浙江地区高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课精品学案新人教B版

1、名校名师推荐第三章空间向量与立体几何【学习目标】1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题3理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题.Q知识梳理知识点一空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面“，3的法向量分别为科，v,则线线平行l/m?a/b?a=kb,keR线囿平行l/a?囿囿平行a/3?w/V?线线垂直i±m?线面垂直l±a?a/?a=k,kCR卸回垂直a_L3?w_Lv?线线夹

2、角.，一J、,兀l,m的夹角为0(0<0<),cos0=线面夹角，一J、,兀l,a的夹角为0(0<0<),sin0=向向夹角一rj，兀a,3的夹角为9(0<9<y),COS0=知识点二用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论.关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程.(2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的

3、法向量，这是最核心的问题.(3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.题型探究类型一空间向量及其运算例1如图，在四棱锥S-ABCDK底面ABCO边长为1的正方形，S到ARCD的距离都等于2.给出以下结论：5 SASfe+SC>SD=0； 起Sb-SC-SD=0； SA-SB+SC-SD=0； SA2Sb=Sc2Sh SA2SC=0.其中正确结论的序号是.反思与感悟向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.跟踪训练1如图，在平行六面体ABCDA

4、BC丽，M分ACiO勺比为J，N分AD成的比为2,设AB=a,AD=b,AA=c,试用a、b、c表示Mnti类型二利用空间向量解决位置关系问题例2四棱锥P-ABC珅，PDL平面ABCDABCD1正方形，E是PA的中点，求证:(1)PC/平面EBD(2)平面PBCL平面PCD反思与感悟(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线.利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.(3)证明面面平行的方法转化为线线平行、线面平行处理.证明这两个平

5、面的法向量是共线向量.(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直.(5)证明线面垂直的方法证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量.证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直.(6)证明面面垂直的方法转化为证明线面垂直.证明两个平面的法向量互相垂直.跟踪训练2正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是BB、CD的中点，求证：平面AED_平面A1FD.类型三利用空间向量求角例3如图所示，长方体ABCD-ABCD中，A*16,BC=10,AA=8,点E,F分别在AB,DC上，AE=DF=4.过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.m匚A(1)在图中画出这个

6、正方形(不必说明画法和理由)；(2)求直线AF与平面a所成角的正弦值.反思与感悟用向量法求空间角的注意点0° < 0 <90° ,需找到两异面直线的方向向(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为量，借助方向向量所成角求解.(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面a所成的角0,先求这个平面a的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cosn,a，再利用公式sin0=|cosn,a|,求(3)二面角：如图，有两个平面”与3,分别作这两个平面的法向量ni与n2,则平面a3所成的角跟法向量m与2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.跟踪训练3如

7、图，在几何体ABCD小，四边形ABCO矩形，AB，平面BECBELECAB=BE=EG=2,G,F分别是线段BEDC的中点.(1)求证：GF/平面ADE(2)求平面AEF与平面BEO成锐二面角的余弦值.当堂训练11.已知空间四边形ABCDG是CD勺中点，则AB+2(BNBQ等于()a.AGb.CGc.Bcd.2BC2 .若a=(0,1,1),b=(1,1,0),且(a+入b)，a,则实数入的值是()A.-1B.0C.1D.23 .已知向量a=(4-2mim-1,m-1)与b=(4,22m,22m)平行，则m=.4 .已知平面&经过点O0,0,0),且e=(1,1,1)是“的一个法向量，

8、Mx,V,z)是平面a内任意一点，则X,V，z满足的关系式是.5 .已知空间三点A(2,0,2),B(-1,1,2),Q3,0,4),设2=雄b=AC若|c|=3,且c/BC求向量c；(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.L规律与方法1解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.提醒：完成作业第三章章末复习课4名校名师推荐石小二合奈相析知识梳理知识点一a±(1a2(i=0w=kv,kCRa±b|a2b|a2*a2b=

9、0li2v=0-!-|a|b|a|口I科2v|U|v|题型探究例1解析容易推出SSfe+S>Sb=B。降0,所以正确；又因为底面abc比边长为1的正方形，SA=SB=SC=SD=2,所以S2SB=2222cosZASBS(2SD=2222cosZCSD而/ASB=/CSD于是SA?SB=S(2SD因此正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是.跟踪训练1解连接AN则Mn=*AK|由已知ABCO平行四边形，故AC=AB+AD=a+b,又M分AC成的比为最17( a+ b).3由已知，N分人似的比为2,故->>->->->1->ANhAADNhAD-ND=

10、AD-0D31="(c+2b).3于是Mn=MmAN11=-3(a+b)+3(c+2b)1=-(-a+b+c).例2证明如图，以D为坐标原点，分别以DQDADP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设 DG= a, PD= b,则 D(0, 0, 0) , Qa, 0, 0) , Ra, a, 0),a bR0, 0, b), E(0, 2, 2)-士_a b> , DE= (0, 2, 2八 DB- (a, a, 0).DE -2 n=0, 设平面EBD勺一个法向量为n=(x, v, z),则SDB -2 n=0,，1a令 x=1,得 n = (1 , 1, b),

11、因为Pb n=(a, 0, b)2(1 , 1, 3 = 0,所以电n,故PC/平面EBD(2)由题意得平面 PDC勺一个法向量为DA= (0, a, 0),， 、 > ， 、又P5(a, a, b), PC= (a, 0, b),设平面PBC勺一个法向量为 f (X1, y1, Z1),PB2 m= 0,晟+ay1 bz1= 0,则即,、电 f0,aX1bZ1=0,一 *a. a得 y1 = 0,令 X1=1,则 Z1 = r,ba所以 m (1 , 0, 3),因为血 m (0 , a, 0)2(1 , 0, j =0,所以DAl e即平面 PBCL平面PCD跟踪训练2证明如图，建立

12、空间直角坐标系Dxyz0,、ax+ ay= 0.设正方体棱长为1,则Ef, 1, 2)D(0, 0, 1),A(1 , 0, 0),FO, 1 0.- da=(1 , 0, 0)= dA, DE= H, 1, 2 ；, 5>= jo,Z2)分别是平面 AEDF口 AFD的一个法向量，12， 1!.设m (X1 , y1 , Z1), n=(X2, y2,n2 DA= 0, 由S 一n2 DE= 0,Xi = 0,得1X1 + y1 + Z1= 0.令 y1=1,得 n (0 , 1, - 2).n2 DA= 0,又由 一 n2 DF= 0,X2= 0,得15y2Z2=0.令 Z2=1,得

13、 n=(0 , 2, 1) .n2 n=(0, 1, -2)2(0 ,2, 1) = 0,m±n,故平面 AEDL平面 AFD.例3解(1)交线围成的正方形 EHGF：口图所示,(2)作EMLAB,垂足为M则A阵AE=4,EM=AA=8.因为EHG的正方形，所以EH=EF=BG=10.于是MH=4eHEM=6,所以AH=10.7名校名师推荐以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),RO,4,8),Ffe=(10,0,0),bfe=(0,-6,8).n2 FE=O,flOx=O,设n=(x,

14、y,z)是平面EHG用勺法向量，则i即1In2Ffe=0,-6y+8z=0,所以可取 n= (0 , 4, 3).又 AF=(10, 4, 8),故 |cos <n,| n2 丽 4J5I n| 同所以AF与平面EHG所成角的正弦值为室.跟踪训练3方法一证明如图，取AE的中点H,连接HQHQ又G是BE的中点，1所以GH/AB且GH=-AB又F是CD的中点，1所以D已CD由四边形ABC匿矩形，得AB/CDAB-CD所以GH/DF,且GhkDE从而四边形HGF比平行四边形，所以GF/DH又DHP平面ADEGF?平面ADR所以GF/平面ADE解如图，在平面BECft,过B点作BQIEC因为BH

15、CE所以BQLBE又因为ABL平面BEC所以AB±BEABLBQ以B为原点，分别以BE,BQBA勺方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为ABL平面BEC所以瀛=(0,0,2)为平面BEC的法向量.设n=(x,y,z)为平面AEF的法向量.一又AE=(2,0,2),AF=(2,2,1),2x-2z=0,得，2x+ 2y- z = 0.n2Ae=0,I：、n2AF=0,取z=2,得n=(2| n2 BA 42 | = J±=后-=可，所以平面 AEF与平面BEO成锐二面角的余弦._.2333| n|2| BA从而|cosn,§A>2值为.如图，取AB中点M连接MG MF3方法二(1)证明又G是BE的中点，可知GM/AE又AE?平面ADEGM平面ADE所以GM平面ADE在矩形ABCW,由MF分别是ABCD的中点得MF/AD又AD?平面ADEMF?平面ADE所以MF/平面ADE又因为GMPMF=MGM平面GMFMF?平面GMF所以平面GMH平面ADE因为GF?平面GMIF所以GF/平面ADE(2)同方法一.当堂训练1