= - （ Z ABO / ACB）又/ABa Z ACB= 180° /A/ 1+Z 2= 1 (180° -Z A) = 90° - Iza22./BOG= 180° (/ 1 + Z 2) =180° (90° 1 ZAO = 9

10、0° + 1 / A。22探究2:如图2中，。是/ABC与外角/ ACD勺平分线BO和CO勺交点，i3t分析/ BOC / A有怎样的关系？请 说明理由。探究3:如图3中，。是外角/ DBC与外角/ ECB的平分线BO和CO的交点，则/ BOCW/ A有怎样的关系？(只 写结论，不需证明)。结论：。25 .如图，已知/ A= 80° ,(1)若点。为两角平分线的交点，则/ BOC=(2)若点。为两条高的交点，/ BOC=。26 .如图， ABC的面积等于12cm2, D为AB的中点，E是AC边上一点，且 AE= 2EC。为DCf BE交点, 若 DBO的面积为acm2, C

11、EO勺面积为bcm2,则ab=。27 .如图， ABC的/ B的外角的平分线与/ C的外角的平分线交于点 P,连接AR若/ BPC= 50° ,则/ PAC=度。BC(第25题图)(第26题图)C28 .如图， ABC的外角/ ACD的平分线 CP与内角/ ABC的平分线 BP交于点P,若/ BPC= 40° ,则/ CA之C度。、选择题:1 .在下列长度的四根木棒中，能与3cm, 7cm两根木棒围成一个三角形的（）A. 7cmB . 4cmC . 3cmD . 10cm2 .若A ABC的三边长分别为整数，周长为 11,且有一边为4,则这个三角形的最大边长为（）A.7B.

12、6C.5D.43 .若 ABC的三边之长都是整数，周长小于 10,则这样的三角形共有（）A. 6个 B .7个 C .8个 D .9个4 .三角形的三边分别为3, 1-2a, 8,则a的取值范围是（）A.6vav3 B. -5<a<- 2C.2<a<5 D.a v5 或 a>- 25 . 一个三角形的周长为奇数，其中两条边长分别为4和2011,则满足条件的三角形的个数是（）A. 3B. 4C.D. 66 .四条线段的长度分别为 4、6、8、10,可以组成三角形的组数为（）A.4B.3C.2D.17 .等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之

13、长为（）A. 7B. 11C.7或11 D .不能确定8 . 一个三角形三个内角的度数之比为2 ： 3 ： 7,这个三角形一定是（）A.直角三角形B .等腰三角形 C .锐角三角形D .钝角三角形9 .已知一个三角形三个内角度数的比是1 ： 5： 6,则其最大内角的度数（）A. 60°B . 75°C . 90°D , 120°10 .如果三角形的一个内角等于其它两个内角的和，这个三角形是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形C. 直角三角形 D.斜三角形11 .三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不能

14、确定12 .在 A ABC中，如果/ A- / B= 90° ,那么 A ABC是（）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.斜三角形13 .三角形中，最大角 a的取值范围是（）A. 0 "一： 90B.60 :二：<180C. 60 < 二：二 90D. 60 < 二；18014.在 ABC中，AB= AC D在AC上，且 BD= BC= AD则/ A的度数为（）A. 30°B . 36°C. 45°D. 72°）。或135° D.以上答案都不对AC上，则/ 1 + Z 2的大小为（）15 .直角三

15、角形的两个锐角的平分线所交成的角的度数是（A.45°B.135°C.4516 .如图， ABC中，/ A= 50°，点 D E分别在ABA. 130°B.17.已知如图，/ A= 32230°,/ B=45C. 180°,Z C= 38° 贝U/ DFE等于(D. 310)A.120 °B.115°C.110（第16题图）D.105（第17题图）18 .在 ABC中，/ B= 50° ,A. 0° <Z Av 180°C. 50° </ Av 130&#

16、176;AB> AC,则/ A的取值范围是（）B. 0 ° </ Av 800D. 80° </ Av 13019 .若a、P、尸是三角形的三个内角，而x=a 十 P, y = P+¥, z = ¥ + a,那么 x、 y、z 中，锐角的个数的错误判断是（C ）A .可能没有锐角BC.可能有两个锐角D20.如果三角形的一个外角等于它相邻内角的（ ）A .锐角三角形B .直角三角形.可能有一个锐角最多一个锐角2倍，且等于它不相邻内角的 4倍，那么这个三角形一定是C .钝角三角形D .正三角形21 .在ABC中1如图1,若P点是/ABC和/

17、 ACB的角平分线的交点，则/ P= 90 + /A；21如图2,若P点是/ ABC和外角/ ACE的角平分线的交点，则/ P= /A;2如图3,若P点是外角/ CBF和/ BCE的角平分线的交点，则/ P= 90° - 1 ZAo上述说法正确的个数是（）A 0个B.1个 C .2个D.3个2F分别为边BC AR CE的中点，且S&BC =4cm2,则S阴影T （）2A.2cmB.1cm2C.cmD.1cm22423.如图，已知ABC为直角三角形，/C= 90°,若沿图中虚线剪去/C,则/1 + Z 2kA. 315°B.270°C.180

18、76;D.135°22.如图所示，在 ABC中，已知点D、E、5.如图，在 ABC中，D是BC上一点，若/ B= / C, / 1 = / 3,则/ 1与/ 2的关系为（）A. Z 1=27 2B. 2/1 + /2=180°C. / 1 + 3/2= 180°D. 3/1/2=180°24.如图，在 ABC中，D是BC上一点，若/ B= / C, /1 = /3,则/1与/2的关系为（A. /1 = 2/2C. _】一卜B.D.（第23题图）（第24题图）A落在四边形BCD矽卜部A/的位置，则/ A、/ 1与/2的数量关系，结B 1） C图3（第22题

19、图）25.如图，把 ABC纸片沿DE折叠，使点论正确是（）26.27.A. / 1 = / 2+/A'C. 2 / 1 = 7 2 + /A'如图，A. 60°ABC的两个外角的平分线相交于D, C如图,A.45若/ B= 50° .65°BP相交于点 °./ 1 = 2/2+2/A'./ 1 = 2/A' + / 2,则/ ADC=()D. 40°P,若/ BPC= 35° ,贝U/ CAP=()D.65ABC的外角平分线 CP和内角平分线°°B.50（第25题图） 解答下列各题：

20、C.55°（第26题图）（第27题图）1. ABC的三边长分别为 4、9、x,求x的取值范围；求 ABC周长的取值范围；当x为偶数时，求x;当 ABC的周长为偶数时，求 x;当 ABC周长是5的倍数时，求x;若 ABE等腰三角形，求 x。2 .已知 ABC的三条边为整数，且22a +b 4a2b+5 =0 ,求 c的值。3 .对于同一平面内的三条直线a、b、c,给出下列五个论断：(1) a/b; ( 2) b±c; ( 3) a±b; ( 4) all c; ( 5) a±co以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题。4 .证明：两

21、条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直。5 .有5根木条，其长度分别为 4, 8, 8, 10, 12,用其中三根可以组成几种不同形状的三角形?6 .如图，在 ABC中，/ A= 96° ,延长BC到D, / AB*/ ACM平分线相交于 A1 , / A BC与/ ACD的平分线相交于 A2,依此类推，/ A4BC与/ A4CD的平分线相交于 N,则/ A5的大小是多少?7 .在 ABC中，/ A= 50° ,高BE CF所在的直线交于点 O,求/ BOC勺度数。8 . ( 1)已知如图(a),在 ABC中，/ C>/ B, ADL BC于D, A

22、E平分/ BAC则/ EAD与/ B, / C有何数 量关系？(a)(2)如图(b) , AE平分/ BAC F为其上一点，且 FD± BC于D,这日EFD与/ B、/ C又有何数量关系?（3）如图（c） , AE平分/ BAG F为AE延长线上一点，FD± BC于D,这时/ AFD与/ B / C又有何数量关系?9.如图，P为 ABC内任意一点，求证:/ BPC >/ A;/ BPC= / ABP+ / A+ / ACP AB+ AO PB+ PG10.如图中的几个图形是五角星和它的变形（1）图（1）中是一个五角星，求/ A+ / B+Z C+ / D+ / E（2

23、）图（1）中点A向下移到BE上，五个角的和有无变化？（即/CADF / B+/ C+ / D+ / E如图（2）,说明你的结论的正确性。（3）把图（2）中点C向上移动到 BD上，五个角的和（即/ CADF / B+ / AC4/ D+ / E）有无变化？如图（3）, 说明你的结论的正确性。11 .如图已知 ABC中，/ B和/ C外角平分线相交于点P。(1 )若/ ABC= 30 ° , / ACB= 70 ° , 求/ BPC 度数。(2)若/ ABC= a , / BPC= 3 ,求/ ACB度数。12 . ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是 ABC边上的两点。(

24、1)如果纸片沿直线脚折叠， 使点A正好落在线段 AC上，如图1 ,此时/ A与/ BDA的关系是 (2)如果纸片沿直线 DE折叠，使点A落在 ABC的内部，如图2,试猜想/ A和/BDA、/ CEA的关系是A落在 ABC的外部，如图3,则此时/ A和/BDA、/CEA的关系是(3)如果纸片沿直线 DE折叠，使点,请说明理由。D13 .如图所示，BE、CD交于A点，/C和/E的平分线相交于 F。(1)试求：/ F与/B, / D有何等量关系？(2)当 / B： /D： /F=2：4：x时，x 为多少?14 .若 ABC的三边之长都是整数，周长小于10,则这样的三角形共有几个?15 .有一位同学在

25、数学竞赛辅导书上看到这样一道题：“已知A ABC的三边长分别是a, b, c。且a、b、c的值满足等式|b+c 2a| + (b+c-5) 2=0,求b的取值在什么范围？ "。你能解答这道题吗？16 .在 A ABC中，Z A>Z B>Z C ,且/ A= 4/C,求/ B 的范围。17 .在 ABC中，/ A是最大角，/ C是最小角，且/ A= 2/C,求/ C的取值范围。第13章 三角形中的边角关系练习题答案一、填空题：6 . AD= 13cmo 7 . 8cm；一，,22 一，.10厘米或2厘米。3.60, 60; 16 . 2, 1;.50° ;8. 9

26、 。1. 8,等腰。2.2。 3 . a >2o 4 . 9<a<7 5 , 2b 2c。，、15.9. (1) 6cm或 7cm； (2) cmo10 ,周长12。11. 1。12213.有两个角相等的三角形是等腰三角形；14 . 20°或120° ;1517. 120° ;18 . 60° ;19 . 30° 或 120° ;20 . 95° ;21|22.解：如图，CEF+/CF曰 / C= / A+ / B+ / C, ./CEF+ Z CFE= /A+ Z B=85° +55°

27、 =140° , 又将纸片的一角折叠，使点C落在 ABC内，cBB ./C' EF+ /C' F=Z CEF+ Z CFE= 140° /CEC + / CEC =140° +140° =280° / 1=20° ,23.Z 2=180° X2/CEC + / CEC -Z 故答案为：60。解：如图，. / A= 65° , / B= 75° , ./ C= 180° /A / B= 180° -65又将三角形纸片的一角折叠，使点./C' = / C= 40&#

28、176; ,而/ 3+/2+/5+/C' =180° ,1 =360°-75°24.25.-280° -20° =60°C落在 ABC外,/5=/4+/C= Z 4 + 40° , / 2 = 20° , . / 3+20° +Z 4 + 40° +40° =180° ,. / 3+Z 4=80° , / 1 = 180° -80° = 100°故答案为100。/ BOG= 1 / A, / BOG= 90° 2(1)

29、 130° ; ( 2) 100° 或 80DE27 .解：延长 BA,彳Pl AD PFXBA, PIVL BC,设/ PCD= x ,. CP平分/ ACD/BCA / PCD= x , PM= PN BP平分/ ABC / AB之 / PBC PF= PNPF= PM. / APG= 50° , / BA之 / PAC= (x50)(x° 50° ) ( x° 50° ) = 100° ,/ ABG= / BCD- / BAC= 2x ./ CBF= 100° , 在 RtPFB和 RtPMB中,

30、PA= PA, PM= PF, RtAPFE RtAPMBFAP= / PAC= 40° 。28 . 50° 。二、选择题：1 .A 2,C3. D 4.B5. B 6.C12.B13. C 14.B15.C16.B7.C8.D9.C10.C11.D17.B18.B19.C20.B.C 27. C分析：根据外角与内角性质得出/BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出/CAP=21.C 22.A 23.B 24.D 25.D 26 考点：三角形内角和定理。/FAP,即可得出答案。解：延长 BA,彳PN± BD, PF± BA, PM

31、L AC, 设/ PCD= x ,. CP平分/ ACD ，/ACR= / PCD= x , PM= PN, . BP平分/ ABC ，/ABP= / PBC PF= PN, .PF= PM . / BPC= 35° , ./ ABP= / PBC= (x35) ° , ./ BAC= /ACD- / ABC= 2x ( x ° 35° ) ( x ° 35° ) = 70 CAF= 110° ,在 Rt PFA和 Rt PMM, PA= PA, PM= PF, .RtAPF/ Rt PMA / FAP= / PAC= 55

32、° 。故选C。三、解答下列各题：1 . 5Vx<13;18V4ABC的周长V 26;当x为偶数时，x=6、8、10、12;当 ABC的周长为偶数时，x=7、9、11;当 ABC周长是5的倍数时，x=7、12;若 ABC为等腰三角形，x=9o2 . a=2, b=1, 1 <c<3,则整数 c = 2。3 .答案不惟一，如果 a / b , b _L c ,那么a _L c ;如果b _L c, a _L b ,那么a / c ;如果b _L c, a 那么a / b等。4 .要画图，写已知、求证、证明。5 . 6 种（4、8、8; 4、8、10; 8、8、10; 8

33、、8、12; 8、10、12、4、10、12）6 . 3°。7 . / BOC= 50° 或 130° ;8 .解：（1） - AD± BC,/ ADC= 90° , ./ CAD= 90° -Z C AE 平分/ BAG 1 / EAC= 1 / BAC2 . / BAC= 180° -Z B -Z CEAC= 1 (180° /B/Q =90° - 1 ZB -1ZC,222 ./ EAD= / EAC- / CAD= 90° -1ZB-1ZC- (90。-Z O221 ，八,=-(ZC-/

34、 B)。2(2)如图(b),过 A作 AG, BC于 G 由(1)知/ EAG=3(/ C / B)。，2 . AG± BC,FD± BC, ./ AGC= / FDG= 90° , .FD/ AG ./ EFD= / EAG1 ./ EFD=(/C / B)。2(3)如图(c),过点 A作 AGL BC于 G,由(1)知/ EAG= 1 ( / C / B)。2 AGL BC, - FD± BC, ./ AGB= / FDC= 90° ,FD/ AB, ./ AFD= / EAG，1 ，一，一 .Z AFD= - (ZC- / B)。2说明：

35、在处理三角形中角的问题时，有时需要从整体出发进行思考，有时也可以通过适当添加辅助线使未 知问题转化成已解决的问题，像本题这种类型的题目，既要看到图形的变化，又要抓住变化中的内在联系。9 .延长BP交AC于D/ BPO / PDO / A;/ BPG= / PDO / ACP / PDC= / A+ / ABP;/ BPG= / A+ / AB% / ACP ; AB+ AD> BDPD+ DC> PGAB+ AA PD+ DC> BD+ PGAB+ AO PB+ PG10 . (1) 180° 。(2)无变化。理由：/ CADF / B+ / C+ / E=/ CA

36、DF / EAA / BAC= 180° 。(3)无变化。理由：/ CA* / B+ / AC曰 / D+ / E= / AC / AC曰 / ECD= 180° 。解：(1) / BPC= 180 ° - ( 1 / EBC+ 1 / BCF) 22=180 ° - 1 ( / EBC+ / BCF) = 180 ° 1 ( 180 ° / ABC+ 180 ° / ACB)22=180 ° - 1 ( 180 ° - 30 ° + 180 ° - 70 ° )212.13.14.15.解：(1) / BDA = 2/A;根据折叠的 T质可知/