三角函数与三角代换

1、三角函数与三角代换【真题体验】1.2019·江苏改编cos3π=31，那么sin-xπ=_.解析sin-xπ=cos3π=31.2.2019·江苏设α为锐角，假设cos6π=54，那么sin12π的值为_.解析由条件可得cos3π=2ccs26π-1=257，sin3π=2524，所以sin12π=sin4π=22257=502.3.2019·江苏函数fx=

2、Asinωx+φ，A，ω，φ是常数，A>0，ω>0的部分图象如下图，那么f0=_.解析因为由图象可知振幅A=，4T=127π-3π=4π，所以周期T=π=ω2π，解得ω=2，将27π代入，解得一个符合的φ=3π，从而y=sin3π，∴f0=26.4.2019·南通、泰

3、州、扬州调研角φ的终边经过点P1，-2，函数fx=sinωx+φω>0图象的相邻两条对称轴之间的间隔 等于3π，那么f12π=_.解析由图象的相邻两条对称轴之间的间隔 等于3π，得T=32π=ω2π⇒ω=3，又角φ的终边经过点P1，-2，所以sin φ=5-2，cos φ=51，所以fx=sin3x+φf12&p

4、i;=sin+φπ=2252=-1010.5.2019·江苏定义在区间2π上的函数y=6cos x的图象与y=5tan x的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sin x的图象交于点P2，那么线段P1P2的长为_.解析线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cos x=5tan x，整理得6sin2x+5sin x-6=0，解得sin x=32.线段P1P2的长为32.【应对策略】三角函数既是重要知识，又是重要工具，作为知识，它与函数、平面向量有着密不可分的联络，三角函数的

5、概念、根本性质及图象都是从函数的角度出发的重要根底知识，三角恒等变换是三角函数作为工具的重要表达，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是三角函数与向量的综合更是考察重点，题型可能是填空题，也可能是解答题.需要纯熟掌握三角函数内部知识的综合及三角函数与向量的综合.必备知识1.三角函数的概念，如象限角、轴线角、终边一样的角、三角函数的定义、定义域、符号法那么、弧度制等;2.同一个角的正弦、余弦、正切函数之间有平方关系和商数关系，平方关系：sin2α+cos2α=1，商数关系：tan α=cos αsin &al

6、pha;.根据同角三角函数的根本关系，假如角α的某一个三角函数值，就可以求出其它两个三角函数值，不过解的个数要根据角α所在的象限或范围确定.3.诱导公式提醒的是k·2π±αk∈Z与α的三角函数值之间的等量关系式，记忆口诀是“奇变偶不变，符号看象限.4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等三角函数性质，要纯熟掌握;5.熟记两角和与差的三角函数、二倍角公式，掌握公式的常见变形，如辅助角公式asin &am

7、p;alpha;+bcos α=sinα+φ，降幂公式cos2α=21+cos 2α，sin2α=21-cos 2α等.必备方法1.解决三角函数实际应用问题的一般步骤是：1认真审题，找出自变量，分析出三角函数与自变量之间的函数关系，写出解析式，并且根据题意和实际意义确定函数定义域，简单地说，就是建立数学模型;2利用所学三角函数知识解决这一数学模型.2.三角函数在代数中的应用，一般是用换元法将三角函数看做一个整体变量，利用其值域等性质限制函数定义域，再利用函数等

8、代数知识求解.3.三角恒等变形的根本思路1“化异为同，“切化弦，“1的代换是三角恒等变换的常用技巧.“化异为同是指“化异名为同名，“化异次为同次，“化异角为同角.2角的变换是三角变换的核心，如β=α+β-α，2α=α+β+α-β等.命题角度一三角变换与求值命题要点 给角求值;给值求值;给值求角.【例1】? 2019·江苏tan4π=2，那么tan 2xtan x的值为_.审题视点 由条件先

9、确定tan x的值，再化简待求式，然后代入求得.解析由tan4π=2，得1-tan xtan x+1=2，解得tan x=31，所以tan 2xtan x=1-tan2x2tan x=21-tan2x=9=94.给角求值问题，一般方法是利用三角公式将非特殊角转化为特殊角;给值求值问题，要观察与所求的关系，注意从角、三角函数名称等几个方面观察，应用角的变换、名称变换等寻找关系;给值求角一般要有求两个方面，一是所求角的范围，二是所求角的某个三角函数值，很多时候还需要缩小角的范围，使得所求三角函数在该区间上单调.【打破训练1】 2019·江西改编假设tan &am

10、p;theta;+tan θ1=4，那么sin 2θ=_.解析某个角的正切值，求关于正弦、余弦的齐次分式时，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，以到达简解的目的.tan θ+tan θ1=tan θ1+tan2θ=4，∴4tan θ=1+tan2θ，∴sin 2θ=2sin θcos θ=sin2θ+cos2&am

11、p;theta;2sin θcos θ=1+tan2θ2tan θ=4tan θ2tan θ=21.命题角度二三角函数的图象与性质命题要点 函数图象求函数解析式;三角函数性质的简单应用.【例2】? 函数y=Asinωx+φ2π的一段图象如下图，求其解析式.审题视点 先由图象求出函数的周期，从而求得ω的值，再由关键点求φ，最后将0，代入求A的值.解设函数的周期为T，那么43T=87&p

12、i;-8π=43π，∴T=π，∴ω=T2π=2.又2×8π+φ=2kπ+2πk∈Z，∴φ=2kπ+4πk∈Z，又|φ|<2π，∴φ=4π.∴函数解析式为y=Asin4π

13、.又图象过点0，∴Asin4π=，∴22A=，∴A=2.∴所求函数的解析式为y=2sin4π.1函数y=Asinωx+φA>0，ω>0的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω由图象上的关键点确定φ.2求函数的周期时，注意以下规律：相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点或最低点的横坐标与相邻零点

14、差的绝对值为41个周期.【打破训练2】 函数y=Asinωx+φ，ω>0π的图象的一部分如下图.1求fx的表达式;2试写出fx的对称轴方程.解1观察图象可知：A=2且点0,1在图象上，所以1=2sinω·0+φ，即sin φ=21，因为|φ|<2π，所以φ=6π.又因为1211π是函数的一个零点，且是图象上升穿过x轴形成的零点，所以1211&p

15、i;ω+6π=2π，所以ω=2.故fx=2sin6π.2设2x+6π=B，那么函数y=2sin B的对称轴方程为B=2π+kπ，k∈Z，即2x+6π=2π+kπk∈Z， 解上式得x=2kπ+6πk∈Z，所以fx=2sin6π的对称轴方程为x=2kπ+6πk∈Z.命题角度三三角函数的图象和性质

16、的综合应用命题要点 三角函数的值域;三角函数的最小正周期;三角函数的单调区间;三角函数的对称性.【例3】? 2019·南京、盐城模拟函数fx=sin xcos x-cos2x+21x∈R.1求函数fx的最小正周期;2求函数fx在区间4π上的函数值的取值范围.审题视点 将三角函数化为标准型，利用周期公式求解，再利用三角函数的性质求值域.解1因为fx=23sin 2x-21cos 2x=sin6π，故fx的最小正周期为π.2当x∈4π时，2x-6π∈3&

17、amp;pi;，故所求的值域为3.求解三角函数的周期，一般是化为标准型后，再利用周期公式求解，或者利用三角函数图象求周期.三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为标准型的，利用三角函数图象求解;二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元的取值范围.【打破训练3】 2019·苏州期中函数fx=cos3π+2sin4πsin4π.1求函数fx的最小正周期;2求函数fx在区间2π上的值域.解1fx=cos3π+2sin4π·sin4π=21cos

18、2x+23sin 2x+sin x-cos xsin x+cos x=21cos 2x+23sin 2x+sin2x-cos2x=21cos 2x+23sin 2x-cos 2x=sin6π. ∴T=22π=π.2x∈2π，∴2x-6π∈65π∴sin6πmax=1，sin6πmin=-21即fx=sin6π的值域为，11.4.解决三角函数需注意的两个问题一、要充分挖掘

19、题中隐含条件【例1】? 在ABC中，假如4sin A+2cos B=1,2sin B+4cos A=3，那么∠C的大小是_.解析两式平方相加并化简得sinA+B=21，所以sin C=21，得∠C=6π或65π，检验：当∠C=65π时，A+B=6π，那么A，B∈6π，sin A∈21，cos B∈，13，4sin A+2cos B∈，4与4sin A+2cos B=1矛盾，所以∠C=65&a

20、mp;pi;舍去，即∠C=6π.老师叮咛：在三角恒等式中，假如不充分挖掘题中条件，又没有对结果检验，很容易产生增根，如此题两式平方相加并化简得sinA+B=21，所以sin C=21，得∠C=6π或65π，产生了增根65π.二、给值求角时要注意缩小所求角的范围【例2】? 假设tanα-β=21，tan β=-71，且α，β∈0，π，那么2α-β的

21、值为_.解析由上面解得tan α=31，α∈0，π，所以α的范围可以缩小为4π，同理，由tan β=-71以及β∈0，π，β的范围可以缩小为，ππ，所以2α-β∈-π，0，又tan2α-β=1，所以2α-β的值为-43π

22、.老师叮咛：题中角的范围太大，使得正切函数在该区间上不单调，如有同学求出2α-β∈42π，得2α-β的值为-43π或 4π或45π，这种错误主要是没有对2α-β的范围进展缩小而产生了增根，所以尽可能缩小角的范围很重要.5.练习1.给出以下说法：正切函数在定义域内是增函数;函数fx=2tan4π的单调递增区间是4πk∈Z;函数y=2tan3π的定义域是

23、+kπ，k∈Zπ函数y=tan x+1在3π上的最大值为+1，最小值为0.其中正确说法的序号是_.2.2019·苏北四市调研函数fx=sin+xπ·sin-xπ+sin xcos xx∈R.1求f6π的值;2在ABC中，假设f2A=1，求sin B+sin C的最大值.3.函数fx=a+sin xx+b，当x∈0，π时，fx的值域是3,4，求a，b的值.4.2019·广东函数fx=2cos6π其中ω>0，x∈R的最小正周期为10π.1求ω的值;2设α，β∈2π，fπ5=-56，fπ5=1716，求cosα+β的值.6.练习答案1.2. 1 f6π=1. 2 sin B+sin C的最大值为.3. -1b=3或.b=4，4.1ω=51