第一章　第二节命题及其关系、充分条件与必要条件

1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及相互关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件1易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论2注意区别A是B的充分不必要条件(AB且B / A)；与A的充分不必要条件是B(BA且A/ B)两者的不同试一

2、试1(2013福建高考)设点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A“x2且y1”满足方程xy10，故“x2且y1”可推出“点P在直线l：xy10上”；但方程xy10有无数多个解，故“点P在直线l：xy10上”不能推出“x2且y1”，故“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的充分不必要条件2“在ABC中，若C90，则A、B都是锐角”的否命题为：_.解析：原命题的条件：在ABC中，C90，结论：A、B都是锐角否命题是否定条件和结论即“在ABC中，若C90，则A、B不都是锐角”答案：

3、“在ABC中，若C90，则A、B不都是锐角”1判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立，那么：若AB，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件；若BA，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件；若AB且BA，即AB时，则p是q的充要条

4、件(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件2转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假练一练1(2014济南模拟)设xR，则“x23x0”是“x4”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B由x23x0得x3或x4，但当x4时，不等式x23x0恒成立，所以正确选项为B.2与命题“若aM，则bM”等价的命题是_解析：原命题与其逆否命题为等价命题答案：若bM，则aM考点一命题及其相互关系1.命题“若，则tan 1”的逆否命题是()A若，则tan 1

5、B若，则tan 1C若tan 1，则 D若tan 1，则解析：选C命题“若，则tan 1”的逆否命题是“若tan 1，则”2以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价解析：对于，若log2a0log21，则a1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆

6、命题是“若xy是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有.答案：类题通法在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手考点二充分必要条件的判定典例(1)(2013山东高考)给定两个命题

7、p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2013北京高考)“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析(1)由q綈p且綈p / q可得p綈q且綈q / p，所以p是綈q的充分而不必要条件(2)由sin 0可得k(kZ)，此为曲线ysin(2x)过坐标原点的充要条件，故“”是“曲线ysin(2x)过坐标原点”的充分而不必要条件答案(1)A(2)A类题通法充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真

8、假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分针对训练下列各题中，p是q的什么条件？(1)在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；(2)p：|x|x，q：x2x0.解：(1)若AB，则sin Asin B，即pq.又若sin Asin B，则2Rsin A2Rsin B，即ab.故AB，即qp.所以p是q的充要条件(2)p：x|x|xx|x0A，q：x|x2x0x|x0，或x1B，AB，p是q的充分不必要条件考点三充分必要条件的应用典例已知Px

9、|x28x200，Sx|1mx1m(1)是否存在实数m，使xP是xS的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使xP是xS的必要条件，若存在，求出m的范围解(1)由x28x200得2x10，Px|2x10，xP是xS的充要条件，PS，这样的m不存在(2)由题意xP是xS的必要条件，则SP.m3.综上，可知m3时，xP是xS的必要条件备课札记保持本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.解：由例题知Px|2x10，綈P是綈S的必要不充分条件，PS且S / P.2,101m,1m或m9，即m的取值范围是9，)类题通法利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范

10、围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则pq且q / p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p / q，且qp；(3)若p是q的充要条件，则pq.针对训练(2013浙江名校联考)一次函数yx的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()Am1，且n1 Bmn0，且n0 Dm0，且n0，0，n0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mny2，则xy”的逆否命题是()A“若xy，则x2y，则x2y2”C“若xy，则x2y2” D“若xy，则x2y2”解析：选C根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若xy，

11、则x2y2”3(2014福建毕业班质检)已知向量a(m2,4)，b(1,1)，则“m2”是“ab”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A依题意，当m2时，a(4,4)，b(1,1)，所以a4b，ab，即由m2可以推出ab；当ab时，m24，得m2，所以不能推得m2，即“m2”是“ab”的充分而不必要条件4(2013聊城期末)设集合A，B是全集U的两个子集，则AB是(UA)BU的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A如图所示，AB(UA)BU；但(UA)BU / AB，如AB，因此AB是(UA)BU的充

12、分不必要条件5命题“若ab，则a1b1”的否命题是_答案：若ab，则a1b16.已知集合Ax|ylg(4x)，集合Bx|xa，若P：“xA”是Q：“xB”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_解析：Ax|x4.答案：(4，)课下提升考能第组：全员必做题1设集合Mx|0x3，Nx|0x2，那么“aM”是“aN”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选BMx|0x3，Nx|00”是“a2a0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选Aa0a2a0；反之a2a0a0或a1，不能推出a0，选A.4(2013潍坊模拟)命题“

13、任意x1,2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件是()Aa4 Ba4Ca5 Da5解析：选C命题“任意x1,2，x2a0”为真命题的充要条件是a4.故其充分不必要条件是集合4，)的真子集，正确选项为C.5下列命题中为真命题的是()A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题解析：选A对于A，其逆命题是：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|y，必有xy；对于B，否命题是：若x1，则x21，是假命题如x5，x2251；对于C，其否命题是：若x1，则x2x20，由于x2时，x2x20，所以

14、是假命题；对于D，若x20，则x0或x1，因此原命题与它的逆否命题都是假命题6(2013江西七校联考)已知条件p：x1，条件q：1得1；反过来，由1，即綈p是q的充分不必要条件，选A.7(2014日照模拟)已知直线l1：xay10，直线l2：axy20，则命题“若a1或a1，则直线l1与l2平行”的否命题为()A若a1且a1，则直线l1与l2不平行B若a1或a1，则直线l1与l2不平行C若a1或a1，则直线l1与l2不平行D若a1或a1，则直线l1与l2平行解析：选A命题“若A，则B”的否命题为“若綈A，则綈B”，显然“a1或a1”的否定为“a1且a1”，“直线l1与l2平行”的否定为“直线l

15、1与l2不平行”8在命题p的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，真命题的个数记为f(p)，已知命题p：“若两条直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20平行，则a1b2a2b10”那么f(p)等于()A1 B2C3 D4解析：选B原命题p显然是真命题，故其逆否命题也是真命题而其逆命题是：若a1b2a2b10，则两条直线l1与l2平行，这是假命题，因为当a1b2a2b10时，还有可能l1与l2重合，逆命题是假命题，从而否命题也为假命题，故f(p)2.9命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是_解析：否命题既否定题设又否定结论答案：若f(x)不是奇函数，则f

16、(x)不是奇函数10(2013南京模拟)有下列几个命题：“若ab，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2xbc2，则ab；若sin sin ，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中正确命题的序号是_解析：对于，ac2bc2，c20，ab正确；对于，sin 30sin 150/ 30150，所以错误；对于，l1l2A1B2A2B1，即2a4aa0且A1C2A2C1，所以正确；显然正确答案：12已知：xa，：|x1|1.若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_解析：xa，可看作集合Ax|xa，：|x1|1，0x2，可看作集合Bx|0x2又是的必要不充分条件，BA，a0.答案：(，0第组：重点选做题1已知集