2015年中考数学真题----解直角三角形

1、解直角三角形选择题1, 2021威海，第2题4分2. 如图*在ME厂中，Z4C7WGD,BC=3.假设用科学计童器求遠水*內忆 那么卜列按讎颤序正确时提B. ? j -r | sjn T |V 0【答案】D【解析】根据三角函数的定义，边AC=BCtan26其按键顺序正确的选项是【备考指导】 此题考查了解直角三角形的知识，解答此题的关键是利用三角函数的知识解直角三角形，求 解相关线段的长度，难度一般.2. 2021省市，第12题3分如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°再向电视塔方向前进 100米到达F处，又测得电视塔顶端 A的仰角

2、为60 °那么这个电视塔的高度 AB单位：米为丨.4广/：Fa * IM Hi 4 ff 1 « 1 V i n » « 11 4 1 i 1 4 1 1* Klffli I 4-11 4 1 4 bGLD(*<他2« *IBA . W 办B. 51C.D. 101【答寨】C【解析】试题分析依题意得乙乂0汕r厶是乂三的外用，4GF尸可# CI-AH-100m衽.iAaG 中，5in60: = - = , aG-sui6O= -Ki:j 启22根据题意BG-E-C3-1米.所沁初塔的鬲度AB-AG-BG-505-1.考点.：解直弟三肃羽的应

3、用3. 2021?宾州，第12题3分如图，在x轴的上方，直角/ BOA绕原点O按顺时针方向旋转2假设/ BOA的两边分别与函数、的图象交于B、A两点，那么/ OAB大小的变化趋势为C.时大时小D保持不变【答案】DEB= _ _ iOFb，AF=-> 可代人这时 lanZ0JlB=变.应选D个定IT因此心AE的尢小保持不考点：反比例函数，三角形相似，解直角三角形5. 2021?第 10题，3分如图，要在宽为 22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线 DO通过公路路面的中心线时照明效

4、果最正确，此时，路灯的灯柱BC高度应C. 11- 2-；米 D . 11 :;【解析】试题分析：分别过B和盘作BE丄兀轴于点E, AF丄盖轴于点冉那么可知BEWAO跖 因此根据相锻三弟形SE 0E1的性质可得 =1设点廿曲 -匕丸仏 二人那么0玮p OF AF口b比例式求得b = 21即于匸二月求得00- VOE -r EB二JdT ?- i*V考点：解直角三角形的应用.分析：出现有直角的四边形时，应构造相应的直角三角形，利用相似求得PB、PC,再相减即可求得BC长.解答： 解：如图，延长 0D , BC交于点P./ ODC= / B=90° / P=30° OB=11 米

5、，CD=2 米，在直角 CPD 中，DP=DC?cot30°=2jm, PC=CD +sin30° =4 米，/ P= / P, / PDC = / B=90° PDC PBO,.PD=CDFB= OB BC=PB - PC= 11 近-4米.应选：D.点评：此题通过构造相似三角形，综合考查了相似三角形的性质，直角三角形的性质， 锐角三角函数的概念.6. 2021?日照，第10题4分如图，在直角 BAD中，延长斜边BD到点C,使DC丄BD,C.连接AC,假设tanB=-，那么tan / CAD的值考点：解直角三角形.分析:延长AD，过点C作CE丄AD，垂足为E，由

6、tanB-，即晋，设AD=5x，那么土 二丄二二二二，厂，"：，AE = tan / CAD =l=AB=3x,然后可证明 CDEs BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得:进而可得CEx，从而可求tan/CAD=十匸.解答： 解：如图，延长 AD，过点C作CE丄AD，垂足为E,心，即詈,设 AD=5x,那么 AB=3x,/ CDE = / BDA , / CED = / BAD ,.CE_DE_CT_1U LI厂 _，15点评：此题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以与直角三角形的性质，是根底知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将/ CAD放在直角三角形中

7、.7. 2021?聊城，第10题3分路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线.某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部 A的仰角为41.5。如图测量仪器CD的高度为1米，那么桥塔 AB的高度约为A .34 米B .38 米 C. 45 米 D .50米考点：解直角三角形的应用一仰角俯角问题.分析：RtAADE中利用三角函数即可求得 AE的长，那么AB的长度即可求解.解答： 解：过D作DE丄AB于E,DE = BC=50 米在 RtA ADE 中，AE=DE?tan41, 5° 50X 0.88=44米,/ CD=1

8、 米， BE=1 米， AB=AE + BE=44+1=45米,桥塔AB的高度为45米.点评：此题考查仰角的定义，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.8 2021, 9, 3分如图，斜面 AC的坡度CD与AD的比为1:2, AC=%J5米，坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，假设 AB=10米，那么旗杆BC的高度为()A.5 米 B.6 米 C. 8 米 D. (3 1 坷)米【答案】A【解析】试题分析.根据題童学科關可设 皿加，那么cd=xm,由勾股定理知AD'+CD直即观'+/ =诂W#x=3,然后设EC予 那么

9、由勾股定理得ADrEDABr即4 +旷=1贰 解得产也 因此EC=BD7D=8-和张考点：解直角三角形二.填空题31. 2021?宾州，第14题4分如图，菱形 ABCD的边长为15, sin/ BAC ,那么对角线AC的长为第14题厨【答案】24试题分乐 如图，连摟旳交朋于那么根摇赛形的性质可得M丄BD, 0B=0哄上也由盘dNRAgdA6=15,可求B0=9,在RtAAOB中，根据囚股定理可求# 0A=12.页此AC=24.考点：菱形的性质，解直角三角形2.2021?第18题，3分如图，在等边 ABC 有一点 D, AD=5, BD=6, CD=4，将 ABD绕A点逆时针旋转，使 AB与AC

10、重合，点D旋转至点E,那么/ CDE的正切值为-.考点:旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形.专题:计算题.分析:先根据等边三角形的性质得AB=AC, / BAC=60° ,再根据旋转的性质得 AD=AE=5 ,/ DAE = Z BNAC=60° CE=BD=6，于是可判断 ADE为等边三角形，得至U DE=AD=5;过E点作EH丄CD于H，如图，设DH=x,那么CH=4 - X,利用勾股定理得到 52 - x2=62 - 4-X2,解得X，再计算出EH，然后根据正切的定义求解.解答： 解：仏ABC为等边三角形， AB=AC , / BAC=60° , A

11、BD绕A点逆时针旋转得 ACE , AD=AE=5, / DAE = Z BNAC=60° CE=BD=6, ADE为等边三角形，/ DE=AD=5,过E点作EH丄CD于H，如图，设 DH=x，那么CH=4 - x,在 RtA DHE 中，EH2=52- x2,在 RtA DHE 中，EH2=62- 4 -X2 - 52 - x2=62 - 4 - x2,解得 x=,o EH =翊858=3.",在 RtA EDH 中，tan / HDE即/ CDE的正切值为 3 故答案为：3厂.点评：此题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转

12、角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质和解直角三角形.DE交AC于点E,连3.2021?第15题3分如图， ABC中，DE是BC的垂直平分线,BC=12,那么考点：线段垂直平分线的性质；解直角三角形.分析：根据线段垂直平分线的性质，可得出CE=BE，再根据等腰三角形的性质可得出CD=BD，从而得出 CD: CE,即为cosC.解答： 解：/ DE是BC的垂直平分线, CE=BE, CD = BD,/ BE=9, BC=12, CD=6, CE=9, cosC亠匚,CE 9 32故答案为=点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以与等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用

13、.4. 2021?省江市，第 22 题，6 分在厶 ABC 中，/ B=30 ° AB=12, AC=6，那么 BC= 6 .；.考点：含30度角的直角三角形；勾股定理.分析：由/B-30° AB-12, AC=6，利用30°所对的直角边等于斜边的一半易得 ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长.解答：解：/ B-30° , AB-12 , AC-6, ABC是直角三角形， BC= - J 二.丄 =6 一 二30。直角三角形的性质，以与勾股定理，熟练掌握性质与定理是解此5. 2021?东营，第14题3分4月26 日, 2021黄河口东营国际马拉松

14、比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜头下， 观测马拉松景观大道A处的俯角为，B处的俯角为四了 如果此时直升机镜头 C处的高度CD为200 米，点A、D、B在同一直线上，那么 AB两点的距离是米.【答案】200( ;+1)【解析】试题分析：I/ CDA = Z CDB=90° , / A=30° , / B=45° , / AD.j CD=200._j , BD=CD=200 , AB=AD+BD=200( . 3 +1)米；考点：解直角三角形的应用 6. 2021第17题3分如图，某登山运发动从营地A沿坡角为30。的斜坡AB

15、到达山顶B,如果AB=2000米，那么他实际上升了 1000 米.考点：解直角三角形的应用一坡度坡角问题.分析： 过点B作BC丄水平面于点 C,在RtAABC中，根据AB=200米，/ A=30° ,求出BC的长度即可.解答： 解：过点B作BC丄水平面于点C,在 RtA ABC 中，/ AB=2000 米，/ A=30° , BC =ABsi n30° =2000X丄=1000.故答案为：1000.点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答此题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识进展求解.7. 2021荆州第15题3分15 .如图，小明在一块平地上测山

16、高，先在B处测得山顶A的仰角为30°然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶 A的仰角为45°那么山高AD为137 米结果保存整数，测角仪忽略不计，近 1.414 近，1.732考点：解直角三角形的应用一仰角俯角问题.专题：计算题.分析：根据仰角和俯角的定义得到 / ABD=30° / ACD=45°，设AD=xm,先在RtA ACD中，利用/ ACD的正切可得 CD=AD=x，那么BD=BC+CD=x+100,然后在RtAABD中，利用/ ABD的正切得到 x+100，解得x=50品+ 1，再进展近似计 算即可.解答：解：如图，/ ABD=30

17、76; / ACD=45° BC=100m,设 AD=xm,在 RtA ACD 中,/ tan/ ACDAD二， CD=AD=x,/ BD = BC+CD=x+100 ,在 RtA ABD 中,tan / ABD =£_J，x+100, x=50：+1137即山高AD为137米.故答案为137.点评：此题考查了解直角三角形-的应用-仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与和未知相关联的直角三角形，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.8 2021?第13题3分如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形,BC=

18、BD=15cm, / CBD=40°，那么点B到CD的距离为cm参考数据：sin20°0.342, com20 ° 0.940sin40 ° 0.643, com40-0.766确到0.1cm,可用科学计算器.C D图1图2第13题OAP(答案：解析：如右图，作 BE丄CD于点E./ BC=BD, BE 丄CD, /-Z CBE= / DBE=20 °,在 Rt BCD 中,COS 二 DBE二BEBD cos20】BE-15 BE 15 X 0.9=04.19. 2021?第14题3分如图，在厶ABC中，AB=BC=4 , AO=BO ,P是

19、射线 CO上的一个动点,Z AOC=60°,那么当 RAB为直角三角形时， AP的长为 .答案：解析：如图，分三种情况讨论：图1中，Z APB=90° ,/ AO=BO, Z APB=90 °, PO=AO=BO=2,又Z AOC=60 °APO是等边三角形， AP=2；B图中，Z APB=90 °/ AO=BO, / APB=90 ° P0=A0=B0=2,又/ AOC=60°,BAP=30°在 RtA ABP 中，AP=cos30°X4=2,.''3.图(3)中，/ ABP=90 &#

20、176; / B0=A0=2 , / BOP = Z AOC=60 °- PB=2 3 , AP= 42 ' (2 3)2 ：2 7 AP的长为2, 2 3或2 710. 2021?,第16题4分图1是一可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图,此时，点A，B，C在同一直线上，且 / ACD=90° 图2是小床支撑脚 CD折叠的示意图，在折叠过程中, ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段 BD".1小床这样设计应用的数学原理是2假设AB: BC=1 : 4，那么tan Z CAD的值是 图1图28【答案】1三角形的稳定性

21、和四边形的不稳定性；2° .15【考点】线动旋转问题；三角形的稳定性；旋转的性质；勾股定理；锐角三角函数定义【分析】1在折叠过程中，由稳定的 ACD变形为不稳定四边形 ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD"，小床这样设计应用的数学原理是：三角形的稳定性和四边形的不稳定性。2T AB: BC=1 : 4, 设 AB x, CD y，那么 BC 4x, AC 5x . 由旋转的性质知 BC" BC 4x, AC" = 3x, C"D" y , AD AD" AC" C"D" 3x

22、y.在Rt ACD中，根据勾股定理得 AD2 AC2 CD2 , c2_2283x y 5x y y _x.3tan CADCDAD5x8 -x35x8 .1511. 2021?,第16题4分如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°测得旗杆顶端 A的仰角为30°假设旗杆与教学楼的距离为 9m,那么旗杆AB的高度是 m结果保存根号【答案】3 3 +9.;锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题【分析】根据在RtA ACD 中，tan ACDDC，求出AD的值，再根据在RtA BCD 中

23、,BDtan BCD，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案：DC在 RtA ACD 中，/ tanACD匹， AD DC tanACD 9 tan30°3厂93 3DC3在 RtA BCD 中，/ tanBCDBDDC， BD DC tan BCD 9 tan45°9 19AB=AD+BD =3 3 +9m.12. 2021省市，16，4分如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部 A的仰角为50°观测旗杆底部B的仰角为45° 那么旗杆的高度约为 m.结果准确到 0.1m,参考数据：sin 50° 0

24、.77 cos50° 0Q4tan50° 1.19第I a題帼【答案】7.2【解析】试题分析:因为Zboc=45°，所以 3CNX38,因貴ZADC=5yAC=tan50°xCDM5,22, BrQA AB=AC-X阵TH考点：解直角三角形13. 2021呼和浩特，19, 6分6分如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°看这栋高楼底部 C的俯角为65°热气球与高楼的水平距离AD为120m.求这栋高楼的高度结果用含非特殊角的三角函数与根式表示即可考点分析：锐角三角函数解直角三角形 建模能力解析:什么是建模能力

25、？因为这类题目是应用题，即用数学手段来解决实际问题。三角函数是一种数学思想，等到高中阶段会有更多的题型与更多的变化。目前此类题目的核心，是共直角边、或者局部共直角边，要嘛就是等直角边，反正 是以直角边为媒介来构建等量关系。此题的核心是共直角边，即共线段AD。还要注意，是应用题最后要有答。对于实际问题而言，首先是将实际问题数量化，你现在理解为建模就可以。此题中就是给出解得第一行表达在?2021年呼和浩特中考数学砍题指南?中会有比较详细的表达，如果你有兴趣的话可以期待一下。另外，有个习惯希望同学们可以按照的方式来，因为你们初学三角函数，所以建议你们先按照三角函数原始定义列出三角函数值等于两个边的比

26、值后，再进展等号两边的乘除变化， 这样不容易出错。解：依据题意有： AD丄BC, / BAD =30 ° / CAD=65 °AD=120m.TAD 丄 BC, / ADB=Z ADC =90 °BDV3在 RtABD 中，/tan30 ° AD，二 BD = AD tan30°=120X 3 = 40西CD在 RtA ACD 中,/ tan65°= Ad， CD =120 -tan65° BC =BD+CD =40 3+120 -an65°答：这栋高楼的高度为4/3+120 -tan65°米注意：上述类

27、型题目在?考前重点突破?中有完整的解法。14. 2021?第 22 题 7 分30°看这栋楼底部的俯角为60°小强家小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为与这栋楼的水平距离为 42m，这栋楼有多高?【答案】56 JI m【解析】试题分析；正确理解仰角，俯亀然后枸造直角三甬形的数学模型根据解直角三角形的方法，用4AD和 ZCW的正切可分别求得弧CD的长度，然后可求出楼高.试魁解祈：解1如图，口 - 30" ,= 60° , JW = 42, 3D . CD-一、 tan0w、ADAD BD = AD tan a= 42 !Sn30°=42 X

28、 = 14. -.CD = ADtan 3= 42 Xan60=42 J .BC = BD + CD = 14.打 + 42.打=56 .j (m).因此，这栋楼高为 56门m.考点：解直角三角形15. 2021, 15, 3分如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32 °底部C的俯角为45。，观测点与楼的水平距离 AD为31cm，那么楼BC的高度约为 m(结果取整数。参考数据：sin32° 0.5)s32° 0tan32° 06第15题【答案】50【解析】解：BC=BD+CD=AD Xan32°+AD Xan45°

29、31 X 0.6+31 X 仁49.6产故答案为 50m.16. 2021, 16, 6分1如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞.工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点 A、B、C,点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离.试題辭祐在厶一占也一中,AC 30 _ 5AB=9.AC _.IM*.厶工厶仏叱心5診肖即營令聊沖仆,零?.A ?：两盒戈间的直绑姑是1.壬干米,17. 2021?第20题，9分如图， ABC.按如

30、下步骤作图： 以A为圆心，AB长为半径 画弧；以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点 D;连结BD，与AC交于点E, 连结AD，CD .1求证： ABC ADC ；2假设 / BAC=30° , / BCA=45° , AC=4，求 BE 的长.考点：全等三角形的判定与性质；作图一复杂作图.分析：1利用SSS定理证得结论；2设BE=x,利用特殊角的三角函数易得 AE的长，由/ BCA=45°易得CE=BE=x,解得x,得CE的长.解答：1证明：在 ABC与厶ADC中,AB=ADBC=CDAC=AC2解：设 BE=x,/ BAC=30° ,/ ABE=

31、60° , AE=tan60° ?；x,ABC ADC , CB=CD , / BCA=Z DCA ,/ BCA=45° ,/ BCA=Z DCA=90° ,/ CBD = / CDB=45° , CE=BE=x, . ：X+x=4, x=22, BE=2 ： - 2.点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键.18. 2021?省，第18题，8分如图，平台 AB高为12m，在B处测得楼房 CD顶部点D的 仰角为45°底部点C的俯角为30°求

32、楼房CD的高度Q3 = 1.7.：30BAC第18题图u-45考点：解直角三角形的应用一仰角俯角问题.分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形.此题涉与多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解.解答：解：如图，过点 B作BE丄CD于点E,根据题意，/ DBE=45° , / CBE=30° ./ AB 丄AC, CD丄 AC,四边形ABEC为矩形. CE=AB=12m.在 RtA CBE 中，cot/ CBE=:,CE BE=CE?;ot30°12xJ3=12 體.在 RtA BDE 中，由/ DBE=45° ,得 DE=BE=12 ：:. CD

33、= CE+DE=12： ;+132.4答：楼房CD的高度约为32.4m.AC点评：考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，此题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形.19. 2021?潍坊第16题3分观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端 A点处观测观光塔顶端 C处的仰角是60°然后爬到该楼房顶端 B 点处观测观光塔底部 D处的俯角是30°楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光 塔的高CD是135 m.考点：解直角三角形的应用一仰角俯角问题. 分析： 根据 爬到该楼房顶端 B点处观测观光塔底部 D处的俯

34、角是30°可以求出AD的 长，然后根据 在一楼房的底端 A点处观测观光塔顶端 C处的仰角是60°可以求出CD的 长.解答： 解：爬到该楼房顶端 B点处观测观光塔底部 D处的俯角是30°/ ADB=30° ,在 RtA ABD 中，ABtan30 =，解得，计J, AD=45 二在一楼房的底端 A点处观测观光塔顶端 C处的仰角是60°在 RtA ACD 中，CD=AD?tan60 °45 .： ；=135 米.故答案为135米.点评：此题考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，要求学生能借助仰角、 俯角构造直角三角形并解直角三角形.三

35、解答题1. 2021?,第23题8分数学活动课上，教师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，教师测得升旗台前斜坡 FC的坡比为iFc=1 : 10即EF: CE=1 : 10，学生小 明站在离升旗台水平距离为 35m即CE=35m处的C点，测得旗杆顶端B的仰角为a,tan片, 升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆 AB的高度.BG与EF的大考点：解直角三角形的应用一仰角俯角问题.分析：首先根据题意分析图形，此题涉与到两个直角三角形，分别解可得小，进而求得 BE、AE的大小，再利用 AB=BE-AE可求出答案.解答： 解：作DG丄AE于G,那么/ BDG=

36、a,易知四边形DCEG为矩形./ DG=CE=35m, EG=DC=1.6m在直角三角形 BDG中，BG = DG?Xan a=35X上=15m, BE=15+1.6=16.6m.斜坡 FC 的坡比为 iFc=1 : 10, CE=35m, EF=35X-=3.5,id '/ AF=1, AE=AF + EF=1+3.5=4.5 , AB=BE - AE=16.6 - 4.5=12.1m.要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图2. 2021?甘孜、阿坝，第18题7分如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端 A的仰角/ BCA=30° ,向

37、前走了 20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角/ BDA=60° ,求旗杆AB的高度.结果保存根号考点：解直角三角形的应用一仰角俯角问题.分析：根据题意得/ C=30° / ADB=60°,从而得到/ DAC=30°进而判定AD=CD ,得到CD=20米，在 RtAADB中利用sin/ ADB求得AB的长即可.解答： 解：C=30° , / ADB=60°/ DAC =30°, AD = CD,/ CD=20 米， AD=20 米，在 RtA ADB 中， 冷n / ADB， AB=AD n60°=20X=10

38、 ： 米.点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解.3. 2021,第20题 分小丽为了测旗杆 AB的高度，小丽眼睛距地图 1.5米，小丽站在C 点，测出旗杆A的仰角为30°，小丽向前走了 10米到达点E,此时的仰角为60°，求旗杆的高度。【解析】Iff曲4*. Z4Df；.3O* G t； - W JJf* - LIA . .Uli . .4/fx*讥“血 I訂 rUi 二 Muni Atti = IS 干“屮/. ah n u"为 I " “4. 2021 六盘水，第 25 题 12 分如图

39、 13 , RtA ACB 中，/ C= 90 ° / BAC = 45 °:在CA的延长线上截取AD = AB,并连接BD不写作法，保存作图痕迹2 4分求/ BDC的度数.34分定义：在直角三角形中，一个锐角A的邻边与对边的比叫A的邻边做/ A的余切，记作cotA，即cot A R对茹，根据定义，利 用图形求cot22.5 °勺值.考点：作图一复杂作图；解直角三角形.专题：新定义.D，然后连结BD ；分析：1以点A为圆心，AB为半径作弧交CA的延长线于2根据等腰三角形的性质，由AD=AB得/ ADB = Z ABD，然后利用三角形外角性质可求出/ ADB=22.

40、5 °2/ AD=AB,3设AC=x,根据题意得 ACB为等腰直角三角形，那么 BC=AC=x, AB= . ；：AC=;x, 所以AD=AB= . ：x, CD=窓弓+1x,然后在RtA BCD中，根据余切的定义求解./ ADB = / ABD ,而/ BAC=Z ADB + Z ABD,/ ADB=-Z BAC =X45°22.5 °2 2即Z BDC的度数为22.5 °3设 AC=x,Z C=90° , Z BAC=45° , ACB为等腰直角三角形， BC =AC=x, AB=« JAC= ：' ：; x,

41、AD=AB=、.；x, CD= x+x=|：； ；+1x,在 RtA BCD 中，cotZ BDC =-711- .+1 ,BC £即 cot22.5 °：； *+1.点评：此题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种根本作图的根底上进展作图，一般是结合了几何图形的性质和根本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉根本几何图形的性质， 结合几何图形的根本性质把复杂作图拆解成根本作图，逐步操作.也考查了解直角三角形.5. 2021，第20题9分如下列图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D出测得大树顶端 B的仰角是48°假设坡角Z FAE=30

42、76;,求大树的高度结果保存整数，参考数据：sin48° 0.74cos48° 0Q7 tan48° 1.113 1.73EA I C第20题【分析】通过观察图形，要求大树的高度，需要构造直角三角形，将所求线段联系起来结合题目中的信息，即要延长BD交AE于点G,并过点D作DH丄AE于点H，分别在RtA GBC 和RtA ABC中表示出CG和AC的长即可求解.解:虑的KXu*.在o> SC H6 Ri/ABC 中，4C- _H 卸人杨的詣虞约为13索.宀“第20题解图6. 2021?第22题8分如图，海中一小岛上有一个观测点 A,某天上午9： 00观测到某 渔

43、船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行。当天上午9： 30观测到该渔船在观测点 A的北偏西60°方向上的C处。假设该渔船的速度为每小时 30海里，在此 考点：解直角三角形的应用一方向角问题.航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时, 表示，不取近似值。离观测点A的距离最近北计算结果用根号分析：首先根据题意可得 PC丄AB,然后设PC=x海里，分别在 RtA APC中与RtA APB中, 利用正切函数求得出 PC与BP的长，由PC+BP=BC=30里，即可得方程，解此方程求得 x 的值，再计算出 BP,然后根据时间=路程讹度即可求解.解答：解：过点A作AP丄BC,垂足

44、为P,设AP=x海里.在 RtA APC 中,/AS, / 心°° tan / PAC搭CTP血 / PAC睜.在 RtA APB 中,vZ APB=90° , Z FAB=45° , BP=AP=x./ PC + BP=BC=30X=, _'x+x=15，解得 x=2 315 (3-V3) PB=x=315 (3-V3)15 (3-V3)处；小时.航行离观测点A的距离最近.点评：此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,锐角三角函数的定义， 准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用.7. 2021?凉山州，第20题8分如

45、图，在楼房 AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处 经过树顶E点恰好看到塔的底部 D点，且俯角a为45°从距离楼底B点1米的P点处经 过树顶E点恰好看到塔的顶部 C点，且仰角B为30°树高EF=6米，求塔CD的高度.结果保存根号j5F D【答案】石11门【解析】 试题分析：根据题意求出/ BAD = / ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得 FD，在 RtAPEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出 BF，即可求得PG,在RtA PCG中，继而 可求出CG的长度.试题解析：由题意可知 / BAD= / ADB=45° / FD = EF=6米

46、，在RtA PEH中， PG=BD=BF+FD=| 6，在 RTA PCG 中, tan护空二厶 BF忌二迥PH RF/ tan 3=CGPG，-CG=(5,考点：解直角三角形的应用一仰角俯角问题.8. 2021?第 17 题 8 分如图，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C其中AB段与BC段的运行路程均为200m,且AB段的运行路线与水平面的夹角为30° BC段的运行路线与水平面的夹角为42 °求缆车从点 A运行到点C的垂直上升的距离参考数据：sin42 °0.67 cos42 °0.7,4 tan42 ° 00【答案】：234m42&#

47、176;解答:解：如图:【解析】：如下列图，缆车从点 A运行到点C的垂直上升的距离为 BD CE ,又 ABD和 BCE均为直角三角形， BD CE AB sin30 BC sin42 2000.5 0.67234m9. 2021?眉山，第22题8分如图，在一笔直的海岸线 I上有A、B两个码头，A在B的 正向，一艘小船从 A码头沿它的北偏西 60°的方向行驶了 20海里到达点P处，此时从B码 头测得小船在它的北偏东 45°的方向求此时小船到 B码头的距离即 BP的长和A、B 两个码头间的距离结果都保存根号 5|川考点：解直角三角形的应用一方向角问题.分析： 过P作PM丄AB

48、于M，求出/ PBM=45° , / FAM=30° ,求出PM，即可求出 BM、BP.过P作PM丄AB于M , 那么 / PMB= / PMA=90° ,/ PBM=90° - 45°=45° / PAM=90° - 60°=30° AP=20 海里，pm=3aP=10 海里，/ BPM= / PBM=45° / PM=BM=10 海里，2I IpirAB=20 海里， BP=10 二海里，smQb即小船到B码头的距离是10二海里，A、B两个码头间的距离是 20海里.点评：此题考查了解直角三角

49、形，含30度角的直角三角形性质的应用，能正确解直角三角形是解此题的关键，难度适中.10. 2021?省江市，第20题，9分我市准备在相距 2千米的M , N两工厂间修一条笔直的公路，但在 M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为 0.6千米的住宅小区如图，问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？参考数据：'：- 1.41考点：解直角三角形的应用一方向角冋题.分析：根据题意，在 MNP中，/ MNP =30° / PMN-45° MN=2千米，是否搬迁看 P点到MN的距离与0.6的大小关系，假设距离大于0.6千米那么不需搬迁

50、， 反之那么需搬迁, 因此求P点到MN的距离，作PD丄MN于D点.解答：解：过点P作PD丄MN于D MD =PD?cot45°=PD ,ND = PD?cot30 ° . :TD ,/ MD+ND = MN=2,即:PD+PD=2, PD =影十=需-1 1.73- 1=0.73 > 0.6.答：修的公路不会穿越住宅小区，故该小区居民不需搬迁.点评：考查了解直角三角形的应用-方向角问题，化斜为直'是解三角形的根本思路,常需作垂线高，原那么上不破坏特殊角30° 45° 60°.11. 2021?省市，第21题，8分注意：在试题卷上作

51、答无效 如图，某市对位于笔直公路 AC上两个小区A、B的供水路线进展优化改造，供水站 M在笔 直公路AD上，测得供水站 M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区 A、B之间的距离为300,；3+1米，求供水站 M分别到小区A、B的距离。结果可保存根号D东【分析1根協题意*中，ZBAM=30° * ZABM=45° -貞氐米倉点H作MN丄于厂设疔円米用含氓的代数式分别表示胡，叭根建立方程，解方建求出咒的值，逆蔺求出MA与MB的长.C北东I解莒T解：过点M作MN丄品干厂 诰耳米/ MA=2MN=2nJ AN=J3MN=J7x-在Rt AAMN中，ZBNM

52、=90d ZM3N=45°- BN=KN= MB=j2MN=j2i: / AN-B5=A0 ' jJx*t-30Q JJ+l >£=300/ MA=2x=6D0 * J3=j2t=30Oj2 抜供水站M到小医2的距离是E0Q米*到小区B的距离是3QO返米I点评】此题考查了解直角三甬賊的应用方向角i可题* “化斜药直是鞘三甬融的根本思路，常需作垂线 高-愎那么上玮破坏特殊角<30° 、 4訂、60° *12. 2021?省市，第20题，8分如图，从地面上的点 A看一山坡上的电线杆 PQ,测得杆顶端点P的仰角是45°向前走6m到

53、达B点，测得杆顶端点 P和杆底端点Q的仰角分别是60。和 30 °1求/ BPQ的度数；2求该电线杆 PQ的高度结果准确到 1m。备用数据：、3 1.7，2 1.4第20题图考点：解直角三角形的应用一仰角俯角问题.分析：1延长PQ交直线AB于点E,根据直角三角形两锐角互余求得即可；92设PE=x米，在直角 APE和直角 BPE中，根据三角函数利用 x表示出AE和BE,根 据AB=AE - BE即可列出方程求得 x的值，再在直角 BQE中利用三角函数求得 QE的长， 那么PQ的长度即可求解.解答：解：延长 PQ交直线AB于点E,1/ BPQ=90° - 60° =3

54、0°2设 PE=x 米.在直角 APE中，/ A=45° ,那么AE=PE=x米；/ PBE=60°/ BPE=30°在直角 BPE/ AB=AE - BE=6 米,解得：x=9+3 .；.那么BE= 3 _ -;+3丨米.在直角 BEQ 中，QE= JBE= ；3 ：'+3=3+. 一;米. PQ = PE - QE=9+3齿-33=6+39米.答：电线杆PQ的高度约9米.点评：此题考查了仰角的定义，以与三角函数，正确求得PE的长度是关键.13. 2021?省市，第19题如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，头枕上的点到调节器点O处的距离为80

55、cm,AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35倒OA '处,求调整后点A'比调整前点A的高度降低了多少 cm?结果取整数？参考数据：sin35° 0.57, cos35° 0.82, tan35° 0.70J作"b-laoTb,通尅解金弦函数求得QB，然后igAB=OA-OB求得即可.【解苔】 歙 如卧 根据题意om =S0cm. ZAO A" =35e， 伟A B丄AD于-CB=OA -cos35° =306? AB=OA-OE=SQ-6s. fi=14cju-吾：调整后巨一比调翌前点負的高度降低了 “厘米.【亞评】此题主要考査了解育甬三角畛的应用，熟练应用锐角三角函敎关乗是解题关漣.14. 2021?,第22题12分小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏 OB与底板OA 所在水平线的夹角为 120°时，感觉最舒适如图 1，侧面示意图为图2;使用时为了散热， 她在底板下面垫入散热架 ACO/后，电脑转到 AO/ B/位置如图3，侧面示意图为图 4.0A=0B=24cm, Oz C丄OA 于点 C, Oz C=12c