高等数学D10-习题

1、目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt习题课习题课一、一、 重积分计算的基本方法重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用三、重积分的应用 第十章 重积分的 计算 及应用 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt一、重积分计算的基本方法一、重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系使积分域多为坐标面(线)围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .图示法列不等式法(从内到外: 面、线、点)3. 掌握确定积分限的方法 累次积分法练习练习 P180 2 (3) ; 7 ; 8 (1), (3

2、)目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt2 (3). 计算二重积分,d222DyxR其中D 为圆周xRyx22所围成的闭区域.提示提示: 利用极坐标cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xO:Dcos0Rr 2222dP180解答提示解答提示:目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt7. 把积分zyxzyxfddd),(化为三次积分,其中 由曲面222,xyyxz0,1zy提示提示: 积分域为:原式220d),(yxzzyxf及平面220yxz12 yx11x12dxy11dx所围成的闭区域 .xyzP181O1目录 上页 下页 返回 结

3、束 编辑pptzD1zD28 (1) .计算积分2222RzyxzRzyx2222及,ddd2zyxz其中 是两个球 ( R 0 )的公共部分.提示提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式 =zDyx1ddzzzRzRd)2(2022利用“先二后一先二后一” 计算方便 .zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd)(2222548059RRzyx2RP181O目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptzxyO8 (3).计算三重积分,d)(22vzy其中 是由 xOy平面上曲线xy225x所围成的闭区域 .提示提示: 利用柱坐标sincosrzryxx原式522drx绕 x 轴旋

4、转而成的曲面与平面5221 xr100 r20rr d100320d3250:5P181目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt二、重积分计算的基本技巧二、重积分计算的基本技巧分块积分法利用对称性1. 交换积分顺序的方法2. 利用对称性或质心公式简化计算3. 消去被积函数绝对值符号练习题练习题*5. 利用重积分换元公式P180 1 , 4 , 8 (2), 11答案提示答案提示: (见下页) 4. 利用扩展积分域进行计算 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt1RxyzO1(1). 设1由0,2222zRzyx确定 ,2由0,0,0,2222zyxRzyx所确定 , 则 21d4d)(vxv

5、xA提示提示:C21d4d)(vyvyB21d4d)(vzvzC21d4d)(vzyxvzyxD右边为正 ,显然不对 , 故选 ( C )利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 ,:1上半球:2第一卦限部分2目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptD2D3D4D1(2). 则yxyxyxDdd)sincos(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示提示: 如图 ,4321DDDDD由对称性知0ddyxyxD在43DD yxsincos上是关于 y 的奇函数在21DD 上是关于 x 的偶函数A,)

6、,(ayxaxayxD),(1yxD ,0ayxaxxyaaaO目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptaxamyxamaxxfxaxxfy0)(0)(0d)(e)(d)(ed证明:提示提示: 左端积分区域如图,Dxy a交换积分顺序即可证得.P181 4.8(2).,d1) 1ln(222222vzyxzyxz求其中 是 1222zyx所围成的闭区域 .提示提示: 被积函数在对称域 上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 由球面P181yxO目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptR11. 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄

7、片,使整个的另一边长度应为多少?22xRy提示提示: 建立坐标系如图.,0y由已知可知Dyxydd022ddxRbRRyyx2332bRR 由此解得Rb32问接上去的均匀矩形薄片即有薄片的重心恰好落在圆心上 ,?bbRyxOD目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt例例1. 计算二重积分,dd)e(222yxyxxIyxD其中:(1) D为圆域; 122 yx(2) D由直线1,1,xyxy解解: (1) 利用对称性.yxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxyxDyxdde22围成 . yx1DO目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppty1x1OyxyxDyxd

8、de122(2) 积分域如图:1D2Dxyxy , xy将D 分为,21DDyxxIDdd2yxyxDyxdde22200dd1112xyxx32添加辅助线利用对称性 , 得yxyxxIyxDdd)e(222目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt例例2. 计算二重积分,dd)35(Dyxyx其中D 是由曲044222yxyx所围成的平面域 . 解解:2223)2() 1(yx其形心坐标为:面积为:9ADyxxIdd5923) 1(5ADyxydd3积分区域线形心坐标2,1yxDyxxAxdd1DyxyAydd1AyAx35目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt111 xyO例例3. 计算二

9、重积分,dd)sgn() 1 (2yxxyID,dd)22()2(22yxxyyxID122 yx在第一象限部分. 解解: (1)2xy 21, DD两部分, 则1ddDyxI1112ddxyx322D2ddDyx2011ddxyx; 1011:yxD，其中D 为圆域把D 分成1D作辅助线目录 上页 下页 返回 结束 编辑pptx1y1Oxy (2) 提示提示: 21, DD两部分 1DyxyxDdd)(22yxyxDdd)2(说明说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. xy 作辅助线2D将D 分成Dyxdd2yxxyyxIDdd)22(222) 12(32目录 上页 下页 返回

10、 结束 编辑ppt例例4.求抛物线及与直线022yxxy012 yx所围区域 D 的面积A .解解: :如图所示xy2324,12DDD 12ddDDAyyx122d34dyyyx22d12dy4312331221yyy1D2DD212331221yyy3252,d),(时计算Dyxf1),(Dyxf可扩展到若注注: 则也可利用上述方法简化计算. 上可积 , 1yxO目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt例例5. 交换积分顺序计算yxyxIxyxydedded23031010yxIDydde1yxDydde2yyyxy2310dedyyy10de)1 (3)2e(31xy )3(21xy1D

11、2D3解解. 积分域如图. xyO目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt例例6.,)0(, 0)0(,)(存在设ffCuf，求)(1lim40tFtt)(tF解解: 在球坐标系下trrrftF02020d)(dsind)(trrrf02d)(440)(limttFt利用洛必达法则与导数定义,得3204)(4limtttftttft)(lim0)0(f0)0(Fzyxzyxftzyxddd)(2222222其中 0)0(f 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt三、重积分的应用三、重积分的应用1. 几何方面面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明

12、某些结论等 2. 物理方面3. 其它方面目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt例例7.，上连续在设,)(baxf证明babaxxfabxxfd)()(d)(22证证: :左端yyfxxfbabad)(d)(yxyfxfDdd)()(222vuuv利用yxyfxfDdd)()(2221xxfabbad)()(2byabxaD:= 右端=yxxfDdd)(2xxfybabad)(d2目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt例例8.设函数 f (x) 连续且恒大于零, )(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftFtttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22其中,),()(22

13、22tzyxzyxt.),()(222tyxyxtD(1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +) 内的单调性; (2) 证明 t 0 时, . )(2)(tGtF(2003考研)zyt)(tx)(tDO目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt解解: (1) 因为 ttrrrfrrrftF0220022020d)(dd)(dsind)(ttrrrfrrrf02022d)(d)(2两边对 t 求导, 得202022d)(d)()()(2)(ttrrrfrrtrrftfttF, 0)(), 0(tF上在.), 0()(单调增加上在故tF f (x) 恒大于零, 目录 上页 下页 返回 结束 编

14、辑ppt(2) 问题转化为证 0)(2)(,0tGtFt时ttrrfrrrftG020220d)(2d)(d)(ttrrfrrrf0202d)(d)(即证 0d)(d)(d)(20202022tttrrrfrrfrrrf)(tg0d)()()(0222trrtrftftg,), 0()(单调增在故tg,0)(连续在又因ttg故有)0()0()(tgtg0因此 t 0 时, .0)(2)(tGtF因目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt利用“先二后一”计算.zyxVdddzDcyxzddd20abc34czczba022d)1 (2222221:czbyaxDz例例9. 试计算椭球体1222222cz