实数(实数的概念运算及大小比较)

1、实数( 实数的概念、运算、及大小比较 )一 . 教学内容：第一单元 实数( 实数的概念、运算、及大小比较 )二 . 教学目标：1. 使学生复习巩固有理数、实数的有关概念 .了解数轴比较大值、非负(1) 了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念， 的绝对值的几何意义。(2) 会求一个数的相反数和绝对值，会比较实数的大小(3) 画数轴，了解实数与数轴上的点 对应，能用数轴上的点表示实数，会利用数 小。2. 通过复习，使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对 数的有关应用等。(1) 了解有理数的加、减、乘、除的意义，理解乘方、幕的有关概念、掌握有理

2、数运 算法则、运算律和运算顺序，能熟练地进行有理数加、 减、乘、除、乘方和简单的混合运算。(2) 了解有理数的运算律和运算法则在实数运算中同样适用，复习巩固有理数的运算 法则，灵活运用运算律简化运算， 能正确进行实数的加、 减、乘、除、乘方运算。，会按所(3) 了解近似数和准确数的概念，会根据指定的精确度或有效数字的个数，用四舍五 入法求有理数的近似值 ( 在解决某些实际问题时也能用进一法和去尾法取近似值 ) 要求的精确度运用近似的有限小数代替无理数进行实数的近似运算。(4) 了解计算器使用的基本过程。三 . 教学重点和难点：1. 有理数、无理数、实数、非负数概念；2. 相反数、倒数、数的绝对

3、值概念；3. 在已知中，以非负数 a2、Ia、(a>0)之和为零作为条件，解决有关问题。4. 使学生能熟练进行实数的加、减、乘、除、乘方、开方的混合运算，绝对值、非负数 的有关应用等。四 . 课堂教学：(一)知识要点： 知识点 1 :实数分类' 正整数 整数零有理数负整数实数正分数戾分数无理数方法(1)正无理数负无理数正实数 正有理数正整数正分数正无理数负实数 负有理数 '数负整方法 (2) 负无理数 ，负分注：有限小数、无限循环小数是有理数，可化为分数；无限不循环小数是无理数知识点 2: 实数的有关概念(1) 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴( 画数轴时

4、，要注意1：上述规定的三要素缺一个不可， 2 : 实数与数轴上的点是 对应的， 3: 数轴上任一点对应的 数总大于这个点左边的点对应的数 .)(2) 相反数实数的相反数是一对数 ( 只有符号不同的两个数， 叫做互为相反数，零的相反数是零 ). 注意：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称 .(3) 绝对值a(a >0)| a|=(= 0)-a(a <G)注意：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离(4) 倒数2实数a(0)的倒数是-(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；注意：零没有倒数 .知识点 3: 平方根、算术平方根、立方根若 x2= a, 则 x

5、 叫做 a 的平方根。记作 - L, 而正的平方根叫做算术平方根知识点 4：零指数、负整指数幕評 < 丄a°= 1 (aM0；赳卩 (a0知识点5:科学记数法、近似数、有效数字把一个数写成 ax10n( K av 10, n是整数)的形式一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，四舍五入得到的数从左边第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字叫做这个近似数的有效数字知识点6:三种重要的非负数(绝对值、偶次方、算术平方根)知识点7:常见的几种无理数(开方开不尽的数、含圆周率的数、无限不循环的数)知识点&实数的运算实数的运算法则(1) 加法同号两数相加，取原来的

6、符号，并把绝对值相加；异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。(2) 减法一F,(3) 乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零.即|包I 同号)ab= - | a| Jb(a 匕异号)0碱b为零)-=a-(b*C)(4) 除法 I 一ah =牛扒3臼(5) 乘方；对：(6) 开方如果x2= a且X > 0，那么-':-:;如果x3 = a,那么 ' : -:在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减.有括号时，先算括号里面 的.实数的运算律：加法交换律(1)加法结合律a+ b

7、= b+a(2)乘法交换律(a+ b) +C= a+( b+ C)(3)乘法结合律ab= ba.分配律(ab) C=a (bc)(5)a (b + C)=ab+ ac其中 a、b、c 表示任意实数 ?运用运算律有时可使运算简便知识点 9：实数的大小比较（常见的方法 - 数轴比较法；差值比较法；商值比较法；绝对值 比较 法）典型例题】例 1 判断题：（1）两有理数的和、差、积、商是有理数；（2）有理数与无理数的积是无理数；（3）有理数与无理数的和、差是无理数；（4）小数都是有理数；（5）零是整数，是有理数，是实数，是自然数；（6）任何数的平方是正数；（7） 实 数与数轴上的点 对应；（8）两无理

8、数的和是无理数。解：（ 1 ）对（ 2）不对（ 3）对（ 4）不对（ 5）对（ 6）不对（ 7）对（ 8）不对例 2 选择题：（1）如果 a 是实数，下列四种说法 /和I引都是正数， ，那么a定是负数, a 的倒数是，一 , a 和一的两个数表示的点分别在原点的两侧 , 其中正确的说法有（ A ）A. 0B. 1C. 2D. 3（2）下列说法中，正确的是（B ）A. |m| 与 m 互为相反数1与池-1 互为倒数B.2C. 1998.8 用科学记数法表示为1.9988 X 10D. 0.4949 用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0.50A 的范围是（ C ）B. 1.20 V A V 1

9、.30D. 1.300 < A V 1.3052006 年全年国内生产总值按9.5% ，达到 136515 亿元 ,（ 3）近似数 1.30 所表示的准确数A. 1.25 < A V 1.35C. 1.295 w A V 1.305（4） 可比价格计算，比上年增长136515 亿元用科学记数法表示（保留4 个有效数字）为（ B ）C?一1 元D. 1.J 二元例3填空题:(1) 下列各数中：T- , 0, : ;, -, 1.101001.辟，二:,：22 .22?cos60 7 , 2,有理数集合；正数集合.;整数集合J；自然数集合 .分数集合?;无理数集合. ;.?绝对值最小的

10、数的集合；5解:略(2)无理数a满足不等式1 ?一？.5请写出两个符合条件的无理数(3)观察下列数表:1234第仃?-第二2345行?-第三3456行?-第四4567行h/hih/第第第第-一-三四列列列列根据表中所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为11，第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为2n 1.JXlO= +10匸，,若卜-x2 = -+2 -x3 = -+3 1X4牛已知：一，-_ ,一(a、b都是正整数)，贝U a+ b的最小值是_佃例4有条件化简：卜-1 - J(a 2 产 +致 a-3 尸； 当1v av 2时，化简Ia +c+J(a-b-c) 3 ; a

11、, b, C为三角形的三边，化简 如图，化简Ial + Ib卜点匚磧+b+b解：因为1 V av 2所以原式=-i -=二.-a-3 因为 a+ b c|= a+ b C |a b c|= b + C a所以原式=a+ b c+ b + C a= 2b a +”_ J? 3+ | 玄 + $|=盘 +0L( o _占)_ 仏 + “)= 一盘一方例5无条件化简：化简 +2+-3解：步骤找零点；分段；讨论。当 mV 2 时'' I = m 2 + 3 m= 2m + 1当一 2< mW 3 时 21+1-3=m+ 2+ 3 m= 5当m>3时皿+ 21+-3=m+ 2

12、+ m 3= 2m 1例6阅读下面材料并完成填空：从中发你能比较两个数2004 2005和2005 2004的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比 较nn+1和（n + 1） n的大小（的整数），先从分析n = 1,= 2,= 3,这些简单的情况入 手，现规律，经过归纳，猜想出结论。通过计算，比较下列各组中两个数的大小（在横线上填“、=、v ”号= 12 _ 21 : 23 32; 34 43; 45_54; 56 65; ® 67 76 : 78 87（2）对第（1）小题的结果进行归纳,猜想出nn+1和（n + 1） n的大小关系是 （3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结

13、论是:2004 200520052004解：(1)V V >>>>>(2) 当 n V 3 时，nn+1 v( n+ 1)nn+ '( n + 1)(3) 2OO4 2005 > 2005 2004例7计算:2001+0)丄+16-(-I)-2+ 护-+ (护 +坦 30。65(1)原式=3 1 + 4X ? +解:=4 +(2) 0.3 一 1 ( I )2+ 43- 31+( n - 3) 0+ tg230凹 11 321=:36 + 64 二 + 1+ _- =?分析：本题运用方根的概念，零指数幕的法则， 负整数指数幕的法则，特殊三角函数值分母

14、有理化等知识加以计算。分析：这道题隐含着av 0是解此题的关键，而av 0 时,Ial= a,这一点是该题错误的根本原因，另外，在化简J时，注意计算步骤要严谨。解：原式=a，'-:()例 9 若 Ial= 3：二-,abv 0,贝 U a b=分析：本题主要是运用绝对值的意义、二次根式成立的条件等数学知识。解：因为|a|= 3所以a= 3或a= 3爲二2 b=4又因为abv 0所a= 3, b = 4所以a b= 7拓展：此类命题拓展的思路是将绝对值、方根、代数式的化简综合构建考题。如计算(1)当 _ L 一时，°'Irr =（2）若 皿互为相反数，则 a2006a2

15、0071例 10 已知： X X X X X X例 11 给出下列算式 :32 12= 8= 8X 152 32= 16 = 8 X 272 52= 24 = 8 X 392 72 = 32 = 8 X 4 观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。解：2n+ 1） 2（ 2n 1） 2= 8n （ n 取正整数）蕴含着一种数学简洁的美。同时可考查观察能力和抽象概括能力， 通过观察给出的运算， 找到反映其规律的表达式。 查对知识的掌握，同时考查观察分析的能力。是 渗透着从特殊到一般的辩证关系。 该题考 这是中考中的热点问题， 此类问题不仅预测：本题以列代数式为载体，体现了用

16、字母表示数的简明性和普遍性3.A.B.C.D.模拟试题】（答题时间： 30 分钟）. 选择题1. F 列说法正确的是（ ）2. 和数数轴。上的点A.整数对应的数是（）B. 有理数C.无理数D.实无限小数都是无理数 无理数都是无限小数 带根号的数都是 无理数 不带根号的数一定不是无理若 2a 与 1 a 互为相反数，则 a 等于（D.A. 1B. 1C.4.当=a时，实数a在数轴上对应的点在（A .原点右侧）B. 原点左侧C.原点或原点的右侧D. 原点或原点的左侧5?代数式 + + 的所有可能的值有 (A. 2 个B. 3 个C. 4 个D.无数个6.相乘，如果负因数个数是奇数，下列命题中：则积

17、必为负；(1) 几个有理数(2)(3)两数之积为 1，那么这两数都是 两个实数之和为正数，积为负数，1 或都是 1 ;则两数异号，且正数的绝对值较大；(4)其中错误的命题的个数是 (一个实数的偶次幕是正数，那么这个实数一定大于零，)A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个.填空题7. 0 的相反数是 _ , 3刃的相反数是 ，九-匸的相反数是 ; JI 的绝对值是 , 0 的绝对值是 _ ，応- 川的倒数是 8. 把下列语句译成式子：(1) a 是负数 (2) a、b 两数异号 (3) a、b 互为相反数 (4) a、 b 互为倒数 (5) x 与 y 的平方和是非负数 (6) c、

18、d 两数中至少有一个为零 (7) a、b 两数均不为 0 9. 数轴上点 A 表示数 1, 若 AB = 3, 则点 B 所表示的数为 10. 2006 年底国家统计局公布我国总人口 129999 万人，如果以亿为单位保留两位小数，可以写成约为 亿人。11. 若(X 1) x+2= 1,贝 V X 的值是 。12. 我国数学家刘徽，是第一个找到计算圆周率n方法的人，他求出n的近似值是3.1416,如果取 3.142 是精确到 _ 位，它有 _个有效数字，分别是 _。13. 我国的国土面积约为 9600000 平方千米，用科学记数法表示为 平方千米。14. 若 n 为自然数时， ( 一 1) 2n+1+( 1) 2n=_15. 已知： | x| = 4, y =且 x>0,yv 0, 贝 V