中考数学系列专题16直角三角形

1、聚焦考点温习理解、直角三角形1.定义有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2性质(1 )直角三角形两锐角互余专题16直角三角形(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半;(3 )在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半3.判定(1 )两个内角互余的三角形是直角三角形(2)三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形二、勾股定理及逆定理1.勾股定理:直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边 c的平方，即：a2+b2=c2;2.勾股定理的逆定理如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形三、直角

2、三角形全等的判定:对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边或“HL)四、互逆命题、互逆定理1.互逆命题如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题2.互逆定理假设一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理名师点睛典例分类考点典例一、直角三角形的判定l上一点。当 APB为直角三角形时， AP=【解析】试题分析；分臥一下情况讨论；(1) 在 RtAA

3、 中，/Zl=iaO* , 0.Z0 B P； P-B=3ry' . /.AP. =-AB= - X6=3；dW(2) 在 RtAA P：3 中, Z1=12Q4 3 0 Fi=QE? /.ZFi E Q =ZO F;E=6Q* ； =-AE=gcsZQ £ ?；><rr6- X 63j(3) P3B 为以 F 为切点的00 的切纟扎'/Zl=120o , OJWB, J.ZP=BO=ZOP3B=0O°上H0B=90“ f 枉 Kt A 0 P:B 中，二 EP, =tan Z P=O B X 3 二石 X 3=3 希；衽 Rt A A F中，A

4、PT尸厂JlG石严街苗(4) PR 为以卫为切点的血的切线二 120" , OP-.=OA, /.ZF： AO=ZOP：A=SOs . /.ZKOA=0O° , 在 RtAO PA 中，/.AP. SanZPQ AX 3 二石 X 3二3 血.综上，当APE为直角三角形B寸，AP=3,或 亦,或Eijf.考点：分类讨论思想【举一反三】D. 1,、2, 3F列四组线段中，可以构成直角三角形的是A. 4,5,6B. 1.5,2 , 2.5C. 2,3,4【答案】B.【解析】试题分析：由勾股主理的逆定理.只婪验证两小边的平方和等于最长边的平方即可：A.=不可"构威直角三

5、角形，故本选项错误；1.5-2-6.25=2.5可以枸成直角三甬形#故本选项正确；C、2-3-1? = 4不可以构成直甬三甬册，故本选项错误 D* 1：+J7 =3工3不可以构咸直角三角刑，故本选项错误.I应选E考点：勾股定理的逆定理.考点典例二、直角三角形的性质【例2】2021湖北随州第13题如图，在 ABC中，/ ACB=90 , M N分别是AB AC的中点，延长 BC111至点D,使CD亏BD,连接DM DN MN假设AB=6,贝U DN=.AXf打C1s【答案】3.【解析】试倾分析：连接CI|欄B三角砒中位纟蛙理得KN/JBC, y CDBD,可得 腑叽 又由MN/；BC,23可得四

6、边形加胭是平行四边形所以DHM,根据直角三角形的性质得到CM=1aB=3,即可得DW3.考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质.【举一反三】1. 2021贵州铜仁第9题如图，/ AOB30。，P是/ AOB平分线上一点， CP/ OB交OA于点C, PD丄OB垂足为点 D,且PC=4 ,那么PD等于2【答案】B.C.4D.8【解析】试题分析：过点 P作PE丄OA于点E, / OP是Z AOB的平分线，二PE=PD.1/ PC/ OB / PODZ OPC / PCEZ POCZ OPCZ POCZ PODZ AOB30°, / PE= PC=2 , /

7、 PD=2 .故 2选B.考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形.考点典例三、直角三角形斜边上的中线A. 4B 8C. 2 3 D 4 3【答案】D.【解析】试題分析：在RT扭F中ZAFB=90" , AD=DE, DF=47利用直角三角形斜边中线性质可得AENDF="再由 AD=rBj AE=EC,可得DE/0C, Z/DE=ZABF30o ,所以AF=L/£=4,由勾股定理可得日口 石.应选八考点：三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线.【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是据图找出规律.【举一反三】202

8、1四川达州第 9题如图，在 ABC中，BF平分/ ABC AF丄BF于点F, D为AB的中点，连接 DF延长EF的长为【答案】B.【解析】试題分析:AF丄眄砖10芮AB中庶根直竜三毎形斜边上中线是斜边的一半可得D* : AB=AD=BD=5 且ZABF=ZBFD,又因HF平分ZABC,可得ZCBfZDFB,即DE / BC,可判$AADEAABC,根將相似三角 形的对应边咸比例可求得唇巧由EF-DE-DF-S-5-3.故答秦选B 考点：直角三角形斜边上的中线；平行线的判定；相似三角形的判定与性质.考点典例四、命题【例4】2021年福建龙岩第4题以下命题是假命题的是A. 假设 |a|=|b| ，

9、那么 a=bB. 两直线平行，同位角相等C. 对顶角相等D. 假设b2- 4ac> 0，那么方程ax2+bx+c=0 a*0有两个不等的实数根【答案】A.【解析】试题分析：选项 A：假设a=1, b=-1，那么|a|=|b| ，但a* b,此命题为假命题；选项B：两直线平行，同位角相等是真命题；选项 C:对顶角相等是真命题；选项D：假设b2- 4ac > 0,那么方程ax2+bx+c=0 a* 0有两个不等的实数根是真命题应选A.考点：命题与定理【点睛】此题考查了命题与定理的有关问题，对于假命题举出反例证明即可.【举一反三】2021内蒙古包头第10题以下命题：假设 a> b,

10、贝U a2> b2;假设a> 1,那么a- 1 0=1;两个全 等的三角形的面积相等；四条边相等的四边形是菱形.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是A. 4个B . 3个C . 2个D. 1个【答案】D.【解析】试题分析：当a=0, b= - 1时，a2v b2,所以命题“假设a> b,那么a2> b2为假命题，其逆命题为假设a2> b2；,那么a>b "，此逆命题也是假命题，如a=- 2, b=- 1;假设a> 1,那么a- 1 0=1，此命题为真命题，它的逆命题为：假设a- 1 0=1，那么a> 1,此逆命题为假命题，因为a- 1

11、0=1，那么a* 1;两个全等的三角 形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题；四条边相等的四边形是菱形， 这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题.故答案选D.考点：命题与定理.课时作业能力提升一、选择题1. 2021贵州铜仁第6题以下命题为真命题的是A.有公共顶点的两个角是对顶角B.多项式x3 4x因式分解的结果是xx2 4C. a a a2D. 元二次方程x2 x 20无实数根【答案】D.【解析】试題分析；A,有公共顶点的两个角不一走是对顶角，故此选项错误5b.多项式壮园式分解的结果是汀+故此选项错误孑C-讯=込故此选顶钳睫

12、D. 一元二坎方程x:-r-b2 = 0, A = -4 = -7<D,故此方程无实数抿，正确.应选D考点：命题与定理.2. 2021湖南岳阳第7题以下说法错误的选项是A. 角平分线上的点到角的两边的距离相等B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C. 菱形的对角线相等D. 平行四边形是中心对称图形【答案】C.【解析】趣分析；根据角平分线的性质，可得角平分线上的点劃角的两边的距离相等，选项A正确j根据直角三 甬形斜边上的中銭的性质，可得直甬三角形斜边上的中结等于斜边的一半，选项E正确根18菱形的性质, 憂形的对甬线互相垂直，但是不一定相峯选顶f不iEffij根据中心对称图刑的性质可得常

13、见的中心对 称團形育；平行四边形、圆形.E方形，长方形'选项D正确.故答累选c考点：中心对称图形；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的性质.3. 2021黑龙江绥化第6题如图，小雅家图中点 O处门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔图中点A处在距她家北偏东 60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是A. 250 米B. 250 3 米C. 500 3 米D. 500 2 米3【答案】A【解析】1试题分析：由题意/ AOB90。- 60° =30°, O/=500,v AB丄OB 上 ABO90°,. AE=_A=25

14、0 米.应选 2A.考点：解直角三角形的应用 -方向角问题.4. 2021四川南充第 7题如图，在 Rt ABC中，/ A=30°, BC=1，点D, E分别是直角边 BC AC的中点,A. 1B. 2C. 3D. 1+ . 3【答案】A【解析】试题分析：如图，在 Rt ABC中，/ C=90°,Z A=30°,a AB=2BC=2.又点 D E 分别是 AC. BC的中1点， DE> ACB的中位线， DE=AB=1 .应选 A.2考点：三角形中位线定理；含30度角的直角三角形.5. 2021广东广州第 7题如图2,三角形 ABC,AB=10,AC=8,B

15、C=6,DE是AC的垂直平分线， DE交AB于D,连接CD CD=A、3B 、4 C 、4.8D、5CB【答案】D.【解析】试題分析:已却AB=10, 0 心丰鳩勾股定理的逆走理可労症AdC为直角三角形又因DE为曲边的_ 1中垂线，可得DE丄帆AE=CE=4;所以DE为三角形ABC的中位线即可得D2尹匚瑕再根据勾脸定理求 出CDF,故答秦选D.考点：勾股定理及逆定理；中位线定理；中垂线的性质二、填空题6. 2021黑龙江哈尔滨第17题在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB=90 , AC=3点P为边BC的三等分点， 连接AP,贝U AP的长为.【答案】 J3或10 .【解析】试题分析：如图 1

16、,vZ ACB=90 , AC=BC=3 / PBBC=1,二 CP=2,. AP JAC2 PC2 J133，如图 2, / ACB=90 , AC=BC=3 ： PC=-BC=1, a AP 7ACPC2021 湖北武汉第16题如图，在四边形ABC中,Z ABG 90°,AB= 3,BC= 4, CD= 10,DA=5、5, "0 , AP的长为 Ji3 或 .3考点：1分类思想；2等腰直角三角形.【答案】2 41.【解析】试题廿析：连接AC,过点®作比边上的高交血延长线于点風在肮磁中，叱4见二心二购二5,又&尸10a二用，可知片切为直角三角形，且三月

17、切二网，易证 ADCsAtw,那么DK=8,BD- J(4+E)： + A 二2航.考点：相似三角形判定及性质；勾股定理8.在厶 ABC中，/ B=30°, AB=12, AG=6,贝U BO【答案】6,3 .【解析】 试题分析：/ B=30°, AB=12, AG6,.A ABC是直角三角形，二 BO . AB2 AC2 = -122 62 = 63 ,故答案为：6.3 .考点：1.含30度角的直角三角形；2.勾股定理.9.如图，在 Rt ABC中，/ ABC=90 , AB=3, AC=5点E在BC上，将 ABC沿 AE折叠，使点 B落在 AC边上的点B'处，贝

18、U BE的长为 3【答案】3 .2【解析】试题分析：T在 RtAAEC 中；ZAEC=90° ,.SC = -J.4C2 - AE1 =4 .由折益的性质得：; AB=ABy ,设 BE=x 那么 E=Xj CE=4-=AC-AB=2;在KtAB?旣中肝E：+B? C'=EC即J十才二(4-x) 解得：沪？.-"BE的长为扌考点：1.折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.10. ( 2021福建莆田第16题) 魏朝时期，刘徽利用以下图通过“以盈补虚，出入相补的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，证明了勾股定理假设图中BF= 1, CF

19、= 2,贝U AE的长为【答案】3.10 【解析】试题分析:= CF=2f:.AABF£iECFr :.AB C£=3Z: FC, /3:C£=l：芬二停旺：DE=3+29,二卫庚JAD)+DE：二+b二3顶故答秦拘：315考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质.14题)如图，在 Rt ABC中，E是斜边 AB的中点，假设 AB=10,贝U CE 【答案】5.【解析】试题分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=1 AB=5.2考点：直角三角形斜边上的中线.三、解答题12. (2021贵州贵阳第18题)(10分)如图，点 E正方形ABCD外一点，点

20、F是线段AE上一点， EBF是 等腰直角三角形，其中/ EBf=90°,连接CE CF.(1) 求证： ABFA CBE(2) 判断 CEF的形状，并说明理由.E【答案】(1)证明见解析；(2)A CEF是直角三角形.【解析】试题分析；1由四边形裁e杲正方形可得出卫能C3,厶,再由8F是等牘直角三角形可得 出册二貯，通过角的计算可得出3QCBE,利用全等三甬形的判定赳里£45即可证出心J5F望厶晦;根据百旨F是等腰直角三角形可得出4陆岱E,通过角的计算可WdlZAlJ?0 ,再根据全等 三甬刑的性贡可得出公刘，通过角的计算即可得出，从而得出ACEF罡直角三 角形.试题解析：

21、证明：丁四边形站是正方形,5畑, VAZ57是等腥直甬三角形其中停"丫、方决H巴二乙NC-NC刃归二厶4昭三仙匚在A4RF和中,乙摘庄ZdE, 0倍£匚 /.AACSS £!?.解；是直角三角形理由如下；'/A£5F是等膻直角三角形，.昭Z?龄4刖 打乙2府列昶"-Z5F=B5°，又TAF箜CBE, 上血*厶卩沪13丁 , /.ZCZC-ZBS* -45a =904丿二尸是直角三角形.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形.13. 2021湖北襄阳第19题本小题总分值6分如图，在 ABC中.AD平分/ BAC且BD=CD DEL AB于点E, DF1 AC于点F.1求证：ABAC假设 AD=2 .、3，/