43多项式方法求特征值问题

1、4. 3多项式方法求特征值问题4.3.1 F-L方法求多项式系数我们知道，求n阶方阵A的特征值就是求代数方程IA 1 I 0 431的根。称为A的特征多项式。上式展开为n丿pl n 1 p2 n 2Pn 其中PPz.-Pn为多项式的系数。从理论上讲，求A的特征值可分为两步：第一步直接展开行列式|A 1 |求出多项式 ；第二步求代数方程X 0的根，即特征值。对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量那么很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L Faddeev-Leverrier丨方法求特征方程丨中多项式 的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的

2、关键是确定矩阵A的特征多项式，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。记矩阵a= aj n n的对角线元素之和为trAan a22. ann 利用递归的概念定义以下n个矩阵Bkk1,2,.,n：p1 trB1B1 A,B2A(B1pj),B3A(B2p2!),P21trB2P31trB31丄厂 Pk -trBkkBkA(Bk 1pk 1 !),BnA(Bn 1 Pn1l), PnBn 可以证明,式中Pk*1,2,., n,即是所求A的特征多项式的各系数。用式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L方法。相应特征方程为：n nn 1n 2(1) (P1P2Pn)0 而且可证矩阵A的逆矩阵可表示为1

3、1A1 (Bn1 Pn1l)Pn(4.3.6)例1求矩阵3 2 4A 2024 23的特彳征值与A1解用F-L方法求得32 4BiA 20 242 3PitrB161124B2A(BiP1I)2824211P21-trB2152800B3A(B2P2I)080008P31trB383所以A的特征方程为(1)3( 36 2 158) 0此方程的根，即特征值为18,21311112421 1171A(B2 P2I)P3484111242从例1中的计算结果可知B3P3I Faddeev曾经证明：对n阶矩阵A,按式计算出的Bn总有BnPnI件 3.7432特征向量求法当矩阵A的特征向量确定以后，将这些

4、特征值逐个代入齐次线性程组A Ix=0中,由于系数矩阵A I的秩小于矩阵 A I的阶数n,因此虽然有n个方程n个未知数,但实际上是解 有n个未知数的相互独立的r个方程rn.当矩阵A的所有特征值互不一样时，这样的问题中要解的齐次方程组中有n-1个独立方程，其中含有n个特征向量分量，因此特征向量分量中至少有一个需要任意假设其值，才能求出其他特征分量在计算机中解这样的齐次线性程组，可用高斯-假设当消去法，以便把一组n个方程简化为等 价的一组n-1个方程的方程组然而，用高斯-假设当消去法简化一个齐次线性程组时，方程之间不都是独立的，在消去过程中系数为零的情况较多必需交换方程中未知数的次序，以防止主元素

5、位置上为零的情况因此，为了提高精度和防止零元素的可能性，我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置例如，假设矩阵A为4其特征方程为=0展开后为(1)( 2)(故特征值分别为1 1, 2 2,5)0F面求特征向量，将3x1 2x2 2x35xi 2x2 2x32x1 4x2 0x31代入方程组(A I)x 0中，得0 438以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得5x1 2x2 2x303x1 2x2 2x302x1 4x2 0x30(4.3.9)用高斯-假设当消去法消去-5所在列中的x1,并把主元素所在行调到最后，得0x10xi165 X216一X24 门x3054X3055X12

6、5X225%30再以16/5为主兀素，消去它所在列中的0x10x20X30X11 0x2- x300x11 x2x324 30(4.3.10)X2，并把主元素所在的行调到最后，得(4.3.11)这就是用高斯假设当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个独立方程的情形 为这个等价的方程组包含两个独立的方程其它两个值就可以通过两个独立方程解出 的一个特征向量为，而有三个未知数，所以只要假定其中一个值 比方，令x31 ,那么得到矩阵A的对应于.因，那么1 1对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对i 1的推导过程一样计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是，用第3章讨论过的高斯-假设当

7、消去法的公式，方程组(439)的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B为1651645452(4.3.12)以矩阵为方程组(4310)的系数矩阵，其中省略了有0和1元素的第一列，然后再进展必在进展第二次消元之前，要应用完全主元素措施对前两行进展最大主元素选择 要的行或列交换每完成一次消元过程，总省略只有0和1元素的第一列，并且计算机仅寻找矩 阵的前n-k行中的最大主元素，其中k是消元过程应用的次数.对(4.3.12)式再进展一次消元过 程，那么得到列矩阵B14(4.3.13)此矩阵是对应于方程组(4.3.11)的系数矩阵，不过省略了含0和1元素的前两列一般来说 最后 矩阵列的数目等于矩阵 A I的阶

8、数和秩的差值.由于方程组(4.3.8)有三个未知数，两个独立方程，所以计算机必须任意给定一个未知数的值，以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时，要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如，令x31，由方程组(4.3.11)知道，其他两个分量的值正好能从含x3的非零系数项得出.为此，从计算机所存储的最终矩阵中，令B1最上面的0元素为-1,并把它顺次调到最下面第三行的位置上 在工程问题中，从特征方程所求出的特征值，就得到所求的特征向量1)，少数情形也有一样的.一般地，当一个特征方程有k重根 时矩阵A I的秩可能比其阶数少1,或2,或3,，或k，当然对应于的线性无

9、关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,或k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法.设矩阵A为3 24A 2024 23其特征方程为324220423展开后得(1)2(8) 0121,3 8为了决定1的特征向量，将424%212X20424X3应用一次高斯-假设当消去法，得1代入方程组(A I )x=0,得(4314)所以特征值为(4.3.15)写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为性无关的特征向量。对应于1的全部特征向量为000000X2011/21X30B 01/2因为方程组(4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1

10、有两个线性无关的特征向量，必须给两个未知数任意规定值，才能确定这两个线性无关的特征向量，由4315式可看出，一般总是选择x21,x30求一个特征向量 选择x2,x31求另一个特征向量；这样有两个线性无关的特征向量1/21100 1计算机中求两个线性无关的特征向量的方法是，在(4.3.16)式的B中，把第一列中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替，然后把第一、第二行顺次调到最下面一行 的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线1/21k11 k2 001其中k1与k2是任意常数，且不同时为零。为了说明列交换的必要性，防止主元素为零，再举一

11、个例子，设矩阵A为2812A144001其特征方程为( 2) ( 特征值为1)01 2, 20, 31对应于2 的特征向量可由解以下方程组而求得4812X1124X2 0001X3(4.3.17)用一次高斯-假设当消去法，得001X1001X20123X3(4.3.18)假设不进展列交换， 那么下一个消元过程只能在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素 中找最大主元素，而它们都是零，我们不得不对(4.3.17) 式进展列交换，即交换未知数之间的次序，之后再进展消去过程 .对(4.3.17)式进展列交换，即把绝对值最大系数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为1284X3421X2 0100X1(4.3.19)其中未知数列矩阵中Xi与X3也进展了交换，这样才能保证(4317)式与(4319)式等价，对(4.3.19)式进展一次高斯 -假设当消去法，得02/31/3X302/31/3X2 012/31/3X11(4.3.20)再进展一次消去过程，得000X3100X2001 1/2X1(4.3.21)在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵0B0(4.3.22)将(4.3