(完整word版)椭圆综合测试题(含答案)

1、椭圆测试题一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题5 分，共60 分）1、离心率为2 ，长轴长为6 的椭圆的标准方程是（）3x2y21（ B）x2y2x2y21（ A）591或9955x2y21（ D ）x2y 2x2y21（ C）20361或363620202、动点 P 到两个定点 F1 （ - 4 ，0）、 F2 （4， 0）的距离之和为8，则 P 点的轨迹为（）A.椭圆B. 线段 F1 F2C. 直线 F1 F2D.不能确定3、已知椭圆的标准方程x2y21，则椭圆的焦点坐标为（）10A. (10,0)B. (0,10)C. (0,3)D. ( 3,0)4、已知椭圆x2y21上一点 P

2、 到椭圆的一焦点的距离为3，则 P 到另一焦点的距离是（）59A. 253B.2C.3D.6x2y 21表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（）5、如果aa22A. (2,)B.2, 12,C. (, 1) (2,)D.任意实数 R6、关于曲线的对称性的论述正确的是（）A. 方程 x2xyy20 的曲线关于 X 轴对称B. 方程 x3y30 的曲线关于 Y 轴对称C.方程 x2xyy210 的曲线关于原点对称D. 方程 x3y38 的曲线关于原点对称x2y2x2y27、方程ka2kb21（ a b 0,k 0 且 k 1)与方程 a2b21（a b 0)表示的椭圆（） .A. 有

3、相同的离心率B. 有共同的焦点C.有等长的短轴 .长轴D. 有相同的顶点 .x2y21(a b 0) 的离心率为38、已知椭圆 C :22，过右焦点 F 且斜率为 k( k0) 的直线与 C 相交于ab2A、B 两点若 AF3FB ，则 k()（A）1（ B）2（C） 3（D）29、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A. 4B.3C.2D.1555510、若点 O和点 F 分别为椭圆x2y21的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 ()43A 2B 3C 6D 811、椭圆x2y 21 a b0 的右焦点为 F ，其右准线与

4、x 轴的交点为A 在椭圆上存在点P 满足线段a2b2第1页共4页AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是()（A）（0，2 （B）（0， 1 （C）21，1）（D） 1 ，1）22212若直线 yxb 与曲线 y34xx2 有公共点，则b 的取值范围是()A.122,122B.12,3C.-1,122D.12 2,3二、填空题： （本大题共5 小题，共20 分 .）13若一个椭圆长轴的长度. 短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是2214椭圆 xy1上一点 P 与椭圆两焦点F 1, F 2 的连线的夹角为直角，则492415 已知 F是椭圆 C的一个焦点， B 是短轴的一个端

5、点，线段 BFBF2FD ，则 C的离心率为.RtPF 1F 2 的面积为.的延长线交C于点D，且16 已知椭圆 c : x2y21 的两焦点为 F1 , F2 ,点 P( x0 , y0 ) 满足 0x02y021,则 | PF1 |+ PF2 |的取值范22围为三、解答题： (本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（ 10 分）已知点 M 在椭圆 x2y 21 上， M P' 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P' ，并且 M 为线25 9段 P P' 的中点，求 P 点的轨迹方程 .18.(12 分 )椭圆x2y 2的焦点分别是

6、F1 和 F2 ，已知椭圆的离心率 e5451(0 m 45)过中心 O 作直m3线与椭圆交于A ， B 两点， O 为原点，若ABF 2 的面积是 20，求：（1） m 的值（ 2）直线 AB 的方程第2页共4页分别为椭圆 C : x2y219（ 12 分）设 F1 ， F222 1 (a b 0) 的左、右焦点，过F2 的直线 l 与椭圆 C 相交ab于 A , B 两点，直线 l 的倾斜角为 60 ， F1 到直线 l 的距离为 2 3 .（）求椭圆 C的焦距；（）如果AF22F2 B , 求椭圆 C的方程 .x2y21(a b 0) 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆C 相交于 A

7、 ，B 两点，20（ 12 分）设椭圆 C：b2a2直线 l 的倾斜角为60o2FB ., AF(I) 求椭圆 C 的离心率；(II) 如果 |AB|= 15 ，求椭圆 C 的方程 .4第3页共4页21（12 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 B 与点 A（ -1,1 ）关于原点O对称， P 是动点，且直线AP 与 BP1的斜率之积等于.3( ) 求动点 P 的轨迹方程；( ) 设直线 AP和 BP分别与直线x=3 交于点 M,N，问：是否存在点P 使得 PAB与 PMN的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。22 （ 12 分）已知椭圆x2y2 1 （a>b>

8、0）的离心率e=3 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的a2b22面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、 B，已知点 A 的坐标为（ -a， 0） .（ i ）若|= 42，求直线 l 的倾斜角；AB5（ ii ）若点 Qy0QAQB 4，0的值 .（ 0，）在线段 AB 的垂直平分线上，且求 y第4页共4页椭圆参考答案1.选择题：题号123456789101112答案BBCCBCABBCDD8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作 AA 1， BB 1 垂直于 l ，A 1， B 为垂足

9、，过B 作 BE 垂直于 AA 1 与 E，由第二定义得，由，得，即 k= ，故选 B. 910【解析】由题意，F（ -1 ， 0），设点 P(x0, y0 ) ，则有 x02y021 , 解得 y023(1x02) ，434因为 FP( x1, y ) ， OP( x , y) ，所以 OP FPx ( x1) y20000000=OP FPx ( x 1)3(1x02) = x02x0 3 ，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x02 ，因为00442 x02 ，所以当 x02时， OPFP 取得最大值2236，选 C。24【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、

10、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。11 解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点 F ，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等a2b2而| FA| ccc第5页共4页|PF| a c, a c2于是 b a c, a cc即 ac c2 b2 ac c2acc2a2c2c2c2a2acc1a或 cc11a a 2又 e( 0, 1)故 e 1,1 2答案： D12（ 2010 湖北文数）9.若直线 yx b与曲线 y 34x x2 有公共点，则b 的取值范围是A.1 22,1 2 2B. 12 ,3C.-1,

11、12 2 D. 12 2,3二、填空题： （本大题共4 小题，共16 分 .）13 若一个椭圆长轴的长度 . 短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是14 椭圆 x2y21上一点 P 与椭圆两焦点 F 1, F 2 的连线的夹角为直角，则RtPF 1F 2 的面积为.492415 （ 2010 全国卷1 文数） (16) 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点， 线段 BF 的延长线交 Cuuruur于点D，且BF2FD ，则 C 的离心率为.3 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形3结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特

12、点：“数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的第6页共4页y捷径 .B【解析1】如图， | BF |b2c2a ,xuuruurOF作 DD1y 轴于点 D1 , 则由 BF2FD ，得D1D| OF | | BF | 2 ,所以 | DD1 | 3 | OF | 3 c ,|DD1 |BD|322即 xD3c,由椭圆的第二定义得|FD|e( a23c)a3c22c22a又由 | BF | 2 | FD | , 得 a 2a3c2 ,e3a3【 解 析 2 】 设 椭 圆 方 程 为 第 一 标 准 形 式 x2y 21 ， 设 D x2 , y2，F 分 BD所成的比为 2，a2

13、b2xc02x2x233b2 y2y23 ycb3 0 bb ，代入1 22 xc2 c; yc1 22229 c21 b21，e34 a24 b2316（ 2010湖北文数）15.已知椭圆 c : x2y21 的两焦点为F1 , F2 ,点 P( x0, y0 ) 满足 0x02y021 ,则22| PF1 |+ PF2 |的取值范围为_。2,22,0【答案】【解析】 依题意知，点 P 在椭圆内部 .画出图形， 由数形结合可得，当P 在原点处时 (| PF1 | PF2 |)max2 ，当 P 在椭圆顶点处时，取到(| PF1 | | PF2|)max 为(21)(22,22x2y21x x

14、0y y011) =2 2 ，故范围为.因为 ( x0 , y0 ) 在椭圆2的内部，则直线2上的点（ x, y ）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0 个.二 .填空题22,01653三 . 解答题：第7页共4页17.解：设 p 点的坐标为p( x, y) ， m 点的坐标为 (x0 , y0 ) ，由题意可知xx 0x 0xy2 y 0y0y因为点 m 在椭圆 x2y21上，所以有2259x02y02x2y2P 点的轨迹是焦点在y 轴上，标准方程为251 ，把代入得1，所以92536x2y21的椭圆 .253618. 解：（ 1）由已知c54535

15、 ，得 c5 ，e， aa3所以 mb2a2c2452520（ 2）根据题意 S ABF2S F1F2B20，设 B(x, y) ，则 SF FB1 F Fy ， F F22c 10 ，所1 21122以 y4 ，把 y4 代入椭圆的方程x2y21，得 x3 ，所以 B 点的坐标为 （ 3， 4），所以直线4520AB 的方程为 y4 x或y4 x3319（ 2010 辽宁文数）（ 20）（本小题满分12 分）22设 F1 ，F2 分别为椭圆 C : x2y21 (ab0) 的左、右焦点，过 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , Bab两点，直线 l 的倾斜角为 60 ， F1 到直线

16、 l 的距离为 2 3 .（）求椭圆 C的焦距；（）如果 AF2F B , 求椭圆 C的方程 .22解：（）设焦距为2c ，由已知可得F1 到直线 l 的距离3c 2 3, 故 c2.所以椭圆 C 的焦距为 4.（）设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ),由题意知 y10, y20, 直线 l 的方程为 y3( x 2).y3( x2),联立x2y21得 (3a2b2 ) y243b2 y3b40.a2b2第8页共4页解得 y3b2 (22a) , y23b2 (22a) .13a2b23a2b2因为 AF22F2 B,所以 y1 2 y2.即3b2 (22a)23b2 (2b2

17、2a) .3a2b23a2得 a3.而 a2b24, 所以 b5.故椭圆 C 的方程为 x2y21.9520（ 2010 辽宁理数）(20)（本小题满分12 分）设椭圆 C： x2y21(a b0) 的左焦点为F，过点 F 的直线与椭圆C 相交于 A ，B 两点，直线 la2b2o的倾斜角为60 , AF2FB .(III) 求椭圆 C 的离心率；(IV)如果 |AB|= 15 ，求椭圆C 的方程 .4解：设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，由题意知y1 0， y2 0.（）直线 l的方程为y3 ( xc)，其中 ca2b2.y3( xc),联立x2y2得 (3a2b2

18、 ) y223b2cy3b401a2b2解得 y13b2 (c 2a), y23b2 (c 2a)3a2b23a2b2因为 AF2FB ，所以y12 y2 .即3b2(c2a)3b2 (c2a)3a2b223a2b2得离心率ec26分a.3（）因为AB1y2y1，所以243ab215133a2b24.3第9页共4页由 c2得 b5 a .所以5a15，得 a=3， b5 .a3344椭圆 C 的方程为 x2y21.12分9521（ 2010 北京理数）（ 19）（本小题共14 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（ -1,1 ）关于原点O对称， P 是动点，且直线AP 与 BP

19、的斜率之积等于1.3( ) 求动点 P 的轨迹方程；( ) 设直线 AP和 BP分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点P 使得 PAB与 PMN的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。（ I ）解：因为点B与A(1,1)关于原点 O 对称，所以点B 得坐标为 (1,1) .设点 P 的坐标为 ( x, y)由题意得y1 y11x1 x13化简得x23y24( x1) .故动点 P 的轨迹方程为 x23y24( x1)（ II ）解法一：设点 P 的坐标为( x0 , y0 ) ，点 M ， N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, yN ) .则直线 AP

20、 的方程为 y1y01( x1) ，直线 BP 的方程为 y 1y01 ( x 1)x01x01令 x3 得 yM4y0x03 ， yN2 y0x03 .x01x01于是PMN 得面积SPMN1 | yMy N| ( 3 0x ) | x0y0 | ( 3 x02 )2|x 21 |0又直线 AB 的方程为 xy0，|AB |22 ，点 P 到直线 AB 的距离 d| x0y0 | .2于是PAB 的面积第10页共4页S PAB1| AB | d | x0y0 |2当SPABS PMN 时，得 | x0y0 | x0y0 | (3 x0 )2| x021|又 | x0y0 |0 ，所以 (3x

21、0 )2= | x021| ，解得 | x05。3因为 x023 y024 ，所以 y0339故存在点 P 使得PAB 与PMN 的面积相等，此时点 P 的坐标为 (5 ,33) .39解法二：若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 )11则 | PA | | PB | sin APB| PM | | PN |sin MPN .22因为 sinAPBsinMPN ,所以| PA|PN|PB| PM所以| x01| 3x0 |x0 | x1|3即 (3x0 ) 2| x021| ，解得 x053因为 x023y024，所以 y0339故存在点 P S

22、 使得PAB 与 PMN 的面积相等，此时点 P 的坐标为 ( 5 ,33) .3922（ 2010 天津文数）（ 21）（本小题满分14 分）已知椭圆 x2y2 1（ a>b>0）的离心率 e=3 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.a2b22（）求椭圆的方程；（）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、 B，已知点 A 的坐标为（ -a， 0） .（ i ）若 | AB|= 42 ，求直线 l 的倾斜角；5（ 0，）在线段 AB 的垂直平分线上，且QA QB=4 .求 y0的值 .（ ii ）若点 Qy 0第11页共4页【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力 . 满分 14 分.（）解：由e= c3，得 3a24c2. 再由 c2a2b2，解得 a=2b.a2由题意可知 12a2b4