初中数学一题多解与一题多变

1、实用标准文案初中数学一题多解与一题多变时代在变迁，教育在进步，理念在更新。前两年提出考试要改革， 有了指导意见，于是一批批探索性、开放性和应用性试题不断涌 现；如今又提出课程要改革，有了课程标准，其中突出了学生自 主探索的学习过程，强调应用数学和创新能力的培养，鼓励教师创造 性教学，学生学会学习。面临这种崭新的教育形势，我们会思考这样一些问题：教学要 如何从静态转为动态？怎样有效地指导学生独立地分析问题、解决问题，形成有效的学习策略，提高效益？该如何引导和组织学生从事观 察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，激发学生的学习兴 趣和创新意识，培养创新能力？等等。我个人在实际教学过程中，对

2、这些问题作过一些深思和一些尝试，其中比较突出的是引导学生进行 一题多解和一题多变的训练。下面，我提出几个实例来分析其引导过 程与方法，抛砖引玉，仅供参考。一、一题多解，多解归一对于“一题多解"，我是从两个方面来认识和解释的：其一，同一 个问题，用不同的方法和途径来解决；其二，同一个问题,A其结论是 多元的，即结论开放性问题。一题多解，有利于沟通各知识的内涵和 外延，深化知识，培养发散性和创造性思维；于而归4,有利心 分析问题和解决问题的通性、通法，从中择优，培养聚合思维。例1:如图，已知 D E在BC上，AB=AC AD=AE求证：BD=CE.（本题来自几何第2册69页例3）思路与解

3、法一：从 ABCffl ADEM等腰三角形这一角度出发，利用” 等腰三角形底边上的三线合一”这一重要性质，便得三种证法，即过点A作底边上的高，或底边上的中线或顶角的平分线。其通法是"等腰三角形底边上的三线合一二证得BH=CH.思路与解法二：从证线段相等常用三角形全等这一角度出发， 本题可 设法证 ABN zACE或证AABm A ACID于是又得两种证法，而证 这两对三角形全等又都可用 AAS ASA SAS进行证明，所以实际是六 种证法。其通性是"全等三角形对应边相等"。思路与解法三：从等腰三角形的轴对称性这一角度出发， 于是用叠合 法可证。例2:已知，如图，在

4、。中，AD是直径，BC是弦，AD±BQ E为垂足，由这些条件你能推出哪些结论?字母，不写推理过程）思路与解法一：从相等的线段这一角度出发，可得如下结论：D1.OA=OD2.BE=CE3.AB=AC4.BD=CD.思路与解法二：从相等的角这一角度出发，可得如下结论：1. /AEC= AEBh BED= CED =/ABD= ACD=R£ ;2. /ABC= ACB3. / DBC= DCB4. / BAD= CAD5. / BDA= CDA6. / BAD= BCD7. / CBD= CAD8. /ABC= ADC9. /ACB= ADB.思路与解法三：从相等的弧这一角度出发

5、，可得如下结论：1 .弧AB哪AQ2 .弧BD孤CD3 .弧 ABD瓠 ACD4 .弧 ABC瓠 ACB5 .弧 BAD瓠 DAC.思路与解法四：从全等三角形这一角度出发，可得如下结论：1. AAEE3AAEC2. ABEBACED3. AABBA ACD.思路与解法五：从相似三角形这一角度出发，可得如下结论： AB曰AACE CD9 BD曰 ABN ACD即图中所有的直角三 角形两两相似。思路与解法六：从比例线段这一角度出发，可得如下结论：1. AE DE=EB EC2. BE2=EA ED=EC3. A隹AE AD=AC4. bD=de da=dC思路与解法七：从其它一些角度去思考，还可得

6、如下一些结论：1. aU+bE=a的aC=aU+eC2. bV+e6=bD=cD=cE+dE3. /BAC廿 BDC=1804. /BAE吆ABE=9015. S四边形 ABCD =2AD BC6. S形 ABC = S形 ACB以上两例分别从解法和结论发散性地分析与解决问题，其中例2虽然不要求写推理过程，但实际在分析过程中蕴含着异常丰富的思维 和推断过程，如此便能很好地锻炼观察、猜想、推断、验证等探求能 力和有效地发展创造性思维能力。二、一题多变，多题归一知识是静态的，思维是活动的；例、习题是固定的，而它的变化 却是无穷的。我们可以通过很多途径对课本的例、 习题进行变式，如： 改变条件、改变

7、结论、改变数据或图形；条件引申或结论拓展；条件 开放或结论开放或条件、结论同时开放等。通过一题多变、多题归一 的训练，可以把各个阶段所学的知识、知识的各个方面紧密联系起来， 加深对知识的理解，认识和体会数学是一个整体，但更重要的是可以 起到以一当十，解一道题懂一类题，提高效率的目的，激发学生的学 习兴趣、创新意识和探索精神，培养他们的创新能力，学会学习。例3:已知，如图，AB是。的直径，CD是弦，AH CD垂足为E,BF，CD垂足为F,求证：EC=DF.变式一：如图，已知 AB是。的直径，CD是弦，AU CD于E, BFXC叶 F, BF交。于 G 下面的结论：1.EC=DF 2.DE=CF

8、3.AE=GF4.AE+BF=ABK 正确的有（）A.1、4B.2、3、4C.1、2、3D.1、2、3、4变式二：把直线EF和直径AB的相对位置加以变化，即图形变化，条件和结论均不变，便得新题，变化后的图形如下：ACD变式三：把直线EF和圆的位置关系由一般的相交变为相切，即图形特殊化处理，原题可以引申为：如图，直线 MN和。切于点C, AB是。的直径，AC是弦，AE! MN E, BF± MNT F,文档(1)求证：AC平分/ BAE(2)求证：AB=AE+BF(3) 求证：EF 2 =4EA BF(4)如果。的半径为5, AC=6试写出以AE BF的长为根的一元 二次方程.变式四：

9、把直线EF动起来，由相切变为相交，在运动变化过程中猜 想并推断原有的结论是否仍成立，即把原来的封闭型试题演变为动态几何探索题。题目如下:(1)如图，AB是。的直径，直线L与。有一个公共点C,过A、B分别作L的垂线，垂足为 E F,则EC=CF.（2）上题中当直线L向上平行移动时，与。O有了两个交点C1、C2 , 其它条件不变，如图，经过推证，我们会得到与原题相应的结 论：EC1=FC2（3）把L继续向上平行移动，使与弦C1C西AB交于点P（P不与A、 B重合），在其它条件不变的情形下，请你在圆中将变化后的图 形画出来，标好对应的字母，并写出与（1）、（2）相应的结论 等式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由；若成 立，给予证明。结论:证明结论成立或不成立的理由：象以上这种一题多解与一题多变的题例，在我们的教学过程中， 如果有意识的去分析和研究，是举不胜举、美不胜收的。我想，拿到 一个题目，