地球椭球与测量计算

1、第五章第五章 地球椭球与测地球椭球与测量的计算量的计算第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学 测量的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说测量的外业工作主要是在地球表面进行的，或者说主要是对地球表面进行观测的，由于地球表面不是一个主要是对地球表面进行观测的，由于地球表面不是一个规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。规则的数学曲面，在其上面无法进行严密的测量计算。因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形因此，需要寻求一个大小和形状最接近于地球的规则形体体地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球地球椭球，在其表面完成测量计算工作。用椭球来表

2、示地球必须解决来表示地球必须解决2 2个问题：个问题：一是椭球参数的选择；一是椭球参数的选择； 二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的定位。二是确定椭球与地球的相关位置，即椭球的定位。第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学O O为椭球中心为椭球中心NSNS为旋转轴为旋转轴a a为长半径为长半径b b为短半径为短半径NRSNRS为子午圈为子午圈CCCC为平行圈为平行圈WREWRE为赤道为赤道OFOF1 1为偏心距为偏心距第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学第一偏心率第一偏心率 为简化书写，常引入如下符号：为简化书写，常

3、引入如下符号：第二偏心率：第二偏心率：扁率扁率 两个辅助函数：两个辅助函数：椭球长半径椭球长半径a a，短半径，短半径b b BeBtbac2222cos,tan,22221sin1cosWeBVeB1 , 0, ee第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学椭球的几何参数之间或辅助函数之间存在下面的关系：椭球的几何参数之间或辅助函数之间存在下面的关系：22222222221,11,11,11,122abebaecaeaceeeeeeeVWeWVeefff 22222222222111sin111WeVVeBeWWbaWeVVabVeW22222222,bba

4、eabae2222221 ,1baeabe11122ee2222221,1eeeeee第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学利用椭球的利用椭球的4 4个几何物理常数计算扁率的公式：个几何物理常数计算扁率的公式：32222232222229897849398916275611143892123mJmJmJJmmJJmJf式中：式中：GMam32实际上，比较第二章中的实际上，比较第二章中的q q，我们会发现：，我们会发现：GMaq32因此，这里的因此，这里的 就是就是q q。即赤道上的离心力与重力之比。即赤道上的离心力与重力之比。m克拉索夫斯基椭球克拉索夫斯基

5、椭球19801980国家大地坐标系国家大地坐标系WGS-84WGS-84CGCS2000CGCS2000a a6 378 2456 378 2456 378 1406 378 1406 378 1376 378 1376 378 1376 378 137b b6 356 863.018 7736 356 863.018 7736 356 755.288 1576 356 755.288 1576 356 752.3146 356 752.3146 356 752.314 140 366 356 752.314 140 36c c6 399 698.901 7826 399 698.901 78

6、26 399 596.651 9886 399 596.651 9886 399 593.625 86 399 593.625 86 3995 93.625 864 026 3995 93.625 864 02e e2 20.006 693 421 622 9660.006 693 421 622 9660.006 694 384 999 5880.006 694 384 999 5880.006 694 379 901 30.006 694 379 901 30.006 694 380 022 900 690.006 694 380 022 900 69e e2 20.006 738 525

7、 414 6830.006 738 525 414 6830.006 739 501 819 4730.006 739 501 819 4730.006 739 496 742 270.006 739 496 742 270.006 739 496 775 478 860.006 739 496 775 478 86f f1:298.31:298.31:298.2571:298.2571:298.257 223 5631:298.257 223 5631 1：298298257 222 101 257 222 101 几种椭球几何参数几种椭球几何参数 习惯上用习惯上用a a和和f f表示表示第

8、一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学垂线偏差垂线偏差地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角的夹角u u。为了比较各点的垂线偏差，需要将垂线方向统一延伸到大地水准面，为了比较各点的垂线偏差，需要将垂线方向统一延伸到大地水准面，在大地水准面上的垂线偏差叫做大地水准面垂线偏差。在大地水准面上的垂线偏差叫做大地水准面垂线偏差。不同性质的椭球，垂线偏差也不同：不同性质的椭球，垂线偏差也不同：对应于正常椭球的垂线偏差叫做重力垂线偏

9、差；对应于平均地球椭球对应于正常椭球的垂线偏差叫做重力垂线偏差；对应于平均地球椭球的垂线偏差，叫做绝对垂线偏差或物理垂线偏差；对应于参考椭球的的垂线偏差，叫做绝对垂线偏差或物理垂线偏差；对应于参考椭球的垂线偏差，叫做相对垂线偏差。垂线偏差，叫做相对垂线偏差。相对垂线偏差不只是由地球内部质量分布不均匀而引起，还包括参考相对垂线偏差不只是由地球内部质量分布不均匀而引起，还包括参考椭球的参数，定位和定向的影响。椭球的参数，定位和定向的影响。第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学1.1.垂线偏差的计算公式垂线偏差的计算公式垂线偏差垂线偏差 的分量的分量子午圈分量子

10、午圈分量 和卯酉圈分量和卯酉圈分量 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位在球面直角三角形在球面直角三角形Z Z1 1Z Z2 2P P中：中：tancot90cot90tancosBBLcossin90sinsinsinL由于由于-L-L和和都比较小，有：都比较小，有：LLsin1cosLsin于是，有：于是，有：secLBcosLB或者或者2.2.天文方位角和大地方位角之间的关系式天文方位角和大地方位角之间的关系式第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学 RRA11 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地球椭球及

11、其定位地球椭球及其定位在三角形在三角形ZZZZ1 1P P中，中，ZZ1P=180-1，根据球面三角形余弦的半角和公，根据球面三角形余弦的半角和公式：式：LuB21sin21cos909021cos18021cos1化简后得：化简后得：LuB21sin21cos21sin21sin1由于角值较小，并令由于角值较小，并令=B=B，最后可得：，最后可得：sin1L 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位由图看出，由图看出，R R1 1-R-R就是垂线偏差对水平方向观测值的影响。在球面直角就是垂线偏差对水平方向观测值的影响。在球面直角三角形三角形MRMR1 1R

12、R中，有中，有: :qzRRsin90sinsin11而在球面直角三角形而在球面直角三角形MZZMZZ1 1中，有中，有: :uzAqsinsinsinsin1代入前式，有代入前式，有: :11cotsinsinsinzAuRR由于（由于（R R1 1-R-R）和）和u u数值较小，并考虑数值较小，并考虑: : ，最后得：，最后得：cos,sinuu11cotcossinzAARR 应用大地测量学应用大地测量学第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位天文方位角是天文方位角是，大地方位角是，大地方位角是A A，之间的关系是：，之间的关系是：通常垂线偏差都小于通常垂线偏差都小于1010，z1

13、约为约为9090，R R1 1-R-R也仅有百分之几秒，远也仅有百分之几秒，远小于天文方位角的观测误差，所以上式写成：小于天文方位角的观测误差，所以上式写成：上式就是天文方位角归算为大地方位角的计算公式，成为拉普拉斯方上式就是天文方位角归算为大地方位角的计算公式，成为拉普拉斯方程式。还可以写成：程式。还可以写成：由此得到的大地方位角称为拉普拉斯方位角。由此得到的大地方位角称为拉普拉斯方位角。()sin( sincos)cotALAAz1sin)(LAtanA第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学如果椭球的短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大地子午面如

14、果椭球的短轴与地球某一固定历元的地轴不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，将产生欧拉角，此时垂线偏差公式和拉和起始天文子午面也不平行，将产生欧拉角，此时垂线偏差公式和拉普拉斯方程将扩展为：普拉斯方程将扩展为：上式为广义垂线偏差公式和拉普拉斯公式。上式为广义垂线偏差公式和拉普拉斯公式。sincos0seccostansintan1tancossecsinsec0XYZBLA 第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学 椭球定位椭球定位将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下来，将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下来，确定测量计算基准面的具体位置和大

15、地测量起算数据。确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。 OXYZOXYZ1111起始天文子午面起始大地子午面地球地轴椭球短轴椭 球 中 心地 心椭球坐标系和椭球坐标系和地球坐标系地球坐标系第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学 椭球定位的过程和原理椭球定位的过程和原理1.1.选定大地原点选定大地原点K K2.2.测量天文经度测量天文经度 ，天文纬度，天文纬度 ，正高，正高 及天文方位角及天文方位角 3.3.写出广义的垂线偏差公式和广义的拉普拉斯方程写出广义的垂线偏差公式和广义的拉普拉斯方程4.4.顾及到顾及到 ，将上式写成，将上式写成KKKH正正

16、K2sec(sincos)tan(coscos)tan(coscos)sec(cossin)sincosKKKKYKXKKZKKKYKXKKKKKYKXKKKKKYKXKKKKLBAHHNN e正正0,0,0XYZ第一节第一节 地球椭球及其定位地球椭球及其定位 应用大地测量学应用大地测量学sectanKKKKKKKKKKKKKKLBAHHN正正式中没有出现X0Y0Z0，其实他们是被 代替了。因此，椭球定位和定向实际上就是确定 。,KKKN,KKKN一点定位一点定位 最初定位时，令大地原点处椭球的法线和铅垂线方向重合，椭最初定位时，令大地原点处椭球的法线和铅垂线方向重合，椭球面和大地水准面相切，

17、即球面和大地水准面相切，即 ，此即为一点定位。，此即为一点定位。多点定位多点定位 以后定位时，利用多个拉普拉斯点的测量成果，根据以后定位时，利用多个拉普拉斯点的测量成果，根据 求出求出0,0,0KKKN2minKN,KKKN第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学法截面法截面包含曲面一点法线的平面。有无数个。包含曲面一点法线的平面。有无数个。法截线法截线法截面与曲面的截线。有无数条。法截面与曲面的截线。有无数条。子午圈子午圈包含短轴的平面与椭球面的交线。包含短轴的平面与椭球面的交线。卯酉圈卯酉圈与子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的与子午面相垂

18、直的法截面同椭球面相截形成的闭合圈。闭合圈。第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学TWyCPPEEGQQOVOUKKNssBBB +9 0 N=bxyxrraN卯酉圈卯酉圈与椭球面上一点子午圈相与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该点的卯酉圈。垂直的法截线，为该点的卯酉圈。斜截线斜截线不包含法线的平面与椭球不包含法线的平面与椭球面的截线，成为斜截线。面的截线，成为斜截线。平行圈平行圈垂直于短轴的平面与椭球垂直于短轴的平面与椭球面的交线。面的交线。平行圈是斜截线。平行圈是斜截线。平行圈和卯酉圈有相同的切线。平行圈和卯酉圈有相同的切线。第二节第二

19、节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学麦尼尔定理：通过曲面上一点麦尼尔定理：通过曲面上一点引两条弧线，一为法截线，一引两条弧线，一为法截线，一为斜截线，且在该点上这两条为斜截线，且在该点上这两条弧线具有公共切线，这时斜截弧线具有公共切线，这时斜截线在该点处的曲率半径等于法线在该点处的曲率半径等于法截线的曲率半径乘以两截弧平截线的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦。面夹角的余弦。BNrcosTWyCPPEEGQQOVOUKKNssBBB+90 N=bxyxrra第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学cosrP

20、KB这表明，卯酉圈的曲率半径这表明，卯酉圈的曲率半径N N恰好等于法线介于椭球面和短恰好等于法线介于椭球面和短轴之间的长度。轴之间的长度。在子午椭圆上，以长轴为在子午椭圆上，以长轴为x x轴，轴，短轴为短轴为y y轴建立坐标系，那么轴建立坐标系，那么椭圆的方程是椭圆的方程是22221xyab22220 xy dyabdx对对x x求导数求导数第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学根据导数的性质，曲线上某一点的导数就是该点的切线与横轴正根据导数的性质，曲线上某一点的导数就是该点的切线与横轴正方向所夹角的正切。方向所夹角的正切。tan(90)cot

21、dyBBdx 代入导数公式，得代入导数公式，得222tan(1)tanbyxBxeBa代入椭圆方程，得代入椭圆方程，得22222222(1) tan1(1)xxeBaae22coscos1sinaaxBBWeB第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学由图可看出，由图可看出，x=rx=r，所以，所以，cosarBW与前面的与前面的BNrcos比较得比较得：aNW根据根据N N和和W W的关系，以及的关系，以及c c和和a a的关系，还有的关系，还有cNV第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学-d X

22、d rEDCKBBMMd BdXMdBsindrdXB sindrMBdB cosarBW因为因为所以可求所以可求r对对B的导数为的导数为第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学1322222222322222223222223sin(1sin)sincos(1sin) sin(1sin) (1sin)cos sin(1sin)(1)(1) sindraBeBaeBBeBdBaBeBeBeBaBeBeaeBW 代入得代入得233(1)aecMWV第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学l在微分几何学

23、中，曲面上任一点的切平面上，都存在两个互相垂直在微分几何学中，曲面上任一点的切平面上，都存在两个互相垂直的特殊方向，使法截线的曲率达到最大值和最小值。这两个方向称为的特殊方向，使法截线的曲率达到最大值和最小值。这两个方向称为主方向，其相应的法截线曲率称为主曲率。对应的曲率半径成为主曲主方向，其相应的法截线曲率称为主曲率。对应的曲率半径成为主曲率半径。率半径。l在椭球面上任一点的法截线中，卯酉圈的曲率半径达到最大值，而在椭球面上任一点的法截线中，卯酉圈的曲率半径达到最大值，而子午线的曲率半径最小，因此，任一点的卯酉圈和子午圈的切线方向子午线的曲率半径最小，因此，任一点的卯酉圈和子午圈的切线方向就

24、是椭球面在该点的主方向，其曲率半径就是椭球面在该点的主方向，其曲率半径N N和和M M就是主曲率半径。由于就是主曲率半径。由于椭球面上任一点的平行圈和卯酉圈有公共切线，所以，经线和纬线的椭球面上任一点的平行圈和卯酉圈有公共切线，所以，经线和纬线的切线方向也是主方向。切线方向也是主方向。 应用大地测量学应用大地测量学第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径B BN NM M说明说明B=0B=0N N0 0=a=aM M0 0= a(1-e= a(1-e2 2) )在赤道上，在赤道上，N N为赤道半为赤道半径径a a，M M小于赤道半径小于赤道半径a a0 0B90B90aNca

25、Nca(1-ea(1-e2 2)Mc)Mc此间此间N N、M M均随均随B B的增大的增大而增大而增大B=90B=90在极点，卯酉圈变为在极点，卯酉圈变为子午圈子午圈M M、N N随随B B变化的规律变化的规律 总结：总结：N N和和M M都只与都只与B B有关，且随有关，且随B B的增大而增大，当的增大而增大，当B B等于等于9090度时，二者相度时，二者相等，都等于等，都等于c c，所以，所以c c就是极曲率半径。就是极曲率半径。第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学根据微分几何中的欧拉公式，由曲面上任意一点的主曲率半径计算根据微分几何中的

26、欧拉公式，由曲面上任意一点的主曲率半径计算该点任意方向（大地方位角为该点任意方向（大地方位角为A）的法截线曲率半径的公式是：）的法截线曲率半径的公式是：22cossinAMNRNAMA221NVM 将上式除以将上式除以M M，并顾及，并顾及 得：得：222221cos1coscosANNRAeBA第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学法截线的曲率半径具有下述法截线的曲率半径具有下述特性：特性：1 1）相对于主方向对称位置的）相对于主方向对称位置的法截线具有相同的曲率半径。法截线具有相同的曲率半径。2 2）椭球面上任一点相互垂直）椭球面上任一点相

27、互垂直的两个法截线曲率之和是固的两个法截线曲率之和是固定值，且等于两个主方向曲定值，且等于两个主方向曲率之和。率之和。A3 6 0 -A9 0 + A9 0 -A1 8 0 -A1 8 0 + A2 7 0 + A2 7 0 -A子 午 圈卯 酉 圈901111AARRMN第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学11 ()inAiRRnn2222001122cossinAMNRR dAdANAMA上式表明，椭球面上某一点处的法截线的平均曲率半径等于该点处子上式表明，椭球面上某一点处的法截线的平均曲率半径等于该点处子午圈和卯酉圈曲率半径午圈和卯酉圈

28、曲率半径M M和和N N的几何平均值的几何平均值, ,在极点处为在极点处为c c。且有。且有NRM2221aecRMNWV第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学122(1)cNcV3223(1)cMcV212(1)cRcV二项式定理：二项式定理：22468(1)(1)(2)(1)(2)(3)(1)12!3!4!nn nn nnn nnnn 第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学2244668813535(1coscoscoscos2816128NceBeBeBeB2244668831535315

29、(1coscoscoscos2816128MceBeBeBeB22446688(1coscoscoscosRceBeBeBeB将椭球参数代到上面的公式中，即得对应于各个椭球的数值计算将椭球参数代到上面的公式中，即得对应于各个椭球的数值计算公式，如克拉索夫斯基椭球，公式，如克拉索夫斯基椭球，19751975年国际椭球等。年国际椭球等。BN（m）R（m）M（m）01530456075906 378 2456 379 6756 383 5886 388 9546 394 3156 398 2556 399 6996 356 8636 359 7146 367 5186 378 2096 388 93

30、66 369 8116 399 6996 335 5536 339 8166 351 4886 367 4916 383 5616 395 3686 399 699第二节第二节 椭球面上法截线曲率半径椭球面上法截线曲率半径 应用大地测量学应用大地测量学下面是三个曲率半径的数值（克拉索夫斯基椭球）下面是三个曲率半径的数值（克拉索夫斯基椭球）第三节第三节 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学 计算计算B=0B=0到到B B的子午圈弧长的子午圈弧长X X由由M=dX/dBM=dX/dB得：得： 将将 代入上式，得代入上式，得X X2244668831535315(1cosc

31、oscoscos2816128MceBeBeBeB0BXMdB22446688031535315(1coscoscoscos)2816128BXceBeBeBeB dB第三节第三节 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学根据三角函数的积分公式，有根据三角函数的积分公式，有12sincos1coscosnnnBBnBdBBdBnn依次求出余弦函数各次幂的定积分，经整理得：依次求出余弦函数各次幂的定积分，经整理得：35702468(coscoscoscos)sinXcBBBBBB式中：式中：24680345175110 251464256163 84eeee 2014684

32、151753 675323848 192eee68635735962 048ee 883151 024e第三节第三节 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学计算已知纬度计算已知纬度B1B1和和B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X X（1 1）分别计算）分别计算0 0到到B1B1和和0 0到到B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X1X1和和X2X2，然后求，然后求X=X2-X1X=X2-X1；（2 2）用上述积分式求）用上述积分式求B1B1B2B2之间的子午圈弧长之间的子午圈弧长X X。l单位纬度的子午线弧长随纬度的升高而缓慢地增大。单位纬度的子午线弧长随纬度的

33、升高而缓慢地增大。第三节第三节 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学 平行圈是一个半径等于平行圈是一个半径等于 r=NcosBr=NcosB的圆，纬度的圆，纬度B B处经度处经度L1L1L2L2之之间的平行圈弧长间的平行圈弧长 l与纬度有关。纬度越高，平行圈半径越小，单位纬度对应的弧长越与纬度有关。纬度越高，平行圈半径越小，单位纬度对应的弧长越短。短。 B子午线弧长（m）平行圈弧长（m）B=111l=1110153045607590110 576110 656110 863111 143111 423111 625111 6961 842.941 844.261 84

34、7.711 852.391 857.041 860.421 861.6030.71630.73830.79530.87330.95131.00731.027111 321107 552 96 488 78 848 55 801 28 902 01 855.361 792.541 608.131 314.14 930.02 481.71 0.0030.92329.87626.80221.90215.500 8.028 0.000第三节第三节 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学子午线弧长和平行圈弧长变化的比较子午线弧长和平行圈弧长变化的比较椭球面梯形图幅面积的计算椭球面

35、梯形图幅面积的计算dydxdPMdBdx BdLNdycosdBdLWBeadP422cos1具体的计算公式为2121422cos1LLBBdBdLWBeaP21223456721234sinsinsinsin357BBPbLLBeBeBeB地球全球的面积为地球全球的面积为5.15.1亿亿kmkm2 2，地球的半径为，地球的半径为6371.1km6371.1km第三节第三节 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 应用大地测量学应用大地测量学第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学野外测量时，假设测站点的铅垂线与法线重合，那么视准面就是法截野外测量时，

36、假设测站点的铅垂线与法线重合，那么视准面就是法截面，它和椭球面的截线就是法截线。但是事实上，测站点的铅垂线一面，它和椭球面的截线就是法截线。但是事实上，测站点的铅垂线一般不可能与法线重合，不同测站点的法线也不相交，两个对向观测的般不可能与法线重合，不同测站点的法线也不相交，两个对向观测的测站之间就会出现两条不相重合的法截线。测站之间就会出现两条不相重合的法截线。 sinCKNB2(1)sinCONeB2sinOKCKCOe NB纬度不同，交点纬度不同，交点K K的位置就不的位置就不同，并且纬度越高，同，并且纬度越高，K K的位置的位置就越靠下。就越靠下。TWyCPPEEGQQOVOUKKNss

37、BBB+90 N=bxyxrra第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学设设Q Q1 1和和Q Q2 2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线线Q Q1 1n n1 1和和Q Q2 2n n2 2不相交。法截线不相交。法截线Q Q1 1m m1 1Q Q2 2和和Q Q2 2m m2 2Q Q1 1称为两点间的相对法截线。称为两点间的相对法截线。图中，图中，Q Q1 1比比Q Q2 2低，低，n n1 1比比n n2 2高，所以高，所以m m1 1比比m m2 2低，即偏南。正反

38、法截线。低，即偏南。正反法截线。第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学令令Bm=45Bm=45，A=45A=45，不同距离，不同距离S S求得的求得的值为：值为： S S 100km 100km 0.042 0.042 60km 60km 0.015 0.015 30km 30km 0.004 0.004 在长距离的测量中，对向观测所得在长距离的测量中，对向观测所得3 3个内角不能组成个内角不能组成闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线大地线。大地线。第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球

39、面 应用大地测量学应用大地测量学大地线大地线曲面上两点间的最短曲线。在微分几何学中，大地线（又曲面上两点间的最短曲线。在微分几何学中，大地线（又称测地线）是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包称测地线）是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。也即大地线上各点的主法线与该点的曲面法线含曲面在该点的法线。也即大地线上各点的主法线与该点的曲面法线重合。重合。曲线切线：当曲线切线：当P P1 1和和P P2 2点无限接近点无限接近P P点时，割线点时，割线P P1 1P P2 2的极限位置。的极限位置。切平面：曲面上通过切平面：曲面上通过P P点的一切曲线的切

40、线均在同一平面上。点的一切曲线的切线均在同一平面上。曲面法线：垂直于切平面的直线曲面法线：垂直于切平面的直线PKPK。密切平面：密切平面：ds1ds1、ds2ds2无限小时，无限小时，P P1 1，P,PP,P2 2所确定的平面。所确定的平面。曲线的主法线：在密切平面内垂直于曲线切线的直线。曲线的主法线：在密切平面内垂直于曲线切线的直线。第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学Kddss2211PPPBA线法曲 面切 平 面密 切 平 面在在Howard D.CurtisHoward D.Curtis著的著的轨道力学轨道力学中有密切平面的定义：加

41、速中有密切平面的定义：加速度度 ， 为为 的切向分量，的切向分量， 为为 的法向分量，单位矢量的法向分量，单位矢量 和和 所形成的平面称之为密切平面。所形成的平面称之为密切平面。nnttuauaatanaaatunuO第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学31 =BELDK大地线与法截线的差异：大地线与法截线的差异：大地线为双曲率曲线大地线为双曲率曲线大地线与正法截线间的夹角为大地线与正法截线间的夹角为=/3/3。大地线与相对法截线间的长度之差甚微，大地线与相对法截线间的长度之差甚微，600km600km时二者之差仅为时二者之差仅为0.007m

42、m0.007mm。两点位于同一条子午圈上或赤道上，则大地线与子午圈、赤道重合。两点位于同一条子午圈上或赤道上，则大地线与子午圈、赤道重合。曲面上的曲线并不都是大地线，如球面上曲面上的曲线并不都是大地线，如球面上的小圆弧。对于椭球，假想在其上拉紧一的小圆弧。对于椭球，假想在其上拉紧一条既无重力又无摩擦力的细绳，细绳的平条既无重力又无摩擦力的细绳，细绳的平衡位置就是一条大底线。衡位置就是一条大底线。第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学 大地线的解析特性大地线的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA与与dSdS的关系：的关系： 大地线的三个微

43、分方程：大地线的三个微分方程：1-+c o s=rro9 0 KMTNNNLLSPPPBBB BdddddAdAAAP2P PMdBcosMdBdSAdSMAdBcos1cosPPNBdL cossinNBdLdSAdSBNAdLcossin1cosNBdLdAPTsindAdLBBdSNAdAtansin1costan(90)cotsinNBPTNBNBB大地线的大地线的克莱劳方程克莱劳方程 ： 应用大地测量学应用大地测量学第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面BdSNAdAtansindSMAdBcosAMdBdScosdBBNABMAdAcoscossinsinBdB

44、drMsinrdrAAdAcossinrdrAdAcotCrAlnlnsinln积分积分CArsin这就是著名的克劳来方程，也叫克劳来定理这就是著名的克劳来方程，也叫克劳来定理第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学对于椭球面上一大地线而言，每点对于椭球面上一大地线而言，每点处平行圈半径与该点处大地线方位处平行圈半径与该点处大地线方位角正弦的乘积是一个常数。角正弦的乘积是一个常数。C C叫做大地线常数，不同的大地线对叫做大地线常数，不同的大地线对应的大地线常数不同。应的大地线常数不同。赤道：赤道：C=aC=a，子午圈：，子午圈：C=0C=0图中的

45、大地线图中的大地线EDKCEDKC，其常数等于，其常数等于a asinAsinA0 0或极小平行圈的半径或极小平行圈的半径r r0 0。sinrAC用来验证大地方位角计算的正确性用来验证大地方位角计算的正确性第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学 将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数准的观测方向，其改正数1 1为：为：例：例：A=0A=0，tan=0.01tan=0.01，=5=5，则，则1 1=0.05=0.05。 垂线偏差改正数的大小主要取决于

46、测站点的垂线偏差和观测方向垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定的天顶距（或垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正。加入此项改正。 11cotcossinzAA第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学 因照准点因照准点 B B高出椭球面某一高度高出椭球面某一高度 H H2 2，使得在，使得在A A点照准点照准B B点的法截点的法截线线AbAb与与AbAb之间有一夹角之间有一夹角2 2。B B2 2 照准点的大地纬度；照准点的大地纬度；A A1 1

47、测站点至照准点的大地方位角；测站点至照准点的大地方位角；H H2 2 照准点高出椭球面的高程；照准点高出椭球面的高程；M M1 1 测站点子午圈曲率半径。测站点子午圈曲率半径。例：例：A A1 1=45=45，B B2 2=45=45，H H2 2=2000m=2000m，2 2=0.1=0.1局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。 第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学 将椭球面上法截线方向换算为大地线方向将椭球面上法截线方向换算为大地线方向所加的为截面差改正数所加的为截面差改正数3 3。例：例：A

48、A1 1=45=45，Bm=45Bm=45，S=30km S=30km 3 3=0.001=0.001 截面差改正主要与测站点至照准点间的距截面差改正主要与测站点至照准点间的距离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才离有关。只有在国家一等三角测量计算中，才进行改正。进行改正。 第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学 设设A A、B B两点的大地高分别为两点的大地高分别为H H1 1为为H H2 2，h=Hh=H2 2-H-H1 1，d d为空间直线长。为空间直线长。现在要求测站点现在要求测站点A A的投影点的投影点a a到照准点到照准点B B的

49、投影的投影点点b b之间的大地线长度之间的大地线长度S S。两个近似：两个近似：1 1）大地线长度与法截线长度之间）大地线长度与法截线长度之间的差值忽略不计；的差值忽略不计；2 2）法截线长度与以）法截线长度与以R RA A为半径为半径的圆弧的长度之差忽略不计。的圆弧的长度之差忽略不计。两个步骤：两个步骤：1 1）将空间距离转化为弦长）将空间距离转化为弦长S S0 0；2 2）将弦长将弦长S S0 0转换为弧长转换为弧长S S2221coscosmAmNReBA第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学2221212()() 2()()cosAAA

50、AdRHRHRHRH2cos1 2sin2 22221221()4(1)(1)sin ()2AAAHHdHHRRR02sin()2ASR21hHH222120(1)(1)AAHHdhSRR22012122212122222212(1)(1) (1)(1) 12(1)AAAAmAmAmAdhSHRHRdhHRHRdhHRHRdhHR第一步完成第一步完成第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学02arcsin()2AAASSRRR300224ASSSR2322()24mmAAAHHsSssRRR 22sdh第一项是测距仪与反光镜平均高程面上的水平距离

51、，第一项是测距仪与反光镜平均高程面上的水平距离，第二项是水平距离换算成椭球面上相应弦长的改正第二项是水平距离换算成椭球面上相应弦长的改正数，第三项是弦长换算成椭球面上圆弧长的改正数。数，第三项是弦长换算成椭球面上圆弧长的改正数。第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学 目的目的将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解算未知边长。算未知边长。又因为地球椭球又因为地球椭球扁率不大，三角锁网中的三角形比较小，椭球面上的率不大，三角锁网中的三角形比较小，椭球面上的三角形解算完全可以在球面上进

52、行。三角形解算完全可以在球面上进行。200km200km，0.0010.001，1mm方法一：按球面三角形解算公式，例如球面三角形的正弦定理方法一：按球面三角形解算公式，例如球面三角形的正弦定理 00sinsinsinsinabBARR两个缺点：两个缺点：1）解算前需要将已知边长除以球）解算前需要将已知边长除以球半径转化为球心角，解算后再将球心角转化为半径转化为球心角，解算后再将球心角转化为长度，很不方便；长度，很不方便；2）球心角很小，而小角度）球心角很小，而小角度的正弦函数值变化很快，难以保证解算精度。的正弦函数值变化很快，难以保证解算精度。第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归

53、算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学方法二：将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，按平面三角方法二：将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面边长。公式解算三角形求得球面边长。 103AA103BB103CC000() 180ABC 球面角超球面角超公式推导：公式推导：球面上的一个角按余弦定理有：球面上的一个角按余弦定理有： 平面上的一个角平面上的一个角 第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学0coscoscossinsincosabcbcARRRRR242424242424033332224442222

54、222(1)(1)(1)224224224cos()()66222 224aabbccRRRRRRAbbccRRRRbcaabca ba cb cbcR bc22212cosabcbcA2221cos2bcaAbc第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学4442222221024442222222222221122222coscos24222 ()64 (1 cos)sin66abca ba cb cAAR bcbcabca ba cb cRR b cbcbcAARR 21010122sinsinsin226AAAAbcAR1010101sin,

55、 sinsin222AAAAAAA10122sin63bcAAARR 11sin2bcA 2R令：令：则：则：103AA同理：同理：103BB103CC第四节第四节 地面观测值归算至椭球面地面观测值归算至椭球面 应用大地测量学应用大地测量学101010333AABBCC这就是解算球面三角形这就是解算球面三角形的勒让德定理的勒让德定理该定理表明，如果将球面三角形的每个角度减去其球面角超的三分该定理表明，如果将球面三角形的每个角度减去其球面角超的三分之一，就得到对应边相等的平面三角形，按平面三角形的正弦公式之一，就得到对应边相等的平面三角形，按平面三角形的正弦公式解算，即可得出球面三角形的边长。解

56、算，即可得出球面三角形的边长。第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 应用大地测量学应用大地测量学 大地问题正解大地问题正解已知已知P P1 1点大地坐点大地坐标（标（B B1 1，L L1 1）、）、P P1 1P P2 2大地线长大地线长S S和大地方位和大地方位角角A A1212，推求，推求P P2 2点大地坐标（点大地坐标（B B2 2，L L2 2）和大）和大地方位角地方位角A A2121。 大地问题反解大地问题反解已知已知P P1 1P P2 2两点的大两点的大地坐标（地坐标（B B1 1，L L1 1）、（）、（B B2 2，L L2 2）反算）反算P P1 1P

57、 P2 2的的大地线长大地线长S S和大地方位角和大地方位角A A1212、A A2121。 实质是：大地极坐标和大地坐标之间实质是：大地极坐标和大地坐标之间的变换的变换椭球面上的大地经度椭球面上的大地经度L L、大地纬度、大地纬度B B、两点间的大地线长度、两点间的大地线长度S S及其正反大及其正反大地方位角地方位角A A1212、A A2121通称为大地元素。已知一部分求另一部分，就是大地通称为大地元素。已知一部分求另一部分，就是大地问题解算，或称大地坐标解算。问题解算，或称大地坐标解算。第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 应用大地测量学应用大地测量学 1 1、按解算的

58、长度分为短距离（、按解算的长度分为短距离（400km)0,0 0,0 0,02 0,0 0,02mmmmmATblATblATblATblAbl为了解算大地问题，高斯于为了解算大地问题，高斯于18461846年对勒让德级数进行了改化，提出了年对勒让德级数进行了改化，提出了以大地线两端点平均纬度及平均方位角为依据的高斯平均引数公式，以大地线两端点平均纬度及平均方位角为依据的高斯平均引数公式，它具有收敛速度快，公式项数少，计算精度高，计算较简便，使用范它具有收敛速度快，公式项数少，计算精度高，计算较简便，使用范围大等优点。围大等优点。 属于间接解法，适用于短距离属于间接解法，适用于短距离基本思路：

59、基本思路：a a、首先把勒让德级数在、首先把勒让德级数在P1P1点展开改为点展开改为在大地线中点在大地线中点M M展开，以使级数公式项展开，以使级数公式项数少，收敛快，精度高。数少，收敛快，精度高。b b、考虑到求定中点、考虑到求定中点M M的复杂性，将的复杂性，将M M点点用大地线两端点平均纬度及平均方位用大地线两端点平均纬度及平均方位角相对应的角相对应的m m点来代替，并借助迭代计点来代替，并借助迭代计算，便可顺利实现大地问题正算。算，便可顺利实现大地问题正算。 第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 应用大地测量学应用大地测量学第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大

60、地问题解算 应用大地测量学应用大地测量学（一）将（一）将l、b、a在大地线中点在大地线中点M处展开为处展开为S的幂级数的幂级数 22332231122468MMMMdBSd BSd BSBBdSdSdS22331231122468MMMMdBSd BSd BSBBdSdSdS 两式相减得：两式相减得： 33213124MMdBd BbBBSSdSdS（5-805-80）同理可得：同理可得： 第五节第五节 椭球面上大地问题解算椭球面上大地问题解算 应用大地测量学应用大地测量学33213124MMdLd LlLLSSdSdS33213124MMdAd AaAASSdSdS虽然只有两项，实际上已达到