第2章 2.1　柯西不等式

1、.2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义.2.通过运用柯西不等式解决一些简单问题.根底·初探教材整理1柯西不等式1.柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，那么aabba1b1a2b22.2.柯西不等式的向量形式：设，为平面上的两个向量，那么|·|.3.柯西不等式的三角不等式：|.4.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，an，b1，b2，bn为实数，那么aaabbb|a1b1a2b2anbn|，其中等号成立当某bj0时，认为aj0，j1,2

2、，n.教材整理2参数配方法利用二次三项式的判别式证明柯西不等式的方法称为参数配方法.不等式xy9对任意的正实数x，y恒成立，那么正实数a的最小值为A.2B.4C.6D.8【解析】由柯西不等式可求出xy12，当x1，y时，xy的最小值是12，故只需129，即a4即可.【答案】B质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用柯西不等式证明不等式a，b，x，y都是正数，且ab1，求证：ax1bx2bx1ax2x1x2.【精彩点拨】假如对不等式左端直接用柯西不等式，得不到所要证明的结论.假设把第二个小括号内

3、的两项对调一下，再应用柯西不等式即可得证.【自主解答】a，b，x，y大于0，ax1bx2bx1ax2ax1bx2ax2bx1ab2ab2x1x2.又因为ab1，所以ab2x1x2x1x2，其中等号当且仅当x1x2时成立.所以ax1bx2bx1ax2x1x2.1.利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的构造特征，必要时，需要将数学表达式适当变形.2.变形往往要求具有很高的技巧，必须擅长分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到打破口.再练一题1.设x1，x2，xn为正数，求证：x1x2xnn2.【证明】由柯西不等式

4、得x1x2xnn2，x1x2xnn2.利用柯西不等式求最值设xyz1，求函数u2x23y2z2的最小值.【精彩点拨】由xyz1以及u2x23y2z2的形式，联想柯西不等式，构造因式解决问题.【自主解答】由xyz·x·y1·z.根据柯西不等式，有·2x23y2z22x23y2z2，因此1xyz22x23y2z2，u2x23y2z2，当且仅当x，y，z时等号成立.x，y，z代入xyz1，得x，y，z时，等号成立.故函数u2x23y2z2的最小值是.1.利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要擅长对目的函数配凑，保证出现常数结果.2.常用的配凑的

5、技巧有：1巧拆常数；2重新安排某些项的次序；3适当添项；4适当改变构造，从而到达运用柯西不等式求最值.再练一题2.假设实数x，y，z满足x2y2z29，那么x2y3z的最大值是_.【解析】由柯西不等式得x2y3z212232·x2y2z214×9，故x2y3z3，所以x2y3z的最大值是3.【答案】3运用柯西不等式求参数的取值范围正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围.【精彩点拨】“恒成立问题需求的最大值，设法应用柯西不等式求最值.【自主解答】x>0，y>0，z>0，且xyzxyz，1.又，当且仅当xyz时，即xyz时等号成立，的最大

6、值为.故恒成立时，应有.因此的取值范围是.此题也是通过构造转化应用柯西不等式，由此可见，应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件纯熟掌握，然后根据题目的特点“创造性的应用定理.再练一题3.函数fx2.假设关于x的不等式fx|m2|恒成立，务实数m的取值范围.【解】由柯西不等式得222212·|22|25，所以fx25.当且仅当，即x4时，等号成立.又不等式fx|m2|恒成立，所以|m2|5，解得m7或m3.故m的取值范围为，37，.探究共研型柯西不等式的应用探究1在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以写成吗？【提示】不可以.当b·d0时，柯西不等式成立，但不成

7、立.探究2在平面直角坐标系中，假设ABC的三个顶点分别为Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3.那么二维柯西不等式的三角形式又是怎样表达的呢？【提示】根据二维柯西不等式的几何意义，在ABC中，三角形式的柯西不等式为.探究3在一般形式的柯西不等式中，等号成立的条件记为aikbii1,2,3，n，可以吗？【提示】不可以.假设bi0而ai0，那么k不存在.探究4利用柯西不等式时，常用的变形技巧有哪些？【提示】柯西不等式形式优美，有重要的应用价值，应用柯西不等式解题的关键是恰到好处的变形，常用的变形技巧有：1等价变形，将要解决的不等式问题作等价变形，构造出几个实数的平方和与另n个实数平方和的乘积的形

8、式.2配辅助式，为了应用柯西不等式，有时要根据所证不等式的构造特征，结合柯西不等式等号成立的条件，配凑适当的辅助式，使问题获证.3适当换元，有时根据所证不等式的构造特征适当换元，转化为容易应用柯西不等式的构造特征，使问题简捷获解.4配系数，为了应用柯西不等式沟通条件与结论之间的联络，有时要通过巧配系数来完成.3x22y26，求证：2xy.【精彩点拨】将不等式2xy的左边凑成柯西不等式的形式，然后证明.【自主解答】2xy·x·y.由柯西不等式得2xy2x2y23x22y26×11，于是2xy，当且仅当，即时等号成立.再练一题4.x2y1，那么x2y2的最小值为_.【

9、解析】1x2y，1x2y2122x2y2.当且仅当x，y时，取等号，x2y2min.【答案】构建·体系1.设x，yR，且2x3y13，那么x2y2的最小值为A.B.169C.13D.0【解析】2x3y22232x2y2，x2y213.【答案】C2.2x2y21，那么2xy的最大值是A.B.2 C.D.3【解析】2xy·x1×y ，当且仅当yx，即xy时等号成立.【答案】C3.假设a，bR，且a2b210，那么ab的取值范围是 【导学号：38000032】A.2，2B.2，2C.，D.，【解析】a2b21212ab2，|ab|2，ab2，2.【答案】A4.设a，b，c为正数，那么abc的最小值为_.【解析】a，b，c为正数，abc222121，当且仅当kk>0时等号成立.故abc的最小值是121.【答案】