函数的最大值与最小值(二)

1、课题：3. 8函数的最大值与最小值二教学目的：1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；2初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题+教学重点：解有关函数最大值、最小值的实际问题. 教学难点：解有关函数最大值、最小值的实际问题. 授课类型：新授课.课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪*教学过程：一、复习引入：1极大值： 一般地，设函数f(x)在点X0附近有定义，如果对 X0附近的所有 的点，都有f(x) V f(X 0),就说f(xo)是函数f(x)的一个极大值，记作 y极大值 =f(x 0), xo是极大值点"2. 极小值：一般地，设函数f(x)在xo附近有定义，如果对 xo

2、附近的所有的 点，都有f(x) > f(x o).就说f(xo)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x o), xo 是极小值点+3. 极大值与极小值统称为极值-4. 判别f(xo)是极大、极小值的方法：假设X。满足f (Xo)o，且在Xo的两侧f(x)的导数异号，那么X。是f(x)的极值点，f(Xo)是极值，并且如果 f(X)在Xo两侧满足“左正右负，那么xo是f (x)的极大值点，f (xo)是极大值；如果f(X)在xo两侧满足“左负右正"，那么x是f (x)的极小值点，f (xo )是极小值+5. 求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数

3、f'(X)+(2)求方程f' (x)=o的根用函数的导数为o的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格.检查f' (X)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值6. 函数的最大值和最小值：在闭区间a,b上连续的函数 f (x)在a,b上必直函数的最值是比较整个定义域的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数f (x)在闭区间a,b上连续，是f (x)在闭区间a,b上有最大值与最小值的充分条件而非必要

4、条件(4)函数在其定义区间上 的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个*7.利用导数求函数的最值步骤 ：求f (x)在(a, b)的极值；将f (x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a,b上的最值.+、讲解例:例1在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边 沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的 容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为 xcm,那么箱高h 60_ cm,得箱子容积2V(x)x2h60x23 x(0 x 60) 2V (x)60x3x22 (0x60)令V (x)60x3

5、x22=0,解得x=0舍去，x=40,并求得 V(40)=16 000由题意可知，当 x过小接近0或过大接近 60时，箱子容积很小,因此，16 000是最大值一答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解法二：设箱高为 xcm,那么箱底长为(60-2 x)cm，那么得箱子容积2V(x) (60 2x) x(0 x 30) 后面同解法一，略由题意可知，当 x过小或过大时箱子容积很I x小，所以最大值出现在极值点处.事实上，可导函数V(x) x2h2360x x2曲Ef60-2xT鮒J6060-2x60V(x) (60 2x)2x在各自的定义域中都只有个极值点，从图象角度理解

6、即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值.例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才 能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为 h,底半径为R,那么外表积S=2n Rh+2n rR2V由V=n Rh,得h 那么 R2V9 2V 9S(R)= 2 n R一2 + 2 n R= +2 n RRR即h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省S时，它的高与底面半径应怎样选变式：当圆柱形金属饮料罐的外表积为定值 取，才能使饮料罐的容积最大？2提示：2Rh+2R2h=S22RRV(R)= SR2 = 1(S

7、 2 R2)R 1SR R32 R222 2 2V'(R) )=0S 6 R26 R22 Rh 2 R2例3某商品生产本钱 C与产量q的函数关系式为 C=100+4q，价格p与产量1q的函数关系式为 P 25 -q 求产量q为何值时，利润L最大？8分析：利润L等于收入R减去本钱C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出利 润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润.11 2解：收入 R q p q 25 q 25q q ，881 2 1 2利润 L R C 25q - q2(100 4q)-q221q 100 (0 q 100)8 81L -q 2141令L 0,即 一q 21 0,求得

8、唯一的极值点 q 84.4答：产量为84时，利润L最大一三、课堂练习：1函数y=2x3 3x2- 12x+5在】0, 3上的最小值是 .2. 函数f(x)=sin2x x在 ，上的最大值为 ;最小值为 2 23. 将正数a分成两局部，使其立方和为最小，这两局部应分成 和_.2 24. 使接椭圆 务 y2=1的矩形面积最大，矩形的长为 ，宽为.a b5. 在半径为R的圆，作接等腰三角形，当底边上高为时，它的面积最大*答案：1. 15 2. - 3.- a4.、2a、.2b 5.3R2 2 2 2 2四、小结：解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系

9、式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比拟相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单五、课后作业：1. 有一边长分别为8与5的长方形，在各角剪去一样的小正方形，把四边折起作成一个无盖小盒，要使纸盒的容积最大，问剪去的小正方形的边长应为多 少？解：1正方形边长为x,那么 V= 8- 2x) (5 - 2x)x=2(2x3- 13x2+20x)(0<x< )5V' =4(3x2- 13x+10)(0< x< ),V' =0 得 x=12根据实际情况，小盒容积最大是存在的， 当x=1时，容积V取最大值为18.600C2. 一条水渠，断面为等腰梯形，如下列图，在确定断 面尺寸时，希望在断面 ABCD的面积为定值 S时, 使得湿周 匸AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小， 渗透少，求此时的高 h和下底边长b.=2DE + BC, DE=h,BC=b3解：由梯形面积公式，得1迁(AD + BC)h，其中 ADb)h/ C