双曲线的性质A知识讲解

1、双曲线的性质编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1 .理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质2 .能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3 .能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质356749知识要点二】要点一、双曲线的简单几何性质22xy双曲线221(a>o, b>o)的简单几何性质ab对于双曲线标准方程2 y b21 ( a>0, b>0),把x换成-x ,或把y换成-y ,或把x、y同时换成-x、-y ,方程都不变，所以双曲线2x2a2 y b21 (a>0, b>0)是以x轴、y轴为对称轴的轴对

2、称图形，且是以范围2Q X21 即 x2a2ax a或 x a双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 xw -a 或 x>a.对称性原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。顶点双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。22双曲线* ya2b2A (-a, 0), A2 (a,0),顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。1 (a>0, b>0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为两个顶点间的线段AA2叫作双曲线的实轴； 设Bi (0, -b), B2 (0, b)为y轴上的两个点，则线段

3、BR叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|AiA2|=2a , |BiB2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作e -2c -2a a因为c>a>0,所以双曲线的离心率 e c 1。a由 c2=a2+b2,可得 b a22c a2a(c)21Je2 i ,所以P决定双曲线的开口大小, -越大，e也aa我们把直线| MN |双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。

4、越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线a b ,所以离心率e渐近线经过点A Ai作y轴的平行线x=±a,经过点Bi、B2作x轴的平行线y=±b,四条直线围成一个矩形(如图)，矩形的两条对角线所在直线的方程是bx叫做双曲线的渐近线; ax2a2xabx x2【高清课堂：双曲线的性质356749知识要点一、3】要点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较标准方程22x y , 7T 1(a 0,b 0) a b22yx,A 7-21(a 0，b 0)a b乂vJ奥图形一I -，.一£,.r ti0x认bN性质焦点Fi( c,0)

5、, F2(c,0)Fi(0, c), F2(0,c)焦距IF1F2I 2c|讦21 2c (c a a2 b2)c V a2 b2)范围x xa或x a, y Ry ya或y a , x R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(a,0)(0, a)轴实轴长=2a ,虚轴长=2b离心率ec (e a1)渐近线方程b y - x aa y - xb要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的系数,如果x2项的系数是正的，那么焦点在 x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上。对于双曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在

6、哪一条坐标轴上。要点三、双曲线的渐近线(1)已知双曲线方程求渐近线方程:222若双曲线方程为 22 t 1,则其渐近线方程为， a ba2b20已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。(2)已知渐近线方程求双曲线方程:若双曲线渐近线方程为 mx ny 0,则可设双曲线方程为,根据已知条件，求出即222与双曲线x2 a2 y b21有公共渐近线的双曲线方程可设为2x2a2；2(0)(0 ,焦点在x轴上,(3)与双曲线与 4 1有公共渐近线的双曲线 a2b2双曲线0 ,焦点在y轴上)(4)等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为y x,因此等轴双

7、曲线可设为 x2 y2(0).要点四、双曲线中a,b,c的几何意义及有关线段的几何特征:双曲线标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：c>b>0, c>a>0,且c2=b2+a2。2(1)实轴长 | A1A2 | 2a,虚轴长2b,焦距IF1F2 | 2c,(2)离心率：e |PFl |PMilIPF2I lAFilIPM2I lAKill A2F2 lIA2K2I1 b；e 1;(3)顶点到焦点的距离:a, IAF2A2Fi| a c；yr 1 (a

8、 0,b 0),如图: b(4) PF1F2中结合定义 呼I |PF2| 2a与余弦定理，将有关线段|PFi|、|PF21、|FiF2|和角结合 起来.(5)与焦点三角形 PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理(或勾股定理)、 ，、1. 二角形面积公式S PF1F2 -|PF1| |PF2|sin F1PF相结合的万法进行计算与解题，将有关线段|PFi|、| PF?|、IF1F2I，有关角F1PF2结合起来，建立|PFi| |PF2卜|PFi| |PFz|之间的关系.【典型例题】类型一：双曲线的简单几何性质【高清课堂：双曲线的性质356749例1】2. 2例1.求双曲线1

9、6x 9y 144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率22【解析】把方程化为标准方程 1 ,由此可知实半轴长a 3 ,虚半轴长b 4 , c J02b2 59 16，双曲线的实轴长 2a 6,虚轴长2b 8,顶点坐标(0, 3), (0,3),焦点坐标(0, 5) , (0,5),c53离心率e渐近线方程为y-xa34【总结升华】在几何性质的讨论中要注意a和2a, b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示.举一反三：2倍，则m等于()【变式1】双曲线 mX+y2=1的虚轴长是实轴长的A.1B. - 4C. 4D. 144【答案】A223【变式2】已

10、知双曲线8kx ky =2的一个焦点为(0,万)，则k的值等于()A. - 2 B.1 C.-1 D.-2【答案】C类型二：双曲线的渐近线例2.已知双曲线方程，求渐近线方程。9161； (2)2y16(1)双曲线22x y9 161的渐近线方程为:2y 0164 _x3(2)双曲线2y161的渐近线方程为:2y 016【总结升华】双曲线2x2a2y2 1 (a 0,b b20)的渐近线方程为双曲线2y2a2xb2线方程为xax；若双曲线的方程为 b2x2m2y2n0,0,焦点在1的渐近x轴上，y轴上)，则其渐近线方程为2x2m2y2n【变式1】求下列双曲线方程的渐近线方程2/、 x(1)162

11、y36(2)22x 2y8;(3)2x2721)(2) y(3)2x【变式2】中心在坐标原点,离心率为55的圆锥曲线的焦点在3y轴上，则它的渐近线方程为()A. y5x B4D例3.根据下列条件,求双曲线方程。2x(1)与双曲线92y 1有共同的渐近线，且过点16(3,2V13);(2) 一渐近线方程为3x 2y 0,且双曲线过点M (8,6 . 3)【解析】(1)解法一:2 x当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为 xab2b 4由题意，得 a 3=2 ，解得a2 9 , b2 4(3)2(2 3)214a2b2所以双曲线的方程为4x2当焦点在y轴上时，设双曲线的方程为2y2a2xb2由题意，得

12、23)2b /V24一3 l3)2J a a - b(217去舍综上所得，双曲线的方程为224x y 194解法二：设所求双曲线方程为22x y9160),将点(3,2、:3)代入得2 X所以双曲线方程为9亡1即里 16 49(2)依题意知双曲线两渐近线的方程是-y0.2 322故设双曲线方程为y-,49点M (8,673)在双曲线上,.W迎史，解得4, 4922所求双曲线方程为 x y 1.16 36【总结升华】求双曲线的方程，关键是求a、b,在解题过程中应熟悉各元素a、b、c、e及准线)之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程ax by 0 ,可设双曲线方程为2 2,22

13、a x b y0).【变式1】中心在原点,2一个焦点在（0,3），一条渐近线为y 2x的双曲线方程是（）3A 5x2八.365y42 1B.5x23655y2113x2 C.8113y2 1 I 36D.13x28113y2 136【变式2】过点(2,-2）且与双曲线y21有公共渐近线的双曲线是（）2A. y2B.2y22C. y4D.2y4【变式3】设双曲线1(a0）的渐近线方程为3x 2y 0,则a的值为D. 1【变式4】双曲线2x2a2 y b22 x 1与二 a2 y b20）有相同的（）A.实轴 B.渐近线.以上都不对A. 4类型三：求双曲线的离心率或离心率的取值范围220）的左、右

14、焦点，过R且垂直于x轴的直线与双曲线的左例4.已知Fi,F2是双曲线x2 y- 1(a ba b支交于A、B两点，若 ABF2是正三角形，求双曲线的离心率。ABF2是正三角形,| AF1 | 2ctan30o2.3oc, |AF2| 2ctan3032ccos30o4.3c3| AF2 | |AFi|迪c述c述c 2a,e c 3a求双曲线离心率的关键是由条件寻求【总结升华】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数,a、c满足的关系式，从而求出 e【高清课堂：双曲线的性质356749 例 2【变式1】过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点间的距离为一 i2 31(a 0,b 0)的离

15、心率e 土，22(i)已知双曲线 4a2b233 ,求双曲线的方程.2(2)求过点(-1,3),且和双曲线22y- 1有共同渐近线的双曲线方程492【答案】(1) A322至 1y2 1273【变式2】等轴双曲线的离心率为【答案】2【变式3】已知a、b、c分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距，且方程ax2+ bx + c=0 无实根,则双曲线离心率的取值范围是()A. 1<e< v5 - 2 B - 1<e<2C. 1<e<3 D . 1<e<2 + v>5类型五：双曲线的焦点三角形例5 .已知双曲线实轴长 6,过左焦点F1的弦交左半支于 A、B两点，且| AB |8,设右焦点F2,求ABF2的周长.【解析】由双曲线的定义有：| AF21 |AFi| 6,四| |BFi| 6, (I AF2 | BF2 |)(|AFi| |BFi|) 12.即(| AF2 | BF2 |)| AB| 12 | AF2 | |BF2| 12 | AB| 20.故 ABF2 的周长 L |AF2| |BF2| |AB| 28.在双曲线的焦点三角形中，经常运用【总结升华】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特