函数的表示方法

1、函数的概念及表示方法重点、难点：1. 对应、函数、映射2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法那么3. 定义域、值域计算的根本方法4. 计算的根本方法5. 分段函数与复合函数1. 函数设A、B是非空数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集合A中的任 意一个数X,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f： a > B为从集合 A到集合B的一个函数，记作：y=f(x), A .个人收集整理勿做商业用途其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域；与x的值对应的y值叫函数 值，函数值的集合f(x)|x A叫值域。注意构成函数的三要素： 、。 A、B都是非空数集，因此定义域(或值

2、域)为空集的函数不存在。 函数符号f(x)的含义：f(x)表示一个整体，一个函数，而记号“f 可以看做是对“ x 施加某种法那么(或运算)，如f(x) =x2 -2x 3，当x=2时，可看做对“ 2施加了这样的运算法那么：先平方，再减去它与 2的 积，再加上3；当x为某一个代数式(或某一个函数记号)时，那么左右两边的所有x都用同一个代数式(或函数记号)代替，如 f(2x-1) = (2x-1)2 -2(2x-1) 3=g(x)2-2g(x) 3等等。 f (x)与f(a)的区别于联系。f (a)表示当x =a时，函数f (x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在 一般情况下，它是一

3、个变量，f(a)是f(x)的一个特征值。如一次函数f(x)=3x 5 , 当 x =8 时，f(x) =3 8 '' 5 =29 是 -个常量 。 个人收集整理勿做商业用途定义域，在实际问题中受到实际意义的制约。如函数y- x的定义域为x|x_O；圆半径r与圆面积S的函数关系为Smr2的定义域为:r|r 0? 。个人收集整理勿做商业用途例 1 函数 f(x)=3x2 + 5x 2,求 f、f(- 2)、f(a)、f(a+1)2例2函数y=竺与y= 3x是不是同一个函数？为什么？x同一函数的判断：两个函数当且仅当定义域与对应法那么分别相等时，才是同一个函数，这说明：(1) 定义域

4、不同，两个函数也就不同；(2) 对应关系不同，两个函数也是不同；(3) 即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数。因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。例如，y=2x+1与y=x+1个人收集整理勿做商业用途例3判断以下函数f (x)与g (x)是否表示同一个函数，说明理由？A. f ( x ) = (x 1) ；g ( x ) = 1B. f ( x ) = x g ( x ) = Ux2 个人收集整理勿做商业用途C. f ( x ) = x2 ； f ( x ) = (x + 1丫D. f ( x ) = | x | ； g ( x ) = x2 个人收

5、集整理勿做商业用途注意00无意义！2. 区间及写法设a、b是两个实数，且a<b,贝卩：x|a <x< b= a,b叫闭区间；x|a<x<b = (a,b)叫开区间；个人收集整理勿做商业用途x|a <x<b=a,b)、x|a<x<b = (a,b都叫半开半闭区间。符号：读“无穷大；“=读“负无穷大 ；“ +=读“正无穷大区间左端点值要小于区间右端点值；区间符号里面两个字母(或数字)之间 用“，隔开；例4 练习用区间表示：R、x|x > a、x|x>a、x|x < b、x|x<b例5用区间表示：函数y=的定义域，值域是。

6、(观察法)3. 由函数的解析式求定义域f(x)= .x 1 例6求以下函数的定义域(用区间表示)f(x)=/ ；f(x)= 2x=9 ；x -2例 7 f(x) =：应二3x4 ；x 3例8 f (x)=寸口+=； Jx +44.函数的值域f(x)= 9 二x +f (x)二111/x例9求值域(用区间表示)：y=x2-2x 4 ；1x -4y 二一；f (x)二.x2 _ 3x 4 x 3f (x)二x- 2x 3【方法、技巧】求函数值域的方法：(1) 观察法。一些简单的函数，可通过定义域及对应法那么，用观察的方法来确定函数的值域。例10 求以下函数的值域：(1) f(x) =2x 1,x臼

7、,2,3,4,5 1 ; (2) y =七1(2) 配方法。通过函数解析式配方，由非负实数的意义确定函数的值域。例11求函数y =x2 -4x 6的值域解析y =x2 -4x 6定义域为R,是二次函数，首先考虑配方法。函数的定义域为 R,T y =x2 -4x 6 =(x-2)2 2,x，R 时，(x - 2)2 一 0 该函数的 值域为 | y 一2.；=2, ：)(3) 别离常数法。当自变量有一定的取值范围时，利用不等式的性质求出因变量的 取值集合。例12求函数y二红刊仁x乞2)的值域。x +1解析T y=2，又 1 <22< x<3' <3 兰1Ty ，故

8、所求值域 .x 1x 122(4) 换元法。通过换元化简函数解析式，从而顺利地求出函数的值域。例13求函数y =x .21的值域。【较难】2 2解析设ti丹 那么X1且t_0，问题转化为求y-1丄t(t_O)的值域。2 2:y 二t(t 1)2(t _0)，又T t _0,. (t 1)2 _1,.y 值的范围为 y_2 2 2注意辅助元的取值范围，如在本例题中，要确定 t的取值范围，如无视了这一 点，就会错误。5.练习一1. 函数f (x) N(xR)的值域1 +xA. (0,1 )B.(0, 1C.0, 1)D.0, 12. 求函数y =x 2、,x 3的值域23. 求函数八耳匚的值域为x

9、 X 十14. 求函数y = x 一 . 2x -1的值域。5. 函数 f(x) =x2，求 f (x-1);6. 函数f(x1)=x2,求f (x)；(换元法)7. 假设XR,f(x)是y=2-X2,y=x这两个函数中教小者，那么f (x)的最大值A.2B.1C.-1D.无最大值 个人收集整理勿做商业用途8. 假设函数y = f(x)的定义域是x|0vx"，那么y=f(x2)的定义域是A.(-1,0) B.(-1,0 ) U(0,1 )C.(0,1)D.0,1个人收集整理勿做商业用途9. 假设函数y = f(3x-1)的定义域是1,3，那么y=f(x)的定义域是A.1,3B.2,4C.2,8D.3,9个人收集整理勿做商业用途10. 求以下函数的定义域(1) y =2 ；(2) y 匸込.口 ；x 2 y =(x-i厂,x：11. 求函数 y =x2 -4x 6(0 _x ： 5)的值域。2,11)