理论力学第二讲

1、通 知根据学院教学工作安排，接下来两周每周4学时，即：本周四（3月2日）上午第34节上课，第四周的周四（3月16日）上课。望周知。质点系和主要定理、定律一 质点系 动力学：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 质 点：具有一定的几何形状而几何尺寸大小可以忽略不计的物体 例：一滴水： 分子量：18， 假设：直径: ,则体积 质量， 阿伏伽德罗常数： 水滴中拥有的水分子： 质点系：由几个或无限多个相互有联系（相互作用）的质点所组成的系统。 例：固体、流体、太阳系等，刚体是质点系的一种特殊情况，其中任意两个指点之间的距离保持不变，-不变的质点系！ 例：质点被约束在一个光滑的平面上运动，质点上系着一根

2、长度为的轻绳，绳子穿过平面上的小孔，另一端系着质量为的指点，讨论质点的运动情况 解：（1）取柱坐标：对于指点其运动方程为： 为绳子的张力 未知 约束方程：对有运动方程： 解得： 质点系的性质：（1）不能简单地由所讨论问题的质点数目来决定 （2）根据物体（质点间）的相互作用性质来决定例如：太阳系中，只考虑太阳和地球，忽略其他行星的相互作用，以及太阳本身的运动，在考虑地球运动时，地球之受到太阳的作用力，而地球对太阳的作用力忽略不计，因此，地球就可以看作是只受到外力的质点，这样，该运动就是单质点的运动。若这种作用是相互的，则构成质点系！ （3）体系和外界的划分是相对的， （4）内力：质点系内部各质点

3、之间的相互作用力 外力：来自质点系以外，对于质点系个质点的作用力质点系的运动微分方程：3个质点受到5个约束，则方程的个数为：第个质点；：第个质点受到的力（合力）个独立的方程。个约束条件，个未知的约束力，未知量为需要独立的方程个数为对14个二阶联立微分方程进行求解，非常困难！牛顿动力学范围内，运用系统的动量定理、角动量定理、能量定理是解决该困难的一种方法。上述这3个定理是描述系统整体的物理标示量的变化规律，虽然不能给出体系内部的详细情况，但能够给出一些简洁的系统规律。牛顿第二定律二 动量定理、角动量定理、能量定理1 质点的动量定理或动量定理质点动量的变化率等于质点所受到的力质点系的动量定理设：个

4、质点组成质点系，第个质点的动量为：；受到的内力为：，外力为，由牛顿第二定律：定义 其中：是第j个质点对第i个质点的作用力 由牛顿第三定律： 所以 则 质点系动量的变化率等于体系所受到的合外力 若，则： 质点系动量守恒定律有时质点系得合外力不为零，但某一个方向上合力为零，在在这个方向上的动量为常量。如： 则 质心： 质心的速度 质点系的运动可以用质心的运动来表示，而质心的运动就像质点的运动一样 该质点的质量等于质点系的质量，作用在该质点上的力等于作用在质点系上的合外力 质心运动定理2 角动量定理 质点角动量定理： 角动量 ： 对上式微分：力矩质点角动量的变化率等于质点所受到的力矩质点系角动量定理

5、： 角动量：对上式微分：对上式中 ，对于任意一项，一定存在着对应的项 ，因为一般情况下， 与是平行的，所以质点系的角动量变化率等于作用在质点系上的所有外力矩的和，与体系内部的相互作用无关。若外力矩 则 角动量守恒定律以上的讨论都是对坐标原点进行的，若对于坐标中任意一点P，上述讨论仍然成立。 是第i个质点对P点的矢量对原点的角动量：对原点的力矩：将上式代入：中左端 所以： （1） 若P点是惯性系中的固定点，则：，（2） 若，角动量定理则不同，但是若 和在运动中永远平行，则，即（3） 若P点是质心：对于质心： 则 对于质心系：Oxyz 惯性系； Cxyz 质心系 这里的与中的不同。虽然两者都是对C点来说的，但是，中的是质心系中第i个质点的速度；中的则是惯性系中第i个质点的速度。一般情况下，和是不同的，因而，和也就不同，但是我们可以证明这两个量是相等的因为：， ； 由定义得： 质心系中的质心矢量 显然为零，所以，质心系中的角动量定理与惯性系中角动量定理具有相同的表达形式三 能量定理：质点的能量定理： 对时间微分： 作用在质点上的力所做的功等于质点动能的增加也可以做如下推导： 两端同时乘以 注意： 质点系动能定理： 质点系的动能的增加等于外力和内力所作的功之和 -动能定理质心系