艺术生平面向量

1、 艺术生平面向量基础知识及练习题【基础知识】一、向量的有关概念1.向量:既有 的量叫做向量.向量的大小叫向量的 (也就是用来表示向量的有向线段的长度).2.向量的表示方法:字母表示法:如等.几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,等.坐标表示法:在平面直角坐标系中,设向量的起点O为在坐标原点,终点A坐标为,则称为的坐标,记为=.注:向量既有代数特征,又有几何特征,它是数形兼备的好工具.3.相等向量: 向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量与相等,记为.注:向量不能比较大小,因为方向没有大小.但向量的模可以比较大小，（可类比复数）4.零向量: .零向量只有一个,其方向是 的.5.单位

2、向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量.6.共线向量:方向 的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:与任一向量共线.注:共线向量又称为平行向量.7.相反向量: 的向量.二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法；实数与向量的乘积；两个向量的数量积；其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=记=(x1,y1),=(x1,y2)则=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量

3、的乘积=R记=(x,y)则=(x,y)两个向量的数量积向量夹角的范围 记则=x1x2+y1y2(二)运算律加法：(交换律); (结合律)实数与向量的乘积：; ;两个向量的数量积: =; ()=()=();(+)=+注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，数量积运算不满足消去律和乘法结合律 (三)运算性质及重要结论平面向量基本定理:如果是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量,有且只有一对实数,使，称为的线性组合。其中叫做表示这一平面内所有向量的基底;平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个

4、向量的和,并且这种分解是唯一的.这说明如果且,那么.当基底是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量,则(x1,y1)=(x2,y2)，即,或x1y2-x2y1=0,两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，则两个向量数量积的重要性质： 即 (求

5、线段的长度);(垂直的判断); (求角度)。以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.注:两向量,的数量积运算结果是一个数(其中),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. 叫做向量在方向上的投影（如图）.数量积的几何意义是数量积等于的模与在方向上的投影的积.如果,则=,这就是平面内两点间的距离公式.【典型例题】例1在中，（ ） 例2.平面内三点,若，则x的值为()(A)-5 (B)-1 (C)1 (D)5例3. 设， 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：()()=0|-|b|且a与b同向，则ab D.对于任意向量a、b,必有|

6、a+b|a|+|b| 2.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3.在四边形ABCD中，则( ) A.ABCD是矩形 B.ABCD是菱形 C.ABCD是正方形 D.ABCD是平行四边形 4.已知=a+5b，=-2a+8b，=3(a-b)，则( ) A.A、B、D三点共线 B.A、B、C三点共线 C.B、C、D三点共线 D.A、C、D三点共线 5.当|a|=|b|0且a、b不共线时，a+b与a-b的关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等 6.在ABCD中，错误的式子是( ) A. B.C. D.

7、7.设a是非零向量，是非零实数，下列命题中是真命题的是( ) A.a与-a的方向相反 B.|-a|a| C.a与2a的方向相同 D.|-a|=|a 8.已知正方形的边长为1， =a，=b，=c,则|a+b+c|等于( ) A.0 B.3 C. D.29.已知=a，=b，=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形，则( ) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=010.已知D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b，=c,则下列各式：c -b =a+b a+b =0 其中正确的等式的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.

8、4 第卷(非选择题，共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 11.设a表示“向东走4 km”,b表示“向北走3 km”,则a+b表示_. 12.a与b方向相反，且|a|b|,则a+b的方向与a方向_；此时|a+b|_|a|-|b|.13.已知ABCDEF为正六边形，且=a，=b，则用a，b表示为_. 14.e1,e2不共线，当k=_时，a=ke1+e2,b=e1+ke2共线. 三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分) 化简：. 16.(本小题满分10分) 已知ABCD是等腰梯形，E、F分别是两腰BC、AD的中点，M、N是线段EF上的两个点，且EM=MN=NF，下底长是上底长