题型一求轨迹方程利用中间变量法(转移法)是求轨迹问题的重要方

1、题型一：求轨迹方程题型一：求轨迹方程:利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。相关点法相关点法（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）（代人法）：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。根据相关点所满足的方程即可求得动

2、点的轨迹方程。 例 1双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心2219xyP12,F F12PFF的轨迹方程。M解析：设点坐标各为，在已知双曲线方程中，,P M11( ,),( , )P x yM x y3,1ab9 110c 已知双曲线两焦点为，12(10,0),( 10,0)FF存在，12PFF10y 由三角形重心坐标公式有，即 。11(10)103003xxyy 1133xxyy，。10y 0y 已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有P22(3 )(3 )1(0)9xyy即所求重心的轨迹方程为：。M2291(0)xyy点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程

3、的方法。例 2 （2001 上海，3）设 P 为双曲线y21 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段42xOP 的中点，则点 M 的轨迹方程是 。解析：（1）答案：x24y21设 P（x0，y0） M（x，y） 2xx0，2yy02,200yyxx4y21x24y21442x 点评：利用中间变量法（转移法）是求轨迹问题的重要方法之一。练习练习：1、在双曲线的两条渐近线上分别取点和，使)0, 0( 12222babyaxAB（其中为坐标原点，为双曲线的半焦距） ，求中点的轨迹。2|cOBOAOCAB2、若动点 P 在 y=2x2+1 上移动,则点 P 与点 Q(0,-1)连线中点的轨迹方程是_ （

4、y= -2x2-3）3、已知ABC 中，B（1，0） 、C（5，0） ，点 A 在 x 轴上方移动，且tanB+tanC=3，则 ABC 的重心 G 的轨迹方程为_.3、解：设 A（x0，y0） ，tanB+tanC=3，=3，点 A 的轨迹方程为100 xy500 xyy0=（x026x0+5） （x01 且 x05）.43若 G（x，y）为ABC 的重心，则由重心坐标公式：x=，y=，x0=3x6，且 y0=3y.3510 x30y代入 A 点轨迹方程得 G 的轨迹方程为y1=（x3）2（x且 x）.4937311答案：y1=（x3）2（x且 x）49373114、斜角为的直线交椭圆于两点

5、，则线段中点的轨迹方41422 yxBA,AB程是 二、充分利用韦达定理及二、充分利用韦达定理及“设而不求设而不求”的策略的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。中点等问题中常常用到。典型例题 例 1 已知中心在原点 O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于 P、Q 两yyx1点，且，求此椭圆方程。OP OQ|PQ 102 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于 Paxbyab2210()yx1、两点。()xy11，Q xy()22， 由方程组消去后得yxaxby11

6、22y ()ab xbxbxxbabx xbab 2121221021， 由，得 （1）kkOPOQ 1y yx x1212 又 P、Q 在直线上，yx1 yxyxy yxxx xxx1122121212121213111，( )( )()()() 把（1）代入，得，2101212x xxx() 即21210()babbab 化简后，得 （4）ab 2 由，得|PQ 102()()xxyy12212252 ()()()()xxxxx xbabbab1221221225445424154， 把（2）代入，得，解得或48302bbb 12b 32 代入（4）后，解得或a 32a 12 由，得。ab

7、 0ab3212， 所求椭圆方程为322122xy 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。例 2：已知常数 a0，向量，经过定点 A（0，a）以为(0, ),(1,0)ma nmn方向向量的直线与经过定点 B（0，a）以为方向向量的直线相交于点 P，其中2nmR（）求点 P 的轨迹 C 的方程；（）若过 E（0，1）的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点，求的取,22aENEM 值范围解：（）设 P 点的坐标为（x，y） ，则),(),(ayxBPayxAP又(1,0),(0, ),( , ),2(1,2)nmamna nma故由题知向量与向量AP,().mnyaax

8、平行故又向量与向量BP,2.nmyaax平行故两方程联立消去参数，得点 P（x，y）的轨迹方程是 .2,2)(222222xaayxaayay即（），故点 P 的轨迹方程为22a, 12222 xy此时点 E（0，1）为双曲线的焦点若直线 l 的斜率不存在，其方程为 x=0，l 与双曲线交于、，)22, 0(M)22, 0( N 此时 .21211) 122)(122(ENEM若直线 l 的斜率存在，设其方程为化简得代入, 1 kxy12222 xy . 014) 1(222kxxk直线 l 与双曲线交于两点，. 1. 010) 1(8)4(222kkkk解得且设两交点为， ),(),(221

9、1yxNyxM则.) 1(21,12221221kxxkkxx此时),(),() 1,() 1,(22112211kxxkxxyxyxENEM).121 (21) 1(21) 1(22221221221kkkxxkxxkxx当;21)121(21, 01,1122kENEMkk故时当.21)121 (21, 01,1122kENEMkkk故时或综上所述，的取值范围是 ENEM ).,2121,(提炼方法:1.交轨法也是求轨迹方程的一种重要方法,具体过程是:(1).建立动直线(或曲线)的方程;(2).消去动直线(或曲线)方程中的参数,得到交点(即动点)坐标 x,y 的方程即为所求.2.“设而不求

10、”是解题(2)的一个亮点.在解直线与圆锥曲线交点、弦长、斜率等问题时，利用韦达定理、中点公式作整体代换处理，是简洁高效化难为易的好方法。3.以向量的形式给出题设,或用向量的方法求解解析几何问题,是一个新的命题方向,应多留心关注. 变式练习：变式练习：1、若双曲线方程为，AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦，Mxayb22221为 AB 中点，设 AB、OM 的斜率分别为，则kkABOM、kkbaABOM22三、整体法（设而不求法）：当探求的轨迹较复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种三、整体法（设而不求法）：当探求的轨迹较复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成一

11、个整体，从整体出发运用整体思想，注重整体结构的挖掘和分析。关系看成一个整体，从整体出发运用整体思想，注重整体结构的挖掘和分析。注意：所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中注意：所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中的取值范围。的取值范围。yx, 例 1、AB 是圆 O 的直径，且AB2a，M 为圆上一动点，作 MNAB，垂足为 N，在 OM 上取点 P，使OPMN，求点 P 的轨迹.解：以圆心 O 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立直角坐标系（如下图） ，则O 的方程为 x2y2a2，设点 P 坐标为（x，y） ，并设圆与 y 轴交于 C、D 两点，作 PQAB 于Q，则有.|OMOP|MN

12、PQOPMN，OP2OMPQ.x2+y2ay，即 x2（y）2（）2.2a2a轨迹是分别以 CO、OD 为直径的两个圆.例 2、 设直线 xy=4a 与抛物线 y2=4ax 交于两点 A，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求 ABC 的重心的轨迹方程分析：，是定点，影响 ABC 的重心运动的因素是抛物线上的动点，故选点的坐标作参数解：设 ABC 的重心为 G(x,y) ,点 C 的坐标为 C(x0,y0),A(x1,y1), B(x2,y2) 由方程组：消去 y 并整理得：axyayx442x212ax+16a2=0 x1+x2=12a, y1+y2=(x14a)+(x24a)=(x1+x2)8a=4a头 头头 头头 头 头头头 头头 头头 头头http:/ 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头由于 G(x,y)为 ABC 的重心, ,343312302100210ayyyyyaxxxxx, 又点 C(x0,y0)在抛物线上，ayyaxx4312300将点 C 的坐标代入抛物线的方程得：(3y4a)2=4a(3x12a), 即(y)2 = (x4a) 34a34a又点 C 与 A，B 不重合，x (6)a5 O x yA B P Q M N C