胡不归与阿氏圆

1、“ PA+k PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k-PB'型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。1 .当k值为1时，即可转化为“ PA+PB'之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理；2 .当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。【知识储备】线段最值问题常用原理：三角形的三边

2、关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；两点间线段最短；连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；1【模型初探】（-）点P在直线上运动“胡不归”问n如图1-1-1所示,已知sinZMBN-k,点P为角其中一边酬上的一个动点，点A在射线国L BX的网测，连接AP,则当"PA+k - FB打的值最小时，F点的 位置如何确定？分析，本题的关犍在于如何确定“kPB”的大小，过点P作国_LBN垂足为Q.则 k 阴二PB - sinZMB=FQh二本题求“PA+k FB”的最小值转化为求“FR-FQ”的最小值（如图1-1-2） 即A、P,。三点共线时最小（如图1-3）,本题得解.

3、思考当k值大于1时.少和4a用"线段求和闫塔谟如忖转化呢?提现源数及即可2数学故事】从前I4个小伙子在外地学徒 当他获派在家的老父亲病危的消息后.网忆队后程赶路/由于思多心切.他只考虑了两点之陶线段最厘的原 理，所以选择了全是沙砾地带的直践踏容A-B（如图防示，而意就了走折级鼠 然路程多但速度快的实际情况.士 端吁吁地赶到黎时男老人刚刚1B 了气，小 伙子尖声痛矍.邻国劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着”胡不!L?胡不打？何以归二 送代古老的传漫,引起人们的思蒙,小伙子能降梃前到 室T碗若可以*能应该选掾一条怎样的路线嗯？这就是风干百年的"胡不归问 胞二a5以1【典

4、型例题】L 1胡不归问题）如图，四边形.4BLU让菱彤，ABT,且ZABO6U ,她为对角线HD （不自B点）上任意一点则AM-BM的最小值为分折：如何将BM转化为其他线段呢?即本趣k值为:，必须忖化为某一角的正弦值啊.即转化为3（T角的正弦值.思考到这里.不难发现.只要作UN垂直于BC.则即砧最小转化为AMHtN最小，本题得解.详解:如图，作A5LL于BC垂足为N,丁四边形ABCD是菱形且/ABC飞0口 .A ZDBC-30Q .即 sin/DBC=!二襄，-j5M2Z,AM+-BMAM+MCr即 物一 的最小值为AN.22在RTAABK中，AN=M 我口/世小 = 35.7上，贴” ；em

5、的最小值为3a【变式训练】（胡不归问题）L.如图，等腰AABC中杷=AC=3, BC=2, BC边上的高为A0,点D为射茂A0上一点，一动点P从点A出发，沿4D-DC运血 动点P在AD上运动速些3务单位:每秒，动点P住CD上运动的速度为L个单位每秒，则当AD二 时,运动时间最短为 杪.答案：河卡2.如图，在菱形ABCD中，AF6,且/ABC=15（T ,点P是对角税AC上的一个动点, 则PA+PB+PD的最小值为.答案：60(216 56.52)+ 216【模型类比】> “阿氏nr问题（二）点p在圆上运动如图所示2 1-1, 00的步径为I.点4. B都在00外，P为。上的动点，已知r-

6、k0B.连接PA. PB,则当*PA+kPB”的值最小时,P点的位置如何确分析：本题的关键在于如何确定“kPB”的大小，（如图2-1H）在线段0B上截取0C使OC=k - r,则可说明ABPO与PCO相似，即k PB=PC0，本题求*PA+k - PB，T的最小值转化为求*PA4PC*的最小值，即A. P、C 三点共线时最小I如图本题得解。【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，己知平面上两点A, B,则所有满足 PA=kPB CkHl）的点F的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼 斯发现，故称“阿氏圆二“阿氏画” 一般解题卡骤：第一步：连接动点至圆心0 （将系数不为1的线段的两个端点

7、分别与圆心 相连接），则连接OP、0B；第二步：计算出所连接的这两条线段OP、口B长度：第三步：计算这两条线段长度的比黑=£第四步：在0B上取点C,使得知=器，第五步:连接AC,与圆0交点即为点P,"胡不归H构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=sinZCAE>过终点作所构角边的垂线利用垂线段最短解决问题8图I ：“阿氏圆”构造共边共角型相似构造PABsACAP 推出 PA2 = AS7C即：半径的平方二原有线段X构造线段72.(阿氏圆问题)如图,点A、B在C9上.且0Pf0R=6,且OALOB,点C是0A分析：如何将2PC转化为其他缓段呢？不难发现本题出现

8、了中点，即2倍关系fC就出现九 套用“阿氏圆模型：0相迨共边其角相似构造共边共角相似半径的平方二原有线段X构造线段一详解连接0P3线。A上截取36.1Lip： / =OCmOE AAOPCAOEPPE = 2PC，2PC + PD = PE + PD,即 P、D、E T点共线最小./C /在 RTZkOED 中，DE-Jda'qK m Jl“144 - 4jlO°即2PC + PD的最小值为4而.变式思考(1)本题如要求“Fb + PD”的最小值你会求吗？ dpi(2)木感如要求“P+，D"的最小使你会求吗？|-一-兀7答案：。)二灰(12) 3M= 0.738 =

9、 73.8%的中点，点D在OB L,且0D 1,动点P在00上，则上PC+PD的最小值为12【中考真题】胡不归问题）L （2016徐州）如图，在平面直角坐标系中十二次函数尸ax斗bx+c的图像经过点A3 Ok Rm一百），C0）.其中对称轴与轴交于点Th若P为¥轴上的一个动点，连接PD，则！用十即的最小值为-T1工（2014.成都）如图p已知抛物线.1*字（K功.4）与x轴从左至右依次交于点A、B,与y轴交于点3经过点B的直线下- -4»¥与抛物线的另 个交点为段F为线段加上一点（不含端点）,连接AF, 一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运司到F,

10、修沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D答案工:小，卜:二6）【中考真鹿】（2017 甘希丝州）如图,抛物级尸=-/*京"与直线"交于443 > J 0,4两点.更线4 I =16交,釉与点C,点E 2是口线上的动点,过点七作即上M轴交于点尸，交抛物线于点口.（D求抛物线¥= X,以卜的表达式；心.）连接G3r E。,当四边界在£0月是平行回功膨时.求点G的坐标：（3】在*轴卜存在一点H,连接EW , HF .当点上运动到什么便置时.以WW凡H为顶点的四边形是矩形？求出此时点及H的坐标;在的前提下，以点E为圆心,团长为半径作圆，点M为QE上一动点，求答案；(1)- x' - 2x+4? (2) C ( - 2» 4)；E ( - 2, 0)* H (0, - 1);PA+k PB” （ kw 1 的常k PB这条线段的长度转“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将化为某条具体线段 PC的长度，进而根据“垂线段最短或两点之间线段最短”的原理构造最 短距离。不过两类问题的难点都在于如何对k值进行转化，“胡不归”需要构造某