练习6答案函数的最大小值与导数

1、练习6函数的最大小值与导数11 .设函数 f(x) = 2x+- 1(x<0),则 f(x)()xA.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数,1 2x2 1斛析：选 A f (x)= 2 =2,x x令 f' (x)=0,得 x=一当.当x<W时，f' (x)>0,当一¥<x<0时，f' (x)<0,，x =乎是函数f(x)的极大值点，也是最大值点.2,函数y= 2x33x212x+5在 2,1上的最大值、最小值分别是()A. 12, - 8B. 1 , 8C. 12, 15D. 5, 16解析：选 A y'

2、=6x2-6x-12,由 y' =0?x=1 或 x= 2(舍去).x= - 2 时，y= 1; x = 1 时，y=12; x= 1 时，y = 8.ymax =12, ymin = 一 8.故选 A.3.函数f(x) = 2+1, xC (0,5的最小值为()xA. 2B 3C.147D. 2V2+ 2和加 、比 ，1 1 x3T/日斛析：选 B 由 f (x) = y-.= x2 = 0,得 x= 1 ,且 xC (0,1)时，f' (x)<0, xC(1,5时,f' (x)>0,.x=1时，f(x)最小，最小值为 f(1)= 3.4,函数y=1&qu

3、ot;一2的最大值为()xA. e 1B. eC. e2D. 10一 、“ 人， In x ' x In x 1 In x .一 ,解析： 选 A 令 y =2=2- =0?x=e.当 x>e时，y <0; 当 0Vxxxve时，y' >0,所以y极大值=f(e)= e-1,在定义域内只有一个极值，所以ymax= e 1.5.函数y= x+2cos x在0）,上取取大值时）x的值为（）兀A. 0 B.三6 兀兀C.o D.7 321 解析：选 B y = 1 2sin x,令 y = 0,得 sin x = -,.<兀 兀，11. x C 0, 2 ,

4、- x= 6.由 y >0 得 sin x<2, .0Wx<6;由 y' <0 得 sin x>1, I- 6<x< 2,.二原函数在0, 2上单调递增，在6TT TT .6,-上单倜递减.当 x=0时，y=2,当* =y=j,当 x=j时，y=+ V3, - 6'+ V3>2>2，.二当 x=6C时取最大值，故应选 B.6 .函数f(x) = x2 54(x<0)的最小值是 x 、，解析：f' (x)=2x+5|.令 f'(x)=0,知 x = 3. x当 x<3 时，f' (x)<

5、;0;当一3<x<0 时，f' (x)>0.所以当x=3时，f(x)取得极小值，也是最小值，所以 f(x)min = 27.答案：277 .函数f(x) = xe x, xC 0,4的最小值为 .解析：f' (x)= e x xe x = e x(1 x).令，(x)=0,得 x=1(e x>0),.f(1) = 1>0, f(0) = 0, f(4) = >0, ee所以f(x)的最小值为0.答案：08 .若函数f(x)=x3- 3x- a在区间0,3上的最大值、最小值分别为m , n ,则 m- n =解析：. f， (x)=3x23,

6、.当 x>1 或 xv1 时，f' (x)>0;当一1vxv 1 时，f' (x)V0.f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增.f(x)min = f(1) = 13a= 2 a= n.又. f(0) = a, f(3)= 18a, . f(0)vf(3).，f(x)max= f(3)= 18-a=m, m-n= 18-a- (2 a) = 20.答案：209.已知 k 为实数,f(x)=(x24)(x + k).(1)求导函数f' (x);(2)若x=1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间2, 2上的最大值和最小值.解：(1) .1 f(x)=

7、 x3+ kx2 4x 4k, f' (x)=3x2+2kx 4.，.，.r1(2)由 f' (-1)=0,得 k=-2. -c 1 cf(x)= x3 2x2 4x+ 2, f(x)=3x2x 4.由，(x)= 0,得 x = 1 或 x = 4.3一9450又 f( 2)=0, f(1) = 9, f4 , f(2)=0,f(x)在区间 2,2上的最大值为2最小值为5010.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1, f(1)处的切线方程为y= 3x+ 1.(1)求a, b的值；(2)求y=f(x)在-3,1上的最大值.解：(1)依题意可知点 P

8、(1, f(1)为切点，代入切线方程y=3x+1可得，f(1) = 3x 1 + 1=4,.f(1)= 1+a+b+5= 4,即 a+b=- 2,又由 f(x)= x3+ax2+bx+5 得，又 f' (x)= 3x2 + 2ax + b,而由切线y= 3x+1的斜率可知f' (1)=3,解得a= 2,b= - 4, .3+2a+b=3,即 2a+b=0,a+ b= 2, 由2a+ b=0.a= 2, b= 一 4.(2)由(1)知 f(x) = x3+2x2-4x+5,f (x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),令 f' (x)= 0,得 x = 2或 x

9、= 2. 3当x变化时，f(x), f' (x)的变化情况如下表:x-3(-3, -2)-2-2，l231f' (x)十0一0十f(x)8极大值极小值4295，f(x)的极大值为f(2)= 13,极小值为f - =75,32 7又 f(3)=8, f(1)=4, f(x)在3,1上的最大值为13.11 .函数£仅)=，在区间2,4上的最小值为(A. 04C.e41B.-e2D.e2解析：选C f (x) =ex- xex 1 -xex2 ex当 xC 2,4时，f' (x)<0,即函数f(x)在2,4上是单调递减函数，故当x=4时，函数f(x)有最小值e

10、4.12 .函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值，则 a的取值范围为()A. 0,1)B. (0,1)一_八1C. (-1,1) D. 0, 2解析：选 B (x)=3x23a,令 f' (x)=0,可得 a=x2,又 / x (0,1), /. 0<a< 1, 故选B.13.若函数f(x)=x33x29x+k在区间 4,4上的最大值为10,则其最小值为()A. 10B. 71C. 15D. 22解析：选 B f' (x)=3x26x9=3(x3)(x+1).由 f' (x)= 0,彳导 x=3 或 x= 1.又 f(4)=k76, f(3)

11、 = k-27, f(1)=k+5, f(4)=k20.由 f(x)max=k+5= 10,得 k=5, , , f (x)min = k 76 = 71.14.已知当xC 0, 2时，函数f(x)=tx sin x(tC R)的值恒小于李，则 t的取值氾围是A.B. 一0°,2C.D. 2, +°°- -koo? 1兀解析：选A f(x)=tx sin x<0在xC 0, J内恒成立，即t<sin-x在0 J内恒成立， 2x 2sin xxcos x- sin x令 g(x) =,则 g (x) =2.xx令 (j)(x)= xcos xsin x,

12、 则 . (x)=xsin x,.Tt . .兀 .当 xC 0, 2 时，(j) (x)<0,(j)(x)在 0, 2 上单倜递减，(«x)<(f)(0)= 0, 1- sin x>xcos x, . g' (x)<0 , 兀一 兀sin 221 g(x)在0,-内单倜递减，t<=-.2工 兀215 .已知函数f(x) = x+cos x, xC 0, 2 ,当f(x)取得取大值时，x的值为.解析：由题意知f' (x)=1 sin x>0恒成立，.一.万 -.-所以f(x)=x+cos x在0, 2上是增函数.所以当x=2时，f(

13、x)取得最大值.答案：215 一16 .已知函数f(x) = -x2-2x+3在区间a,2上的最大值为,则a=.解析：f1 (x)=-2x-2,令 f' (x)=0,得 x= 1, .函数在(8, 1)上单调递增，15 . 一 1在(1, + 8)上单倜递减.右a> 1,则取大值为 f(a) = - a 2a+3 = 4,斛佝 a = 3151a=2舍去；若 aw 1,则最大值为 f(1)=1 + 2+3 = 414.综上知，a=-2.,1答案：217.已知 aw0,函数 f(x)= ax(x-2)2(x R).若对任意 xC -2,1,不等式 f(x)<32 恒 成立，求

14、a的取值范围.解：因为 f(x)= ax(x24x+4)= ax34ax2+4ax.所以 f' (x)= 3ax28ax+4a= a(3x28x+4)= a(3x-2)(x-2).令 f' (x)=0,得 x = 2或 x=2(舍去)，3当a>0时，f(x)在2, 2上单调递增，在 2, 1上单调递减. 33232故f(x)的取大值为f 3 =27a<32,即a<27.所以 0<a<27.当a<0时，f(x)在一2, 2上单调递减，在 2, 1上单调递增，又 f(-2) = - 32a>f(1) 33=a.所以f(x)的最大值为f(-2

15、)=- 32a<32,即a>1.所以1<a<0.综上可得，a的取值范围为(1,0) U (0,27).一，一一、一 1 一x ,18.已知函数 f(x)=ln(ax+ 1)+(x>0),其中 a>0.1十x若f(x)在x= 1处取得极值，求 a的值;(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.解：(1)f' (x) =ax2+ a 2ax+11 + x 2 ax+1 1 + x 2.因为f(x)在x= 1处取得极值,故 f' (1)=0,解得 a=1.ax2+ a 2(2)由(1)知,f (x) =2,' 'ax + 1 1 + x因为x>0,a>0,故 ax+1>0,1 + x