函数及极限习题及答案

1、第一章函数与极限(A)一、填空题1、设f (x) J2r lg lg x ,其定义域为 2、设f(x) ln(x 1),其定义域为 。3、设 f(x) arcsin(x 3),其定义域为 。4、设f(x)的定义域是0 ,1,则f (sin x)的定义域为5、设y2、f(x)的定义域是0,2，则y f(x )的定义域为6、lim x一”工4 ,则 k=x 3 x 3x7、函数y 有间断点sin x8、若当x 0时，f(x),其中 为其可去间断点。sin2x,且“刈在* 0处连续，则f (0)9、lim (nn2 1nn2 210、函数f (x)在x0处连续是f(x)在x0连续的 条件。11、li

2、m但x2- 一1)(x 3x 2)c 5-32x 5x2. kn 312、lim (1 -) e，贝U k=。n nx2 113、函数y 的间断点是。x 3x 21 14、当x 时，,是比Mx 3 7乂 1 的无否小。x15、当x 0时，无穷小1 J1 x与x相比较是 无穷小。16、函数y ex在x=0处是第 类间断点。一53 x 1 一 ,一17、设y ,则x=1为y的 间断点。x 118、已知f J3则当a3sin x x19、设 f (x) 2x 1(1 ax)x x1 .时，函数f(x) asinx sin3x在x 一处连续。330 若lim f (x)存在，则a= x 00x sin

3、 x20、曲线y 2一 2水平渐近线方程是。x2121、 f(x) "4 x j , 的连续区间为。x 122、设 f (x)x a cosxx 0 _在x 0连续，则常数x 0a=二、计算题1、求下列函数定义域(1) y11 x2(2) y sinjx ；1 y ex ；2、函数f(x)和g(x)是否相同为什么(1) f (x)ln x2 , g(x) 2ln x ； f (x)x , g(x) Vx2 ；22(3) f(x) 1 , g(x) sec x tan x ；3、判定函数的奇偶性(1) yx2(1 x2)；2y 3x(3) yx(x 1)( x 1)；4、求由所给函数构

4、成的复合函数(1) ysin v5、计算下列极限(1)lim (1 n(2)lim n3 (n 1).2，n(3)lim 一x 2 x(4)lxm12x 1x2 1'(5)lim (1 x1 )(2 xlim x2 sin (9)(8)lim x( .x2 x1 x)6、计算下列极限(1)sin wx(3)(5)xc0txx 1、x 1xim(r72x2(x 2)2lxm1x2 1,3 x 1 xsin2x lim;x 0 sin 5x(4)(6)lim(x)x ;x 1 x1lim (1 x)x ;x 07、比较无穷小的阶(1) x0时，2x x2与 x2 x3 ；,、,12 x1时

5、，1x与一(1x2)；28、利用等价无穷小性质求极限“、tanx sin x(1) lim3x 0 sin x(2)limx 0sin(xn)(sinx)m(n , m是正整数)；x9、讨论函数的连续性f 0 x3 x , x10、利用函数的连续性求极限(1) lim ln(2cos2x)；x 一 6(2)lim (. x2 x xx x2x);sinx(3) lim ln；(4) lim(1 -)2xx1 设f(x)lim (1 -)，求 lim f();n nt yf(ex) t 1x 1(6) lim xln();x x 111、设函数f (x)应当怎样选择a ,使得f(x)成为在()内

6、的连续函数。12、证明方程x5 3x1至少有一个根介于1和2之间。(B)1、设f(x)的定义域是0,1,求下列函数定义域(2) y f (ln x)g(x)0 , x 0x2, x 0502、设 f(x)求 ff(x) , gg(x)fg(x) , gf(x)3、利用极限准则证明:(1) lim11- 1n . n(2)lim x- 1x 0 x(3)数列 22 , 22 42 , <222的极限存在4、试比较当x 0时，无穷小2x 3x2与x的阶。5、求极限(1).,2,、lim x(Vx1 x);x(2) lim(x-)x1x 2x 1(3)tanx sin xx a lim ( 一

7、x 0bxx 1-);(a0,b0,c 0);6、设 f(x)1 xsin 一x2a x要使“*)在()内连续,应当怎样选择数ai求f (x)的间断点，并说明间断点类型。x 17、设 f(x) eln(1 x)(021、已知 f(x) ex2、求下列极限：f (x) 1 x ,且(x) 0 ,求(x)并写出它的定义域。(1)、lim cosln(1 x) cosln x ； (2)、lim xsin x-cosx ；xx 0x2(3)、求 lim 3x一5 sin- ； (4)、已知 lim (xa)x 9 ,求常数 ax 5x 3 xx x a(5)、设f (x)在闭区间a,b上连续，且f

8、(a) a , f (b) b ,证明：在开区间(a , b)内至少存在一点，使f ()第一章函数与极限习题答案(A)-、填空题(3) 2 , 4(1) (1 , 2(4) x 2k x (2k 1)(5) .2 ,2(6) -3x 0(8) 2(9) 1、，、1(10)充分(11)2(15)同阶(16)二一、 3、一(12)(13) x=1 , x=2(14)局阶2(17)可去 (18) 2(19) -ln2(20) y=-2(21) 2,1 (1,2(22) 1二、计算题1、(1)(, 1) ( 1 ,1) (1,)(2) 0,)(3) (, 0) (0 ,)2、(1)不同，定义域不同(2

9、)不同，定义域、函数关系不同(3) 不同，定义域、函数关系不同(3)奇函数22sin x.x (3) y e (4) 0(5) 2(6)1 ，一2，一 1e e(6) e(2)是同阶无穷小3、(1)偶函数(2)非奇非偶函数4、(1) y (sin x2)2(2) y V15、(1) 2 (2) 1(3) -9一 一1(7) 0(8)2<2(9)26、(1) w (2) 2(3) 1(4)57、(1) 2x x2是x2 x3的低阶无穷小0 , m n，、1，、8、(1) (2)1, m n2,m n9、不连续(5) 0(6) -2(B)10、(1) 0(2) 1(3) 0(4) e211、

10、 a=11、(1)提示：由 0 ex 1 解得：x (, 0(2)提示：由 0 lnx 1 解得：x 1,e2、提示：分成 x 。和 x 0 两段求。ff(x) f(x) , gg(x) 0 ,fg(x) 0 , gf (x) g(x)4、(1)提示：1(2)提示:5、6、7、8、1、(3)提示：用数学归纳法证明:X XX .232 21提不：(1)(3)(4)提示:提示:提示:an乘以X21 X用等阶无穷小代换XXX a b c(3令2X1212提示：lim f (x) lim f (x)X 0X 0解:得：12、解:3、解:limX4、解:1x(- 1)X(2)提示:ax 1bxicx 1ax 1f(0)(a1是第二类间断点，X 0是第一类间断点因为f x原式=Xim0因为当Xt (同阶)除以2xbx 1 cx 1 "x0)(Qe 2(x) 10 。所以:xj X(3'abc)Vln(1 x),再由(x) . ln(1 x)xsin x cos2 xx(. 1 xsinx cosx)= lim1x 0 2ln(1一一一一2xsin x sin xXim0sinX/(x sinx) =0_ 2_ 2_3x 5.2,. 3x 5 sin = lim 5x 3 xx 5x 32=lim x x6x25x210 = 63x 5因为：9=