冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论

1、精选文档冲激信号(t)的三种定义与相关性质的简单讨论 信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： 持续时间短. 取值极大. 冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作函数或狄拉克（Dirac）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号.

2、如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为，高为，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小，则脉冲的幅度逐渐增大，当时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即： （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A则表示一个冲击强度为E倍单位值得函数，描述为A=E(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E。(a)逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号 图1-1 也可以用抽样函数的极限来定义(t)。有 （1-2）对式（1-2）作如下说明： Sa(t)是抽样信号，表达式为 （1-3）图 1-2其波形

3、如图1-2所示，Sa(t)1/t,1/t随t的增大而减小，sint是周期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±,±2,···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其点 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”，其余的衰减部分称为“旁瓣”。时，并且有： 因其是偶函数有 （1-4）由式（1-4）知 （1-5） 图 1-3式（1-5）表明，曲线下的面积为1，且k越大，函数的振幅越大，振荡频率越高，离开原点时，振幅衰减越快，当k时，即得到冲激函数，波形表示如图1-3. 实际上，脉冲函数的选取并不限于矩形脉冲与抽样函数，其

4、他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极限，也可以变为冲激函数，作为冲激函数的定义。相应可以表示为： 三角形脉冲： （1-6）双边指数脉冲： （1-7）钟形脉冲： （1-8）这些脉冲波变为相应的冲激函数，如图1-4(a)、(b)、(c). （a）三角脉冲（b）指数脉冲（c）钟形脉冲图 1-4定义二：狄拉克(Dirac)定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为 （2-1）这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的，因此把函数称为狄拉克函数。现给出函数三个有用的特性：性质一：展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰，时间缩放会改变其面积。由于(t)的面积为1，时间压缩的冲激信号(at)的面积为，由于冲激信号(at)仍在

5、t=0处发生，所以它可以被看做一个未压缩的冲激，即有。由于时间位移不会影响面积的大小，所以有 （2-2）式（2-2）可以用定积分中的变量代换法加以证明。特别的当时，式（2-2）变为 (2-3)从式（2-3）可以看出，(t)是一个偶信号。性质二：抽样特性（筛选性）. 用冲激函数乘以任意连续信号，就可以得到一个冲激函数，它的强度等于在处的值。即筛选出了。从而有 （2-4）类似有 （2-5）式（2-4）和式（2-5）表明：当连续时间函数与单位冲激信号或相乘，并在时间内积分，可以得到在处的函数值。性质三：位移特性. 性质一和性质二表明乘积的面积等于，也就是说移除了在处的值。 （2-6）值得指出的是，冲

6、激信号与阶跃信号的关系： （2-7） （2-8）的狄拉克定义也可以表示为 （2-6）上式与式（2-1）一样都表示，处，是一个间断点，但作为数学抽象式，式（2-1）中采用的约束条件，已经概括了间断点得邻域内的积分，反映出时的趋势，因此采用（2-1）的描述更合适。另一方面，狄拉克-函数的定义在数学上也是不严格的。如函数也满足式（2-1） 其中: 为冲激偶信号，但并不是单位冲激信号。为了给出奇异函数的严格定义，我们先引入分配函数的概念。概念引出（1950年，L. Schwartz）电压v(t) 表示方法： 分析说明： 读数并不是直接待测物理量本身，而是待测函数v(t)与测试仪表特性h(t)二者综合结果 电压v(t)的存在和性质借助h(t)来体现（测量系统是检测电压v(t)特性的手段），故称h(t)为检试函数。下面给出分配函数定义：定义三：用分配函数定义.指定给的值为.通过上面所给出的几种定义和性质，我们可以总结推导关于的一些基本运算特性。（1） 相加: (3-1)（2） 相乘: (3-2)（3）反褶: （3-3）证明参见性质一.（4）尺度: （3-4）（5）时移: （3-5）证明参见性质二.（6）卷积:（3-6） 仅对i)进行如下证明：（7）复合函数： （3-7）证明：用泰勒级数展开，忽略高次项。复合函数形式的 可化简为位于处的一系列冲激函数的叠加，强度为。参考文献：1 樊尚春，周浩敏