分数阶积分算子的谱半径及其应用

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业分数阶积分算子的谱半径及其应用冯育强，朱兴，王蔚敏（武汉科技大学理学院，武汉 ）摘要：本文利用 Gelfand 公式和 Stirling 公式，计算了两种情形下分数阶积分算子谱半径。随后讨论了该结论在分数阶微分方程求解以及分数阶 Gronwall 不等式中的应用。关键词：二级学科；分数阶积分算子；谱半径；Gelfand 公式；Stirling 公式中图分类号：O175.08 文献标识码：A 文章编号：Spectral radius of fractional integral operators and its applicationsFENG Yuq

2、iang, ZHU Xing, WANG Weimin(College of Science, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan , China)Abstract: In this paper, Gelfand formula and Stirling formula are used to calculate the fractional integral spectral radius in two cases. Then the conclusion is applied to discuss the solvabilit

3、y of fractional differential equations and fractional Gronwall Inequality.Key words: fractional integral operators; spectral radius; Gelfand formula; Stirling formula 0 引言分数阶微积分是相对于传统意义上的整数阶微积分提出的，由于分数阶微积分良好的记忆和遗传性，分数阶微积分理论被广泛应用于自然科学的各个领域，尤其是控制理论、粘弹性理论、电子化学、分形理论等领域1。大量研究成果的面世也极大地推动了分数阶微积分的研究进展，一些学者纷

4、纷投入到这个新兴的研究领域。在分数阶模型的使用中，出现了一系列分数阶微分积分方程，因此对分数阶积分算子的研究有着十分重要的意义。分数阶积分算子本质上是一类带奇异积分核的线性积分算子，对于其谱半径的计算，有助于进行分数阶微分方程的定性研究。在以往的文献中，不论是证明分数积分方程可解性，有解性，解的渐近性质，还是推广Gronwall不等式，其实本质上都用到了分数阶积分算子谱半径的性质，但是没有明确地指出1,3,6。本文正是从研究的需要出发，具体计算出分数积分算子的谱半径，并将所得结论用于分数阶微分方程求解以及分数阶Gronwall不等式。1 预备知识本节给出文中所涉及的一些基本概念和结论。定义定义

5、1 2 设是Banach空间，是的线性子空间到X中的线性算子，又设XTX)(TD是一复数，若是正则算子，即是)(TD到X上的一对一的线性算子，)(TI )(TI 且它的逆算子是X到X中的有界线性算子时，称是T的正则点，并称1)(TI为T的豫解算子，记为. 不是正则点的复数，称为T的谱点。复平面1)(TI),(TR基金项目：高等学校博士学科点专项科研基金（003）；国家自然科学基金（F）；湖北省自然科学基金重点项目（2013CFA131）；冶金工业过程系统科学湖北省重点实验室基金（z）作者简介：冯育强（1975-），男，教授，主要研究方向：非线性泛函分析理论、方法与应用. E-mail: 精选优

6、质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业上正则点全体称为T的正则集或豫解集，记为，谱点全体称为T的谱集，记为.)(T)(T定义定义22 设X是Banach空间，T是X到的有界线性算子，则称为X)(sup)(TTr算子T的谱半径。引理引理 12 设为复的 Banach 空间，则X)(XBT 1）极限存在且有（Gelfand 公式） ；nnnTlim( )limnnr TT2）当时，是T的正则点，则是可逆的，并且)(TrTI .011)(nnnTTI引理引理 2（Stirling 公式3） 当时，.x)1 (1 (2) 1(oxexxx引理引理 33 设为一常数，则分数阶积分0,baLu dttutx

7、xa11在上几乎处处存在。进一步，该变上限积分在,ba上是可积的。,baLebesgue定义定义 34 设为一 Banach 空间，为X中一个非空凸集，满足条件XP1） ;0,PxPx2） (0 表示X的零元)，. 0,xPxPx则称P为X中的锥。如果P为X中的锥，则可定义X中的半序“”为 .Pxyyx定义定义 44 设P为X中的锥，1）如果存在常数，满足，则称P是正规的；NyNxyx02）如果，则称P是再生的。PPX2 主要结论本节给出了计算分数阶积分算子谱半径的详细过程，分为两种情况进行讨论。定理定理 1 假设0为一常数，定义从到的分数阶积分算子为,baL,baL ， ,11baLudtt

8、utxxTuxa则. 0Tr 证明：由引理 3 可知，易见为线性算子。,:baLbaLTT以下分两个步骤证明 0Tr.第一步：利用数学归纳法证明有下式成立： . （*） dttutxnxuTnxan11事实上，1）当时，由题设知（*）式显然成立；1n精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2）假设当时， （*）式仍然成立；kn 3）当时，1 kn dttuTtxxuTTxuTkxakk111 dtdssustktxktxa10111 dsdtsutxstkxatak111 dtdssutxstkxaxsk111 dttutxkkkkxa111 .dttutxkxak1111这里令，并且利用

9、Beta 函数的性质可得下式成立：sxzst dzzztxdtsttxkkkxs11101111 1111,kktxkkktx因此，当时， （*）式依然成立， （*）式得证.1 kn第二步，证明. 0Tr因为 dttutxnxuTnxan11，所以dxxuTTbanun)(sup1dtdxtutxnxanbau)()()(1sup11 dxdttutxnbabtnu)()()(1sup11 dttuntbnbanu)()()(1sup1 unabnu) 1()(sup1 .) 1()(nabn由 Stirling 公式可知精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业.enonennnnnnnnl

10、im)1 (1 (2lim) 1(lim于是，利用 Gelfand 公式可得 . 01)(lim1limlim11nnnnnnnnnabnTTTr因此，. 0Tr定理定理 2 设0为一常数，定义从到的分数阶积分算子为,baC,baC ， ,11baCudttutxxTuxa则 0Tr.证明：分两个步骤来证明结论。第一步，证明.,:baCbaCT事实上，对于任意取定的，设. 当时，,baCu,bahxx0, 10h有)()(xTuhxTuxahxadttutxdttuthx)()()(1)()()(111hxxxadtthxudttxthxu111)()()()()(.huKu)()(1对于，有

11、如下估计：1KxadttxhtxK)()(111dssshhax) 1(1011）如果，则有hax0.hdssshK101) 1(2）如果，那么haxxadttxhtxK)()(111dssshdssshhax1111101) 1() 1(dsshhhax12)1 (dsshh12)1 (精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业.h)11 ( 综合 1） ，2）可知.0)()(lim0 xTuhxTuh同理，可以证明时，也有.于是知.0h0)()(lim0 xTuhxTuh,baCTu第二步，证明 0Tr.由定理 1 的证明过程可知 dttutxnxuTnxan11， 所以 xanbxaun

12、dttutxnT111maxsup xanbxadttxn11max nbxaaxnn)(11max .nabn)(11类似定理 1 可知，此时也有 0Tr.3 应用利用第 2 节所获结果，可以得到一些有意义的结论，为此，首先介绍文献5中定理3.2 的一个推论。引理引理 4 设X为一 Banach 空间，P为X中的正规、再生锥， “”是由锥P导出的半序，如果是X到X的增映射，且存在非负线性算子，使得TXX :1)(r，xyXyxyxTyTx,)(则T在X中存在唯一不动点，且对任意，均有xXx.xxTnn)(lim例例 1（分数阶微分方程求解）考察如下分数阶微分方程的初值问题：00)0()(,(

13、)(uututftuDC其中，连续，且存在常数，当时，RRf 1 , 0 :0kvut,1 , 0；)(),(),(0vukvtfutf表示 Caputo 导数；为常数。0DC) 1 , 0(注意到方程的解满足积分方程：，dssusfstutut)(,()()(1)(010精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业定义上的算子为 1 , 0CT，dssusfstutTut)(,()()(1)(010则映 1 , 0C到 1 , 0C，且为增算子。T定义 1 , 0C上的锥，则P为X中的正规、再生锥。 1 , 0, 0)( 1 , 0ttxCxP由于，xyXyxyxTyTx,)(其中，. 1 ,

14、 0,10Cudttutxkxux由定理 2 知，因此，在 1 , 0C中有唯一不动点，即原方程有唯一解。0)(rT例例 2（一个新的分数阶积分的 Gronwall 不等式）考察积分不等式，dssuspsttgtatut)()()()()()(01其中，为上的非负局部可积；为上的非负连续函数，为常数au,Rpg,R) 1 , 0(对于任意的，定义上的映射T如下：0A, 0AL.dssuspsttgtatTut)()()()()()(01由引理 3，则T映, 0AL到, 0AL，且为增算子。定义, 0AL上的锥，则P为X中的正规、, 0., 0)(, 0AteatxALxP再生锥。由于xyXyx

15、yxTyTx,)(，其中，. , 0,10ALpdttptxMxpx这里. 由定理 1 知，0)(r，因此，T在中有唯一不)()()(max, 0tptgMAt, 0AL动点，记为，且有.uuuTnn)(lim由于，注意到T为增算子， 因此，Tuu .uuTTuu)(2取为迭代的初始值，可以计算得到)(ta 其中.)(0taunn)()(),()(10aatatann这一结果推广了文献6的定理 1. 特别地，当时，1)(,)(tpbtg.dssastnbtautnnn 011)()()()()(这就是文献6推论 1.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业利用这些结论，可以进一步探讨分数阶微

16、分方程解的有界性、稳定性及 Heyers-Ulam稳定性。参考文献参考文献 (References)1 Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I., Fractional Integrals and Derivatives: Theory and ApplicationsM. Switzerland; Philadelphia, Pa., USA: Gordon and Breach Science Publishers, 1993.2 张恭庆，林源渠，泛函分析讲义（第一版，上册）M.北京：北京大学出版社，2003.Zhang G Q, Lin Y Q. Fu

17、nctional Analysis(First Edition,Volume1)M. Beijing: Beijing University Press,2003.3 Diethelm K., The Analysis of Fractional Differential Equations: An Application-Oriented Exposition Using Differential Operators of Caputo TypeM,Springer-Verlag,2010.4 郭大钧.非线性分析中的半序方法,济南:山东科学技术出版社，1999.Guo D J. Partial Order Method in Nonlinear Analysis M.,JiNan: Shandong Science and Technology Press,1999.5 Feng