34实际问题与一元一次方程专题复习

1、一元一次方程应一元一次方程应用题专题复习用题专题复习 问题问题1： 毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：有一次有位数学家问他：“尊敬的毕达哥拉斯尊敬的毕达哥拉斯先生，请告诉我，有多少名学生在你的学校里先生，请告诉我，有多少名学生在你的学校里听你讲课？听你讲课？” 毕达哥拉斯回答说：毕达哥拉斯回答说：“我的学生，我的学生，现在有现在有 在学习数学，在学习数学， 在学习音乐，在学习音乐， 沉默沉默无言，此外，还有三名妇女无言，此外，还有三名妇女.”算一算：毕达哥算一算：毕达哥拉斯的学生有多少名？拉斯的学生有多少名？ 214171开启 智慧你能解出这

2、道方程吗？把你的解法与你能解出这道方程吗？把你的解法与其他同学交流一下，看谁的解法好。其他同学交流一下，看谁的解法好。总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些。解方程中的计算更方便些。解：设毕达哥拉斯的学生有解：设毕达哥拉斯的学生有x名，由题意得名，由题意得我的学生，现在有我的学生，现在有 在学习数学，在学习数学， 在学习在学习音乐，音乐， 沉默无言，此外，还有三名妇女沉默无言，此外，还有三名妇女 214171x3x71x41x21英国伦敦博物馆保存着一

3、部极其珍英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物贵的文物纸莎草文书。这是古纸莎草文书。这是古代埃及人用象形文字写在一种特殊代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，它于公元前的草上的著作，它于公元前1700年年左右写成，至今已有三千七百多年。左右写成，至今已有三千七百多年。这部书中记载了许多有关数学的问这部书中记载了许多有关数学的问题，其中有如下一道著名的求未知题，其中有如下一道著名的求未知数的问题。数的问题。问题问题2：一个数，它的三分之二，它一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是加起来总共是33，求这个数？，求这个数？纸莎草文书

4、纸莎草文书你能解决这个问题吗你能解决这个问题吗?开启 智慧问题问题 一个数，它的三分之二，它的一半，它一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是的七分之一，它的全部，加起来总共是3333。用现在的数学符号表示，这道题就是方程用现在的数学符号表示，这道题就是方程33xx71x21x32解：设这个数为x，33x424262128971386x 像左面这样的方程中像左面这样的方程中有些系数是分数，有些系数是分数，如果能化去分母，如果能化去分母，把系数化为整数，把系数化为整数，则可以使解方程中则可以使解方程中的计算更方便些。的计算更方便些。33xx71x21x32334242

5、xx7142x2142x3242138642x6x21x28x138697x 971386x 各分母的最小公倍数时42，方程两边同乘42，则得到合并同类项，系数化为1，思考：方程两边同乘42的依据是什么？用上述方法解下列方程用上述方法解下列方程: :分析：分析：由于方由于方程中的某些项程中的某些项含有分母，我含有分母，我们可先利用等们可先利用等式的性质，去式的性质，去掉方程的分母，掉方程的分母，再进行去括号、再进行去括号、移项、合并同移项、合并同类项等变形求类项等变形求解。解。 (1)这个方程中各分母的最小公倍数是多少这个方程中各分母的最小公倍数是多少?(2)你认为方程两边应该同时乘以多少你认

6、为方程两边应该同时乘以多少?(3)方程两边同乘上这个数以后分别变成了方程两边同乘上这个数以后分别变成了什么什么?532x1023x2213x53210232213xxx5(3x + 1) - 102 = (3x 2) 2(2x + 3)15x + 5 20 = 3x 2 4x 6 15x 3x + 4x = - 2 6 5 + 20 16x = 7 167x去分母（方去分母（方程两边同乘程两边同乘以各分母的以各分母的最小公倍数）最小公倍数）去括号去括号移项移项合并合并系数化为系数化为1想一想想一想: :去分母时去分母时, ,应注意什么应注意什么问题？问题？例1 解方程：312x321x3x解：

7、去分母（方程两边同乘6），得18x+3(x-1)=18-2(2x-1).去括号，得18x+3x-3=18-4x+2移项，得18x+3x+4x=18+2+3.合并同类项，得25x=23系数化为1，得2523x 解方程：解方程：2X-1X-154x+2=-2(x-1)解方程：解方程：2X-1X-154x+2=-2(x-1) 解解: 去分母去分母,得得 5x-1=8x+4-2(x-1) 去括号去括号,得得 5x-1=8x+4-2x-2 移项移项,得得 8x+5x+2x=4-2+1 合并合并,得得 15x =3 系数化为系数化为1,得得 x =5 解一元一次方程的步骤：解一元一次方程的步骤：移移 项项

8、合并同类合并同类项项系数化为系数化为1去括号去括号特别提示：特别提示：求出解后求出解后养成检验养成检验的习惯的习惯去分母去分母解一元一次方程的一般步骤解一元一次方程的一般步骤: :变 形 名 称 具体的做法和注意事项去 分 母乘所有的分母的最小公倍数.依据是等式性质二。防止防止漏乘（尤其没有分母的项），注意添括号漏乘（尤其没有分母的项），注意添括号；去 括 号先去小括号,再去中括号,最后去大括号.依据是去括号法则和乘法分配律。注意符号，防止漏乘；注意符号，防止漏乘；移 项把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一。移项要变号，防止漏移项要变号，防止漏项；项；合并

9、同类项将未知数的系数相加，常数项项加。依据是乘法分配律，系数为系数为1或或-1时时,记得省略记得省略1；系 数 化 为1 在方程的两边除以未知数的系数.依据是等式性质二。分子、分母不要写倒了；分子、分母不要写倒了；2 2（2x2x1 1）1 15 5（x x2 2）2 2（2x2x1 1）1 15 5（x x2 2）解：解：去括号，得去括号，得 4x 4x2 21 15x5x1010移项，得移项，得 4x 4x5x5x1 110102 2合并，得合并，得 9x 9x9 9系数化系数化1 1，得，得 x x1 1 例：例：某工厂要锻造直径某工厂要锻造直径为为60mm,60mm,高为高为20mm

10、20mm 的圆柱形毛坯的圆柱形毛坯, ,需要截取直径为需要截取直径为40mm40mm的圆的圆钢多长钢多长? ? 例：例：某工厂要锻造长某工厂要锻造长为为40mm,40mm,宽为宽为30mm 30mm ，高为高为15mm15mm的的长方体长方体毛坯毛坯, ,需要截取直径为需要截取直径为40mm40mm的圆钢多长的圆钢多长? ? 例：例：截取截取20m20m直径为直径为40m40m的圆钢，能锻造的圆钢，能锻造底面积为底面积为120m120m2 2的圆柱形毛坯多么长的圆柱形毛坯多么长? ?例：例： 把先准备好的铁丝围成一个长方形，把先准备好的铁丝围成一个长方形，有多少种围法？有多少种围法？ 它们的它

11、们的周长改变了吗周长改变了吗？它们的它们的面积都相等吗面积都相等吗？例：例： 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示。小颖将饰物，如图实线所示。小颖将梯形梯形下底的下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形钉成一个长方形，如图虚线所示。小颖所钉如图虚线所示。小颖所钉 长方形的长、宽长方形的长、宽 各为多少厘米？各为多少厘米？1066101010例：例：如图所示，小明将一个正方如图所示，小明将一个正方形纸片剪去一个宽为形纸片剪去一个宽为4 4厘米的长厘米的长条后，在从剩下的长方形纸片上条后，在从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为剪

12、去一个宽为5 5厘米的长条，如厘米的长条，如果果两次剪下的长条面积正好相等，两次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长那么每一个长 条的面积为多少条的面积为多少？5厘米厘米4厘米厘米类型三：打折销售类型三：打折销售 1、 进 价（成本） 2、 原 价（定价） 3、 售 价 4、 利润 5、利润率 6、折扣1、利润=售价-进价2、标价=成本（1+提高率）3、售价=标价折/104、利润率= = 利润进价售价-进价进价100100一、此类型中的量二、此类型中的等量关系一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件服装仍获利15元.这种服装每件的成本价是多少元? 一家商店将某种服

13、装按成本价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件服装仍获利15元.这种服装每件的成本价是多少元?解解: 如果设每件服装的成本价为如果设每件服装的成本价为x元，那么元，那么每件服装的标价为：每件服装的标价为：(1+40%)X 元元每件服装的实际售价为：每件服装的实际售价为：80%(1+40%) X 元元每件服装的利润为：每件服装的利润为：80%(1+40%)X - X 元由此，列出方程：由此，列出方程：80%(1+40%)X-X=15解方程，得解方程，得x=125因此每件服装的成本价是因此每件服装的成本价是125125元。元。例：某种商品因换季准备打折出售，如 果按定价的七五折出售将赔25

14、元，而 按定价的九折出售将赚20元，这种商 品的定价是多少元？例：张、王、李三户分别装有相同的电灯2只、4只和3只，共用一块电表，按照电灯只数分摊16.2元的电费，则各家应分别分摊多少元电费？例：某洗衣机厂今年计划生产洗衣机3000台，其中型、型、型三种洗衣机的数量的比是2：3：5，这三种洗衣机计划各生产多少台？题型：例：（劳力分配问题）某工程队每天安排120个劳力修建水库，平均每天每个劳力能挖土5方或运土3方，为了挖出的土及时运走，问应如何安排挖土和运土的劳力？例： （比例问题）我国四大发明之一的黑火药，它所用的原料为硝酸钾、硫磺、木炭，它们的重量比是15：2：3，要配制这种火药280千克，

15、三种原料应各取多少千克？ 1 1、某水利工地派、某水利工地派 48 48 人去挖土人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土和运土，如果每人每天平均挖土5 5方方或运土或运土3 3方，那么应怎样安排人员，方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？正好能使挖出的土及时运走？练一练练一练 1 1、某水利工地派、某水利工地派 48 48 人去挖土和运土，如果人去挖土和运土，如果每人每天平均挖土每人每天平均挖土5 5方或运土方或运土3 3方，那么应怎样安排方，那么应怎样安排人员，正好能使挖出的土及时运走？人员，正好能使挖出的土及时运走？练一练练一练解：设安排解：设安排 x 人去挖土，则有（人去挖土，

16、则有（48 x ）人运土，根据）人运土，根据题意，得题意，得 5 x = 3 ( 48 x )去括号，得去括号，得 5x = 144 3x移项及合并，得移项及合并，得 8x = 144 x = 18运土的人数为运土的人数为 48 x = 48 18 = 30答：应安排答：应安排18人去挖土，人去挖土，30人去运土，正好能使挖出的人去运土，正好能使挖出的土及时运走。土及时运走。3、 某车间每天能生产甲种零件某车间每天能生产甲种零件120个，个，或乙种零件或乙种零件180个，甲、乙两种零件分别取个，甲、乙两种零件分别取2个、个、3个才能配成一套，现要在个才能配成一套，现要在30天内生产天内生产最多

17、的成套产品，问怎样安排生产甲、乙最多的成套产品，问怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？两种零件的天数？ 小明在静水中划船的速度为每小时小明在静水中划船的速度为每小时12千米，千米，今往返于某河，逆流时用了今往返于某河，逆流时用了10小时，小时，顺流时用了顺流时用了6小时小时.求两地距离。求两地距离。 小明在静水中划船的速度为每小时小明在静水中划船的速度为每小时12千米，千米，今往返于某河，逆流时用了今往返于某河，逆流时用了10小时，小时，顺流时用了顺流时用了6小时小时.求两地距离。求两地距离。开放与创新：诗仙李白本性嗜酒、豪放、旷达，向有“斗酒诗百篇”的美誉，是唐代“饮中八仙”之一，民间流传李白

18、买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒；遇店加一倍，见花喝一斗；三遇店和花，喝完壶中酒；试问酒壶中，原有多少酒？饮酒的历程酒壶中存酒A2xB2x-1C2(2x-1)D2(2x-1)-1E22(2x-1)-1 分析：若设酒壶中原有x斗酒，则李白饮酒的历程可用表格表示为类型五：能追上小明吗？类型五：能追上小明吗？一、涉及到的量 二、三个基本量之间的关系三、类似行程问题的工程问题（路程 速度 时间） 1、路程=速度时间 2、速度=路程时间 3、时间=路程速度 1、工作总量 = 工作效率 工作时间 2、工作效率 = 工作总量 工作时间 3、工作时间 = 工作总量 工作效率例：例：市实验

19、中学学生步行到郊外旅行。市实验中学学生步行到郊外旅行。(1)(1)班班学生组成前队，步行速度为学生组成前队，步行速度为4 4千米千米/ /时，时，(2)(2)班学生班学生组成后队，速度为组成后队，速度为6 6千米千米/ /时。前队出发时。前队出发1 1小时后，小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为为1212千米时。千米时。根据上面的事实提出问题，并尝试解答。根据上面的事实提出问题，并尝试解答。1、后队追上前队需要多长时间？、后队追上前队需要多长时间？2、后

20、队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？、后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？3、两队何时相距、两队何时相距6千米？千米？4、两队何时相距、两队何时相距2千米？千米？例：例：小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米.（1）如果他们站在百米跑道的两端同时相 向起跑，那么几秒后两人相遇？（2）如果他们两家相距500米，同时出 发多长时间见面？ 例：甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环行公路长42km，甲乙两人的速度分别是21km/h，14km/h.(1)、如果两人从公路的同一地点同时 反向出发，那 么经过几小时后，两人首次相遇？（2）、如果两人从公路的同一地点 同时同向出发

21、，那么经过几小时后， 两人首次相遇？注水问题：注水问题：例：一个水池，有甲、乙、丙三个水管，甲、乙是入水管，丙是排水管，单开甲管16分钟可将水池注满，单开乙管10分钟可将水池注满，单开丙管20分钟可将全池水放完。现将甲、乙两水管打开，4分钟后关上甲管开丙管，问又经过几分钟才能将水池注满？1、工作效率=1工作时间2、甲工作量+乙工作量+丙工作量=1类型六：教育储蓄类型六：教育储蓄一、涉及量二、量之间的关系1、本息和=本金+利息2、利息税=利息203、利息=本金利率期数4、利息= 本金利率期数（1-20） 1、本金 2、利息 3、本息和 4、利率 （年、月） 5、期数 6、利息税例：例：为了准备小敏年后上大为了准备小敏年后上大学的