高斯-克吕格直角坐标系

1、高斯-克吕格投影大地坐标系是大地测量的基本坐标系。常用于大地问题的细算，研究地球形状和大小，编制地图，火箭和卫星发射及军事方面的定位及运算，若将其直接用于工程建设规划、设计、施工等很不方便。所以要将球面上的大地坐标按一定数学法则归算到平面上，即采用地图投影的理论绘制地形图，才能用于规划建设。高斯克吕格平面直角坐标系是投影坐标系的一种，根据我国的地理情况，为建立地形图的测量控制和城市、矿山等区域性的测量控制，早在1952年决定，采用高斯克吕格平面直角坐标系。重点：1 高斯投影概念、投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系2 高斯平面直角坐标系的建立3 坐标方位角的定义、性质

2、与反算难点：l 投影带的划分、6º带与3º带的划分及其关系2 坐标方位角的定义、性质与反算1 高斯克吕格投影的形成1.1 为什么要投影n 参考椭球面是不可展曲面n 不便于地图的制作、使用和保管n 不便于地图应用中的计算1.2 什么是投影n 按一定的数学法则将参考椭球面上的点、线、图形化算到平面上的过程。1.3 投影变形n 长度变形、角度变形、面积变形1.4 地图投影的种类n 按投影面：方位投影, 圆锥投影, 圆柱投影n 按投影变形：等角投影 等积投影 任意投影（等距投影）n 按投影面与参考椭球的位置关系：n 切、割 横、纵、斜1.5 地图投影的选择n 依国土的位置、形状和地

3、图的用途选择投影方式。n 我国基本比例尺地形图投影选择标准:n 投影后保持角度不变n 长度变形不能超过一定限度n 小范围内图形保持相似2 高斯投影(等角横切椭圆柱投影）2.1 高斯投影的基本概念地球是椭球面，是不可展曲面，无论如何选择投影函数，椭球面上的元素，投影到平面上，都会产生变形（角度、长度、面积）。高斯是德国杰出的数学家、测量学家。他提出的横椭圆柱投影是一种正形投影。它是将一个横椭圆柱套在地球椭球体上，如下图所示：椭球体中心O在椭圆柱中心轴上，椭球体南北极与椭圆柱相切，并使某一子午线与椭圆柱相切。此子午线称中央子午线。然后将椭球体面上的点、线按正形投影条件投影到椭圆柱上，再沿椭圆柱N、

4、S点母线割开，并展成平面，即成为高斯投影平面。在此平面上：2.2 高斯投影变形规律中央子午线是直线，其长度不变形，离开中央子午线的其他子午线是弧形，凹向中央子午线。离开中央子午线越远，变形越大。投影后赤道是一条直线，赤道与中央子午线保持正交。离开赤道的纬线是弧线，凸向赤道。 投影前后的角度保持不变，且小范围内的图形保持相似。具有对称性。面积有变形。2.3 坐标系的定义：在投影面上，中央经线和赤道的投影都是直线，并且以中央经线和赤道的交点作为坐标原点，以中央经线的投影为纵坐标，以赤道的投影为横坐标，这就形成了高斯平面直角坐标系。2.4 分带投影：高斯投影可以将椭球面变成平面，但是离开中央子午线越

5、远变形越大，这种变形将会影响测图和施工精度。为了对长度变形加以控制，测量中采用了限制投影宽度的方法，即将投影区域限制在靠近中央子午线的两侧狭长地带。这种方法称为分带投影。投影带宽度是以相邻两个子午线的经差来划分。有6°带、3°带等不同投影方法。分带投影示意图通常按经线每隔6°进行分带投影。由0°经线起每隔经差6°自西向东分带，依次编号1、2、3。6°带的带号N和中央经线L的关系为：L=6N-3。已知某点大地经度L，可按下式计算该点所属的带号：n=L6,有余数时，为n的整数商+1。为了进一步限制变形，可以采用3°投影分带。3&

6、#176;带和6°带的中央经线重合，6°带的中央经线和分带经线均是3°带的中央经线。3°带的带号n和中央经线L的关系为：L=3n。中国用3°带划分的范围是 2445，用6°带划分的范围是 1323。2.5 坐标系中的XY取值2.6 高斯克吕格平面直角坐标系的形成X轴中央子午线的投影Y'轴赤道投影XY' ；A(X、Y')Y'称为横坐标的自然值x值无论在哪一带都是由赤道起算的自然值。为了使Y'不出现负值，Y轴西移500公里，形成XOY坐标系。B (X,Y) Y=带号+ Y' + 500000

7、米 Y 称为横坐标的通用值例1：已知:yB=18 267135m(通用坐标)求：B点的自然坐标值Y'(6带划分)解：Y'= Y-500000=267135-500000=-232865m例2：6°带第20带中，y=-200.25m，应写为20499799.75m。例3：AB点自然坐标如下：A: X =50000.00 m Y =-10000.00mB: X =50000.00 m Y =10000.00m转换成通用坐标A: X=50000.00 m Y= 19 490000.00 mB: X=50000.00 m Y= 19 510000.00 m2.7 换带计算1

8、目的使带边沿附近控制点化算到同一坐标系统中，以便相互利用；使3°、 6°或任意带坐标之间实现共享。2 计算过程由已知X、Y、L0应用高斯投影反算公式求得L、B；由L、B、L 0应用高斯投影正算公式求得X、Y。2.8 投影带的重叠1、为什么要重叠采用分带投影，虽限制了长度变形，但相邻带坐标系相互独立，带边沿地形图无法拼接使用，控制点不能相互利用。为此，需用投影带重叠的方法解决。2、重叠规定西带向东带延伸30，东带向西带延伸7.5 或15 重叠范围内的地形图有两套坐标网格，控制点有两套坐标。3 方位角及其相互关系3.1方位角的定义：在高斯平面内，由基准方向（北方向）顺时针量至某

9、直线的夹角，称为该直线的方位角。依据基准方向（北方向）的不同选择，方位角有真方位角、坐标方位角和磁方位角三种。3.2 真方位角基准方向：子午线北方向来源：天文观测、陀螺经纬仪测定和计算求得。特点：同一直线上各点的真方位角不等。3.3 坐标方位角基准方向：坐标纵轴方向特点：1、正反方位角相差180º2、同一直线上各点坐标方位角相等来源：由坐标反算或角度传递得到。用途：控制网起算数据和坐标推算。坐标方位角反算步骤:已知XA、 YA、 XB、YB   求 AB（用计算机） <1> 计算坐标增量  X =XB-XA，Y =YB-YA<2>

10、 计算 TAN -1(Y / X )<3> 判断X<0? 是 = + 180º <4> 判断<0?是 = + 360º 特殊情况：1、 X 0， Y>0, = 90º2、 X 0， Y<0, =270º3、 X 0， Y0, 不存在3.4 磁方位角基准方向：磁子午线北方向来 源：带磁针装置的经纬仪测定。特 点：1、同一直线上各点的磁方位角不等。2、易受磁性物质干扰，精度不高。用 途：用于概略指示方位。3.5 方位角的相互关系偏角三北方向之间的夹角称为偏角。偏角有子午线收敛角、磁偏角、磁坐偏角三种。子午线收敛

11、角： 真北与坐标北方向之间的夹角。东偏为正，西偏为负。磁偏角：真北与磁北方向之间的夹角。东偏为正，西偏为负。磁坐偏角：坐标北方向与磁北方向之间的夹角。东偏为正，西偏为负。3.6 方位角、偏角的关系AAM M M3.7 三北方向图地图中央一点上的三个基准方向的关系图。其中： 为四个图廓点平均值，为图内实测点平均值，为计算得到。4. 理解地理坐标系（Geographic coordinate system）地理坐标系统，是以经纬度为地图的存储单位的。很明显，Geographic coordinate system是球面坐标系统。我们要将地球上的数字化信息存放到球面坐标系统上，如何进行操作呢？地球是

12、一个不规则的椭球，如何将数据信息以科学的方法存放到椭球上？这必然要求我们找到这样的一个椭球体。这样的椭球体具有特点：可以量化计算的。具有长半轴，短半轴，偏心率。以下几行便是Krasovsky_1940椭球及其相应参数。Spheroid: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 6378245.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening（扁率）: 298.300000000000010000然而有了这个椭球体以后还不够，还需要一个大地基准面将这个椭球定位。在坐标系

13、统描述中，可以看到有这么一行：Datum: D_Beijing_1954表示，大地基准面是D_Beijing_1954。有了Spheroid和Datum两个基本条件，地理坐标系统便可以使用。完整参数：Alias:Abbreviation:Remarks:Angular Unit: Degree (0.017453292519943299)Prime Meridian（起始经度）: Greenwich (0.000000000000000000)Datum（大地基准面）: D_Beijing_1954Spheroid（参考椭球体）: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 6

14、378245.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening: 298.3000000000000100002、接下来便是Projection coordinate system（投影坐标系统），首先看看投影坐标系统中的一些参数。Projection: Gauss_KrugerParameters:False_Easting: 500000.000000False_Northing: 0.000000Central_Meridian: 117.000000Scale_Factor: 1

15、.000000Latitude_Of_Origin: 0.000000Linear Unit: Meter (1.000000)Geographic Coordinate System:Name: GCS_Beijing_1954Alias:Abbreviation:Remarks:Angular Unit: Degree (0.017453292519943299)Prime Meridian: Greenwich (0.000000000000000000)Datum: D_Beijing_1954Spheroid: Krasovsky_1940Semimajor Axis: 637824

16、5.000000000000000000Semiminor Axis: 6356863.018773047300000000Inverse Flattening: 298.300000000000010000从参数中可以看出，每一个投影坐标系统都必定会有Geographic Coordinate System。投影坐标系统，实质上便是平面坐标系统，其地图单位通常为米。那么为什么投影坐标系统中要存在坐标系统的参数呢？这时候，又要说明一下投影的意义：将球面坐标转化为平面坐标的过程便称为投影。好了，投影的条件就出来了：a、球面坐标b、转化过程（也就是算法）也就是说，要得到投影坐标就必须得有一个“拿来

17、”投影的球面坐标，然后才能使用算法去投影！即每一个投影坐标系统都必须要求有Geographic Coordinate System参数。3、关于北京54和西安80是我们使用最多的坐标系先简单介绍高斯-克吕格投影的基本知识，了解就直接跳过，我国大中比例尺地图均采用高斯-克吕格投影，其通常是按6度和3度分带投影，1:2.5万1:50万比例尺地形图采用经差6度分带，1:1万比例尺的地形图采用经差3度分带。具体分带法是：6度分带从本初子午线开始，按经差6度为一个投影带自西向东划分，全球共分60个投影带，带号分别为160；3度投影带是从东经1度30秒经线开始，按经差3度为一个投影带自西向东划分，全球共分

18、120个投影带。为了便于地形图的测量作业，在高斯-克吕格投影带内布置了平面直角坐标系统，具体方法是，规定中央经线为X轴，赤道为Y轴，中央经线与赤道交点为坐标原点，x值在北半球为正，南半球为负，y值在中央经线以东为正，中央经线以西为负。由于我国疆域均在北半球，x值均为正值，为了避免y值出现负值，规定各投影带的坐标纵轴均西移500km，中央经线上原横坐标值由0变为500km。为了方便带间点位的区分，可以在每个点位横坐标y值的百千米位数前加上所在带号，如20带内A点的坐标可以表示为YA=20 745 921.8m。在Coordinate SystemsProjected Coordinate Sys

19、temsGauss KrugerBeijing 1954目录中，我们可以看到四种不同的命名方式：Beijing 1954 3 Degree GK CM 75E.prjBeijing 1954 3 Degree GK Zone 25.prjBeijing 1954 GK Zone 13.prjBeijing 1954 GK Zone 13N.prj对它们的说明分别如下：三度分带法的北京54坐标系，中央经线在东75度的分带坐标，横坐标前不加带号三度分带法的北京54坐标系，中央经线在东75度的分带坐标，横坐标前加带号六度分带法的北京54坐标系，分带号为13，横坐标前加带号六度分带法的北京54坐标系，

20、分带号为13，横坐标前不加带号    在Coordinate SystemsProjected Coordinate SystemsGauss KrugerXian 1980目录中，文件命名方式又有所变化：Xian 1980 3 Degree GK CM 75E.prjXian 1980 3 Degree GK Zone 25.prjXian 1980 GK CM 75E.prjXian 1980 GK Zone 13.prj西安80坐标文件的命名方式、含义和北京54前两个坐标相同，但没有出现“带号+N”这种形式，为什么没有采用统一的命名方式？让人看了有些费解。高斯-克吕格(Gauss-Kruger)投影与UTM投影（Universal Transverse Mercator，通用横轴墨卡托投影）都是横轴墨卡托投影的变种，目前一些国外的软件或国外进口仪器的配套软件往往不支持高斯-克吕格投影，但支持UTM投影，因此常有把UTM投影当作高斯-克吕格投影的现象。从投影几何方式看，高斯-克吕格投影是 “等角横切圆柱投影”，投影后中央经线保持长度不变，即比例系数为1；UTM投影是“等角横轴割圆柱投影”，圆柱割地球于南纬80度、北纬84度两条