第17讲矩形、菱形、正方形

1、第17讲矩形、菱形、正方形考试目标锁定考纲要求备考指津1.掌握平行四边形与矩形、菱形的关系2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质3.灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中基础自主导学考点一矩形的性质与判定1定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2性质：(1)矩形的四个角都是直角(2)矩形的对角线相等(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是对角线的交点3判定：(1)有三个角是直角的四边形是矩形(

2、2)对角线相等的平行四边形是矩形考点二菱形的性质与判定1定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2性质：(1)菱形的四条边都相等(2)菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角3判定：(1)对角线互相垂直的平行四边形是菱形(2)四条边都相等的四边形是菱形考点三正方形的性质与判定1定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形2性质：(1)正方形的四条边都相等，四个角都是直角(2)正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角(3)正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心3判定：(1)一组邻边相

3、等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形(2)一组邻边相等的矩形是正方形(3)对角线互相垂直的矩形是正方形(4)有一个角是直角的菱形是正方形(5)对角线相等的菱形是正方形1如图所示，已知ABCD，下列条件：ACBD，ABAD，12，ABBC中，能说明ABCD是矩形的有_(填写序号)2如图，在菱形ABCD中，AB15，ADC120°，则B，D两点之间的距离为()A15 BC7.5 D153下列命题中是真命题的是()A对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B有两边和一角对应相等的两个三角形全等C两条对角线相等的平行四边形是矩形D两边相等的平行四边形是菱形4下面的图形中，既是轴对称图形，又是

4、中心对称图形的是()A角 B任意三角形C矩形 D等腰三角形5如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，AOF90°.求证：BECF.规律-方法探索一、矩形的性质与判定【例1】 如图，ABC中，ABAC，AD，AE分别是BAC和BAC外角的平分线，BEAE. (1)求证：DAAE；(2)试判断AB与DE是否相等，并证明你的结论分析：第(1)题利用邻补角的角平分线互相垂直易证；第(2)题中，AB与DE是四边形ADBE的对角线，可考虑利用矩形的判定证四边形ADBE是矩形即可解：(1)证明：AD，AE分别平分BAC，BAF，BADBAC，BAEBAF.BAC

5、BAF180°，BADBAE(BACBAF)×180°90°，即DAE90°.DAAE.(2)ABDE.理由是：ABAC，AD平分BAC，ADBCADB90°.BEAE，AEB90°.DAE90°，四边形ADBE是矩形ABDE.矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.二、菱形的性质与判定【例2】 如图，AD

6、EF，点B，C在AD上，12，BFBC(1)求证：四边形BCEF是菱形；(2)若ABBCCD，求证：ACFBDE.证明：(1)ADFE，FEB2.12，FEB1.BFEF.BFBC，BCEF.四边形BCEF是平行四边形又BFBC，BCEF是菱形(2)EFBC，ABBCCD，ADFE.四边形ABEF，四边形CDEF均为平行四边形AFBE，FCED又AC2BCBD，ACFBDE(SSS)菱形的定义既可作为性质，也可作为判定证明一个四边形是菱形的一般方法是：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形如图，在菱形ABCD中

7、，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6.过D点作DEAC交BC的延长线于点E. (1)求BDE的周长；(2)点P为线段BC上的点，连接PO并延长交AD于点Q，求证：BP=DQ.三、正方形的性质与判定【例3】 如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HAEBFCGD，连接EG，FH，交点为O.(1)如图，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图的方式拼接成一个四边形若正方形ABCD的边长为3 cm，HAEBFCGD1 cm，则图中阴影部分的面积为_c

8、m2.分析：根据题目的条件可先证AEH，BFE，CGF，DHG四个三角形全等，证得四边形EFGH的四边相等，然后由全等再证一个角是直角解：(1)四边形EFGH是正方形证明：四边形ABCD是正方形，ABCD90°，ABBCCDDAHAEBFCGD，AEBFCGDH.AEHBFECGFDHG.EFFGGHHE.四边形EFGH是菱形由DHGAEH，知DHGAEH.AEHAHE90°，DHGAHE90°.GHE90°.菱形EFGH是正方形(2)1证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：(1)“平行四边形”+“一组邻边相等”+“一个角为直角”(定义法)；(2)

9、“矩形”“一组邻边相等”；(3)“矩形”“对角线互相垂直”；(4)“菱形”“一个角为直角”；(5)“菱形”“对角线相等”知能优化训练1(2012山东滨州)若菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角的度数比为()A31 B41C51 D612(2012江苏泰州)下列四个命题：一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形其中真命题共有()A1个 B2个 C3个 D4个3(2011江苏南京)如图，菱形ABCD的边长是2 cm，E是AB的中点，且DEAB，则菱形ABCD的面积

10、为_ cm2. 4(2011黑龙江哈尔滨)已知正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP1，则tanBPC的值是_5(2012四川南充)矩形ABCD中，AB2AD，E为AD的中点，EFEC交AB于点F，连接FC(1)求证：AEFDCE；(2)求tanECF的值1下列说法不正确的是()A一组邻边相等的矩形是正方形B对角线相等的菱形是正方形C对角线互相垂直的矩形是正方形D有一个角是直角的平行四边形是正方形2如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOB60°，AB2，则矩形的对角线AC的长是()A2 B4 C2 D43如图所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DEAB，垂足

11、为E，sin A，则下列结论正确的个数有()DE3 cmBE1 cm菱形的面积为15 cm2BD2 cmA1个 B2个 C3个 D4个4如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD6，则AF等于()A4 B3C4 D85如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AEAC，则BCE的度数是_6我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形若一个四边形ABCD的中点四边形是一个矩形，则四边形ABCD可以是_(写出一个你认为正确的结论即可)7如图，在矩形ABCD中，AB3，AD4，P是AD上不与A，D重合的一动点，PEAC

12、，PFBD，E，F为垂足，则PEPF的值为_8如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MPNP的最小值是_9如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AFBD，连接BF. (1)求证：D是BC的中点(2)如果ABAC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论参考答案基础自主导学自主测试12.A3.C4.C5证明：如题图，四边形ABCD为正方形，ABBC，ABCBCD90°.EABAEB90°.EOBAOF90°，FBCAEB90°.EABFBC.A

13、BEBCF.BECF.规律方法探究变式训练解：(1)因为四边形ABCD为菱形，所以BEAD，又ACDE，故四边形ACED为平行四边形，则有ABADBCCE5，所以BEBCCE10，ACDE6，又OAAC×63，AB5，OA垂直于OB，所以在RtAOB中有AB2OB2OA2.所以OB4BD，BD8，故BDE的周长为BDDEBE861024.(2)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以OBOD，BEAD，则DBCADB，又BOPDOQ，所以BOPDOQ，故有BPDQ.知能优化训练中考回顾1C2.B 324.2或5(1)证明：在矩形ABCD中，AD90°.EFEC，FEC90°，FEACED90°.FEAEFA90°，EFACED.AEFDCE.(2)解：AB2AD，E为AD的中点，AEADABCD.AEFDCE，.在RtCEF中，ta