相似三角形添加辅助线的方法举例有答案

1、相似三角形添加辅助线的方法举例例1:已知：如图，ABC中，AB=AC,BD)±AC于D.求证：BG=2CD-AC.例2.已知梯形ABCD中，ADBC,BC3AD,E是月AB上的一点，连结CE(1)如果CEAB,ABCD,BE3AE,求B的度数；BE(2)设BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2,且2s3S2，试求-BE的值AE111AF-AD例3.如图4-1,已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，3，连E、F交AC于G.求AG:AC的值.例4、如图45,B为AC的中点，E为BD的中点，则AF:AE=OE 交 BC例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于

2、。点，E为AB延长线上一点,于F,若AB=a,BC=b,BE=g求BF的长.ABBD例6、已知在ABC中，AD是/BAC的平分线.求证：ACCD.相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1:已知：如图，ABC中，AB=AC,BD）±AC于D.求证：BG=2CD-AC.分析：欲证BC2=2CD>-AC,只需证-BC-处.但因为结论中有“2”，无法2CDBC直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似.由“2”所放的位置不同，证法也不同.证法一（构造2CD）:如图，在AC截取DE=DC,B

3、D）±AC于D,.BD是线段CE的垂直平分线，BC=BE/C=ZBEC,又AB=AC,/C=ZABC.BC&ACB.BCAC.BCAC一.CEBC2CDBCBG=2CD-AC.证法二（构造2AC）:如图，在CA的延长线上截取AE=AC,连结BE, AB=AC,AB=AC=AE/EBC=90,又BDXAC./EBC=ZBDC=ZEDB=90°,/E=ZDBG .EBSBDCBCCE口uBC2AC 一即CDBCCDBCBG=2CD-AC. 1一，一什1-证法三（构造一BC）:如图，取BC的中点E,连结AE,则ECBC22又AB=AC,AE±BC,/ACE=ZC

4、/AEC=ZBDC=90°.AC匕BCD.1BC-隹股即2BCACCDBCCDBCBC2=2CD-AC.、，1，一什1证法四（构造一BC）:如图，取BC中点E,连结DE,则CE=BC.22BD）±AC,BE=EC=EB/EDC=ZC又AB=AC,/ABC=ZC,.ABCEDC.BCAC口口BCACJ即一-CDECCD1/一BC2BG=2CD-AC.说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧.在解题中方法要灵活，思路要开阔.例2.已知梯形ABCD中，ADBC,BC3AD,E是月AB上的一点，连结CE(1)如果CEAB, ABBE(2)设BCE和四边形AECD的面积

5、分别为S1和S2,且2s3S2，试求的值AE(1)设AEk,则BE3k解法1如图，延长BA、CD交于点FADBC,BC3AD,BF3AFAF2k,E为BF的中点又CEBFBCCF,又CFBFBCF为等边三角形故B60解法2如图作DF/AB分别交CE、CB于点G、F则CEDF,得平行四边形ABFD同解法1可证得CDF为等边三角形故B160解法3如图作AFEC交CD于G,交BC的延长线于F作GIAB,分别交CE、BC于点H、I则CEGI,得矩形AEHGCF AEAF/CEBC-BE3,又BC3ADCFAD,故G为CD、AF的中点以下同解法1可得CGI是等边三角形故B160解法4如图，作AFCD,交

6、BC于F,作FGCE,交AB于G,得平行四边形AFCD,且FGAB读者可自行证得ABF是等边三角形，故B60解法5如图G延长CE、DA交于点F,作AG/CD,分别交BC、CE于点G、H,得平行四边形AGCD可证得A为FD的中点，则AH2k,故160得ABG为等边三角形，故B60解法6如图（补形法），读者可自行证明CDF是等边三角形,得BF60（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等）（2）设SBCE3S,贝US四边形AECD2S解法1（补形法）如图补成平行四边形ABCF,连结AC,则DF2AD设SACDx，则Sace2Sx,Scdf2XABC3s2sxx2x,xSACEBEAE

7、SBCESACE3s3s45-s44解法2（补形法）如图，延长BA、CD交于点F,1SFADSFADSFADSABC8S梯形ABCD5sS FAD 二S，S FEC8521 一5s 2s 21s,又 S883sEFSfbc7BESbec8设BE8m,则EF7m,BF15m,AF5mAE2m,-BE-4AE解法3(补形法)如图连结AC,作DF/AC交BA延长线于点F连结FC则FADsABC,故AB3AF(1)S ACD S ACF，SR边形 AECDS FECBESBECSBCEEFSFECS四边形AECD2故2BE3EF3(AEAF)3AE3AF(2)由（1）、（2）两式得BE4AE即至4AE

8、解法4（割补法）如图连结A与CD的中点F并延长交BC延长线于点G,如图，过E、A分别作高h1、h2,则CGAD且S四边形AECDS四边形AECG,SABGS梯形ABCD5s3SBC2BCh1又BC35-河BG4hih2BEABBE 4AE说明本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.1AFAD例3.如图4-1,已知平行四边ABCD中，E是AB的中点，3，连E、F交AC于G.求AG:AC的值.H图笳1解法1:延长FE交CB的延长线于H,四边形ABCD是平行四边形,AD/BC= ?/H=/AFE, / DAB=/ HBE又AE=ERAAEFBEH,

9、即AF=BH,11_1_AF-ADAF-BCAF-CH3,.3,即4.AD/CH,/AGF=/CGH,/AFG=/BHE,，AAFGCGH.，AG:GC=AF:CH,AG:GC=1:4,AG:AC=1:5.解法2:如图4-2,延长EF与CD的延长线交于M,由平行四边形ABCD可知，ABDC,即烟mc,图421AF-ADAF:FD=AEMD,AG:GC=AEMC,3,/.AF:FD=1:2,AE:MD=1:2.1 1-AEABDC2 2.AE：MC=1:4,即AG:GC=1:4,AG:AC=1:5例4、如图45,B为AC的中点，E为BD的中点，则AF:AE=解析：取CF的中点G,连接BG.B为A

10、C的中点，BG:AF=1:2,且BG/AF,又E为BD的中点，F为DG的中点.EF:BG=1:2.故EF:AF=1:4,AF:AE=4:3.例5、如图4-7,已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于。点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F,若AB=a,BC=b,BE=g求BF的长.解法1:过O点作OM/CB交AB于M,。是AC中点，OM/CB,1MB-aM是AB的中点，即2,11OM-BC-bOM是4ABC的中位线，22且OM/BC,/EFB=ZEOM,/EBF=/EMO.BFBEBEDMOE,OMEM,BFBFbca2c.解法2:如图4-8,延长EO与AD交于点G,则可得AO8COF

11、,AG=FC=b-BFBF/ AG,BF BE BF cAG AE .即 b BF a c ,BF c b a 2cBFbca 2cBF BE解法3:延长EO与CD的延长线相交于N,则 BEF与 CNF的对应边成比例，即 CF CN .BF解得bca 2cABBD例6、已知在ABC中，AD是/BAC的平分线.求证：ACCD.分析1比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时,可以添加平行线而促成比例线段的产生.此题中AD为4ABC内角A的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线

12、段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决.证法1:如图49,过C点作CE/AD,交BA的延长线于E.在4BCE中，DA/ CE,BD BADC AE又CE/ AD,/1 = /3,/1 = /2,于是/ 3=7 4,/ 2=7 4,且 AD平分/ BAC,BDAC=AE代入式得DCABAC .分析2由于BD、CD是点D分BC而得，故可过分点D作平行线.证法2:如图410,过D作DE/AC交AB于E,贝U/2=/3./1=72,/1=73.于是EA=EDBEBDABBEBEABBD又.EADC,.ACEDEA,.ACCD.分析3欲证式子左边为AB:AC,而AB、AC不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB转移到与AC平行的位置.证法3:如图4-11,过B作BE/AC,交AD的延长线于E,则/2=Z