解排列组合问题的常用技巧

1、解排列组合问题的常用技巧排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础，事实上，许多概率问题也归结为排列组合问题，这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。解答排列组合的问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时，还要注意讲究一些基本策略和方法和技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解，下面介绍几种常用的解题技巧。一、 特殊元素“优先安排法”对于带有特殊

2、元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，在考虑其他元素。例用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）个 个个个分析：由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为不能排在首位，故就是其中的特殊元素，应优先安排按排在末尾和不排在末尾分为两类：排在末尾时，有个，0不排在末尾时，则有个，由分类计数原理，共有偶数个，选B例. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）A. 300种B. 240种 C. 144种D. 96种（05年福建卷）解析：因

3、为甲、乙不去巴黎，故从其余4人选1人去巴黎有种方法，再从剩余5人中选3人去其余3市，有种方法，所以共有方案（种），故选（B）。二、 总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去，此时，应注意既不能多减也不能少减。例100件产品中有3件是次品，从中任取三件，其中不全是正品的选法有多少种？分析：从100件产品中选3件产品的选法有种，选好后发现3件产品都是正品的选法不符合题意，因此把这种排法除去，故有种。例 、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 （ ）A120种 B96种 C78种 D72种 分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人

4、可自由排，有种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有种排法，由分类计数原理，排法共有种，选C。例、 用0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。A 24个 B。30个 C。40个 D。60个五个数字组成三为数的全排列有个，排好后发现0不能排首位，而且数字3，5也不能排末位，这两种排法要除去，故有个偶数。三、 合理分类与准确分布法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清晰，不重不漏。例将5列火车停放在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b不停在第二条轨道上，那么不同的停放方法有多少种？

5、分析：由题意，可先安排a列车，并按其进行分类讨论：若a列车在第二轨道上，则剩下4辆列车可自由停放，有种方法，若a列车停第三或第四或第五轨道上，则根据分布计数原理有种停法，再用分类计数原理，不同的停放方法共有种。例某帆船上有10名水手，他们分别在船左、右两侧，每侧4人，其中有2名水手只会划左侧浆，1名只会划右侧浆，问这些水手不同的安排方法共有的种数为多少？分析：根据题意，可根据选的水手中含有这三名特殊水手的情况分类：若被选出的4名水手中仅有1名只会右手侧的水手，有种选法；若被选出的4名水手中有只会右手侧的水手和只会左手侧的水手各1名，有种选法；若被选出的4名水手中有只会右手侧的水手1名和只会左手

6、侧的水手2名，有种选法；若被选出的4名水手中仅有只会左手侧的水手1名，有种选法；若被选出的4名水手中有只会左手侧的水手2名，有种选法，根据分类计数原理，不同的选法有种。例. 从集合O，P，Q，R，S与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复），每排中字母P、Q和数字0至多只出现一个的不同排法种数是_（用数字作答）。（05年浙江卷）解析：（1）每排中只有数字0的排法有；（2）每排中只有字母P或Q的排法都有；（3）每排中无数字0，字母P、Q的排法有。所以不同的排法种数共有：四、 相邻问题“捆绑法”对于某几个元素要求相邻的排列问题，可以先将相邻的元素“捆绑

7、”起来，看作一个大的元素与其他的元素排列，然后再对相邻的元素内部之间在进行排列。例人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种不同的排法？分析：把甲，乙，丙三人“捆绑”起来看成一个元素，与其他的4人共5个元素作全排列，有种排法，而甲，乙，丙三人之间又有种排法，根据分步计数原理，共有=7200种排法。例. 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为、的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同放法种数为（ ）A. 96B. 48 C. 24D. 0（05年江苏卷）解

8、析：在四棱锥中（1）先把安全的产品捆绑在一起有2种方法；。（2）四组产品放在4个编号不同的仓库里有种，所以安全存放的方法共有：（种）。故选（B）。五、 不相邻问题“插空法” 对某几个元素不相邻的排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素已排好的元素之间及两端的空隙中插入即可。例7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种不同的排法？分析：先让其余4人站好有种排法，再在这4人之间及两端的5个“间隙”中选3个位置让甲，乙，丙插入，则有种方法，这样共有种不同的排法。例. 用1，2，3，4，5，6，7，8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相

9、邻，这样的八位数共有_个（用数字作答）。（05年辽宁卷）解析：此题是捆绑法和插空法的综合应用问题。把相邻的两个数捆成一捆，分成四个空，然后再将7与8插进空中有种插法；而相邻的三捆都有种排法，再它们之间又有种排序方法。故这样的八位数共有：（个）六、 等价转化法一些常见类型方法为自己熟知之后，对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题，后者有些问题从正面入手情况较多，不易解决，这是可考虑能否进行等价转化，从反面入手，或构造模型，将其转化为一个较简单的问题来处理。例马路上有12只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，

10、那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：关第一只灯的方法有10种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较复杂。若换一个角度，从反面入手考虑，因每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件亮灯与暗灯的排列，于是问题就转化为等价的“在9只亮灯产生的8个空档中插入3只暗灯”问题，故所求方法种数为。 例四面体顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有多少种？ 分析：从10个点中任取4个点取法有种，其中4点共面的情况如下图 图（1） 图（2） 图（3）4点共面的取法共有个，把这些不符合条件的情况除去，所以，取4个不共面的点的取法共有种。例4. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重

11、复数字的四位数中，不能被5整除的数共有_个。（05年全国卷）解析：用排除法解决。（1）总的四位数有；（2）个位数字为0的四位数有；（3）个位数字为5的四位数有。所以符合条件的四位数个数共有：另解：直接求有法（想一想，为什么？）七、 定序问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可以先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后又总排列数除以这几个元素的全排列数。例由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数的共有多少个？分析：若不考虑附加条件，组成的六位数字共有个，而其中个位数与十位数的种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共有个。例. 在7名运动员中选

12、4名运动员组成接力队，参加接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法共有多少种？解析：先从7人中任选4人接力有种方法，排除甲和乙跑中间棒的种方法，但甲、乙二人都跑中间的减了两次，故再加上二人都跑中间棒的种方法，即（种）另解：直接求有法（想一想，为什么？）八、 混合应用问题“先选后排法” 对于排列与组合的混合问题，可采用先选出元素，然后再进行排列的方法。 例10. 四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共_种（用数字作答）。（全国高考）解析：先将4个球分成3组，每组至少1个（即必有一组为2个），分法有种，然后再将这3组球放入4个盒子中每盒最多装一组，则恰有一

13、个空盒的放法种数为（种）。九、 “小团体”问题“先整体后局部法”对于“小团体”排列问题，与“相邻问题”相似，可先将小团体看作一个元素与其它元素排列，最后再进行小团体内部的排列。例7个人站成一排照相，要求甲、乙之间恰好相隔2人的站法有多少种?分析: 甲、乙及间隔的2人组成一个“小团体”,这2人可从其余5人中任选出来,有种不同选法,这个小团体与其余3人共4个元素全排列有种方法,它的内部甲、乙2人有种不同排法,中间的2人也有种不同排法,因而符合要求的不同站法共有种。例、7人站成一排照相，要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种？分析： 甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从其余5人中选，有

14、种；这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有种方法，它的内部甲、乙两人有种站法，中间选的3人也有种排法，故符合要求的站法共有种。例、 6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”顺序排的排队方法有多少种？分析： 不考虑附加条件，排队方法有种，而其中甲、乙、丙的种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有种。十、 构造“隔板”模型法对较复杂的排列问题，可通过设计另外一情景，构造一个“隔板”模型来帮助解决问题。例方程有多少组正整数解？分析：建立“隔板”模型法：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，即为的一组正

15、整数解，故原方程的正整数的组数共有组。再如 方程a+b+c+d=12非负整数解的个数；三项式,四项式等展开式的项数，经过转化后都可用此法解。十一、分排问题“直排法”例7个人坐两排座位，第一排坐3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？分析：7个人可以在前后两排任意就坐，再无其他条件，故可看成7个人在7个位置上的全排列问题，所以，不同的坐法有种。例. 有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）A. 234B. 346 C. 350D. 363（04年辽宁卷）解析：在排列问题中，站若干排与站一排一样

16、，故一共可坐的位子有20个，2个人就座方法数为，还需排除两人左右相邻的情况，把可坐的20座位排成连续一行（一排末位B与二排首位C相接），任两个座位看成一个整体，即相邻的坐法有，但这其中包括B、C相邻与E、F（前排中间3座的左E、右F）相邻，而这种相邻在实际中是不相邻的，还应再加上。所以不同排法的种数为： 故选B。十二、表格法有些较复杂的问题可以通过列表使其直观化。例11、9 人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（两卫三锋，且锋分左、中、右，卫分左右）组队出场，有多少种不同的组队方法？分析：由题设知，其中有1 人既可打锋，又可打卫，则只会锋的有6人，只会卫的有2 人。列表如

17、下：人数6人只会锋2人只会卫1人即锋又卫结果不同选法32311（卫）221（锋）由表知，共有种方法。除了上述方法外，有时还可以通过设未知数，借助方程来解答，简单一些的问题可采用列举法，还可以利用对称性或整体思想来解题等等。排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础。事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题。这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总结解题规律，掌握若干技巧。十三、平均分组问题例9. 6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法？（1）一堆一本，一堆两本，一堆三本

18、；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人得一本，一人得二本，一人得三本；（4）平均分给甲、乙、丙三人；（5）平均分成三堆。解析：本问题中的每一小题都提出了一种类型问题，要搞清类型的归属。（1）属非均匀分组问题，先在6本书中任取一本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本作为一堆，有种取法，最后余下的3本作为一堆有种取法，故共有分法：（种）（2）属非均匀定向分配问题，与（1）同解，因每种分组方法仅对应一种分配方法，故也共有分法60种。（3）属非均匀不定向分配问题，由（1）知分成三堆有60种，但每一种分组方法又有种不同的分配方案，故共有分法（种）。（4）属均匀定向分配问题，3个人一个一个地来取书，甲取有种，乙再去取有种，最后余下的归丙有种，故共有（种）（5）属均匀分组问题，把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三，每人2本的区别在于后者相当于把6本不同的书，平均分成三堆后再把分得的三堆书分给甲、乙、丙三个人，因此设把6本不同的书平均分成三堆的方法有x种，由（4）知把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种。所以 则x=15（种）十四、 用“树型”图处理例10. 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两个顶点之一，若在5次之内跳到D点，则停止跳动，若在5次之内不能到