CHAPTER02-平面问题有限元01-本科生2013春季

1、有限元方法 第2章 1 1第第2章章 弹性力学平面问题有限元弹性力学平面问题有限元 FEM for 2D elasticity 有限元方法 第2章 22.1 弹性力学平面问题基本方程弹性力学平面问题基本方程 2.2 平面问题有限元平面问题有限元-三角形单元三角形单元2.3 高精度三角形单元高精度三角形单元2.4 4节点矩形单元的简单介绍节点矩形单元的简单介绍有限元方法 第2章 3 结构：结构： 杆系，板壳，一般的固体杆系，板壳，一般的固体 在在弹性范围弹性范围 内研究内研究 分析方法分析方法 ： 材料力学材料力学 ， 板壳力学，板壳力学， 船船舶结构力学，舶结构力学， 更一般的更一般的 弹性力

2、学弹性力学 2.1 弹性力学平面问题基本方程弹性力学平面问题基本方程 Basic governing equation2.1.12.1.1弹性力学的基本变量弹性力学的基本变量有限元方法 第2章 42.1.1 2.1.1 一点的应力状态一点的应力状态 stress description 有限元方法 第2章 5有有9个应力分量个应力分量或：或：xxxyxzyxyyyzzxzyzz( , , )iji jx y z有限元方法 第2章 62.1.2 平衡方程平衡方程 equilibrium equation有限元方法 第2章 70X ()()0yxxxxxxxyxyxxdx tdytdydy tdx

3、tdxF tdxdyxy0Y 00yxxxxyyxyyFxyFyx有限元方法 第2章 8 上述结果极易推广到三维微元体的平衡：上述结果极易推广到三维微元体的平衡：000yxxxzxxxyyyzyyyzxzzzzFxyzFxyzFxyz有限元方法 第2章 9 由对原点的弯矩为零，由对原点的弯矩为零， 导致：导致： 称之为称之为剪应力互等定理剪应力互等定理。 由此进一步得到，由此进一步得到， 微元体独立的应力变量为微元体独立的应力变量为6个：个：( , , )xyyxijjiori jx y zxxxyxzxyyyyzxzyzzz Txxyyzzxyyzzx有限元方法 第2章 102.1.3 几何

4、方程几何方程 Geometrical equation有限元方法 第2章 1111()0 xxyyxyudxdxdxA BABuxABdxxudyD DuyA Ddyy图图(a) 有限元方法 第2章 12图图(b) 110()xxyyxyvdydydyA DADvyADdyyvdxB BvxA Bdxx有限元方法 第2章 13最后叠加最后叠加, 并将其定义为应变并将其定义为应变其中：其中：更一般的三微微元体：更一般的三微微元体：xxyyzzxyyzzxuxvywzuvyxvwzywuxzxyxyxyyxuvyx有限元方法 第2章 14 给出了位移给出了位移(displacement) 和和应变

5、应变 (strain) 的关的关系系 , 称之为几何方称之为几何方程，程， 注意它和结注意它和结构是否为弹性体并构是否为弹性体并不相关。不相关。000000 000 xxyyzzxyyzzxxyuzL uvwyxzyzx 有限元方法 第2章 1515 弹性力学的基本变量弹性力学的基本变量-15-15个个应力应力位移位移应变应变 Txxyyzzxyyzzx Tuuvw Txxyyzzxyyzzx有限元方法 第2章 162.1.4 应力应变关系应力应变关系1()1()1()xxxxyyzzyyyyzzyyzzzzxxyyEEE 2(1)2(1)2(1)xyxyxyyzyzyzzxzxzxEGEGE

6、G2(1)EG剪切弹性模量剪切弹性模量 Shear elastic modulus 广义虎克定律广义虎克定律 Hookes Law 有限元方法 第2章 17 CD或 111000100010001(1)1200(1)(12 )2(1)1202(1)122(1)EDsys 1DC有限元方法 第2章 18 整个弹性力学三维问题归结上述整个弹性力学三维问题归结上述15个微分个微分方程的求解，方程的求解， 并由此给出并由此给出15个变量。个变量。 适当的边界条件。适当的边界条件。 位移边界：位移边界： 给定位移给定位移 力边界：力边界： 给定边界力（另外再给出）给定边界力（另外再给出）有限元方法 第2

7、章 192.1.5 平面应力和平面应变平面应力和平面应变 planar stress and strain 杆系结构杆系结构: 长度远大于两个方向的尺度长度远大于两个方向的尺度 变形在轴向采用了平面假设变形在轴向采用了平面假设 只有一个未知函数只有一个未知函数 沿其他两个方向的变形特征是通过沿其他两个方向的变形特征是通过假定假定 比如比如： 拉压直杆、梁的弯曲拉压直杆、梁的弯曲 ( )ww x有限元方法 第2章 20 对于梁的弯曲问题，如果是深梁对于梁的弯曲问题，如果是深梁,平面假平面假定不再成立定不再成立 需要分别求出两个方向的位移需要分别求出两个方向的位移.( , )( ( , ), (

8、, )u vu x y v x y有限元方法 第2章 21平面应力平面应力 plane stress 厚度很小厚度很小, 载荷载荷(包括位移边界包括位移边界)和平面和平面 平行平行, 沿沿 均匀分布均匀分布,因此可以近似地认为因此可以近似地认为沿向所有的应力分量为零沿向所有的应力分量为零.oxyz0zzxzyz有限元方法 第2章 22 应变：应变： 平面应力问题独立的变量：平面应力问题独立的变量： ,xxyyxyxxyyxyu v0zxyz()0 xxyyzzE 有限元方法 第2章 23平面应变平面应变 plane strain 横向尺度远小于纵向尺度横向尺度远小于纵向尺度, 载荷载荷(包括位

9、移包括位移边界边界)和和 平面平行平面平行,沿沿 均匀分布均匀分布,认认为沿位移分量为零为沿位移分量为零.oxyz有限元方法 第2章 24位移：位移：由几何方程，由几何方程， 可得应变为：可得应变为：注意注意 但但平面应变问题独立的变量：平面应变问题独立的变量：0w ( , ),( , )uu x y vv x y0zz0zz()zzxxyy ,xxyyxyxxyyxyu v0zzxzyz有限元方法 第2章 251()1()2(1)xxxxyyzzyyyyxxzzxyxyEEE 平面应力和平面应变的转换关系：平面应力和平面应变的转换关系：211EE以后可仅研究平面应力以后可仅研究平面应力 22

10、21()11()12(1)2(1)11xxxxyyyyyyxxxyxyxyEEEE有限元方法 第2章 262.1.6 边界条件边界条件 位移边界位移边界 uuvv有限元方法 第2章 27 力边界力边界有限元方法 第2章 280X cossin0 xxxyxT dsdsdscossinsincosxxxyxxyyyxyyTTTTxxx xyx yxyyy yxy xyTllTTllT 或：或： 有限元方法 第2章 292.1.7 平面问题边值问题的提法平面问题边值问题的提法 未知量：未知量： 2个位移、个位移、3个应力、个应力、3个应变个应变 variable to be determined

11、方程：方程： 3个几何、个几何、3个物理、个物理、2个平衡个平衡 governing equation 边界条件边界条件 boundary condition, B.C 有限元方法 第2章 302.1.8 最小势能原理最小势能原理 The principle for minimum potential energy1 21 2( )TTTAASTTTAASdxdyFu dxdyTu dsDdxdyFu dxdyTu dsu 有限元方法 第2章 31意义：意义： (1) 势能取极小值时，势能取极小值时， 对应的是真实解对应的是真实解 (2) 将解方程的问题转化为求极小值问题。将解方程的问题转化为

12、求极小值问题。 (3) 通过尽可能使得势能极小，可以得到近通过尽可能使得势能极小，可以得到近似解。此即所谓的似解。此即所谓的RITZ方法。方法。有限元方法 第2章 32最小势能原理的证明最小势能原理的证明 1()2()()sxxxxyyyyxyxysxyxysutdsf uf v tdsT uT v td 21()()()()2()()()()()()( )( )( )sxxxxxxxxyyyyyyyysxyxyxyxyxysxyuutdsf uufvv tdsT uuT vv tduuu 有限元方法 第2章 3321( )02xxxxyyyyxyxysutds 1( )()()2()()()

13、()()()ssxxxxxxxxyyyyyyyysxyxyxyxyxyxysxxxxyyyyxyxysxyxysutdsfufv tdsTuTv tdtdsfufv tdsTuTv td xxxxxxxxyyyyyyyyxyxyxyxy 注意到：注意到： 有限元方法 第2章 34上式右边第一个积分可以进一步写为上式右边第一个积分可以进一步写为 ,( )()()()()()()() (xxxyyyxyyxsxxxxx xxx xsxyyxy yxy yyxxyx xyx xyyyyy yyy yxxyxxxyyyysxxH uuvuvtdsuuuuuuvvvvvv tdsuvuvtds ,1,)

14、()( )()()xxy yyx xyy ysxx xxy yyx xyy ysuv tdsH uuv tds有限元方法 第2章 351( )()()()()()()susxxyxxxyyyyxxxxyyyxxyyyxxxxyyxyxxyyyH uuv nuuv n tdsnnunnv tdsnnunnv tds ,2,( )()()()()()()( )()()()(ssxxxxyyyxxyyyxyxx xxy yyx xyy ysxysxx xxy yxyx xyy yyysxxxxyyxuuunnunnv tdsTuTv tduv tdsfufv tdsufufv tdsnnTu 2)(

15、 )syxxyyyynnTv tdsu有限元方法 第2章 36由于由于( )u必然有上述的平衡方程和力边界条件得以满足。必然有上述的平衡方程和力边界条件得以满足。所以所以（1 1） 满足位移边界的势能极小等价于平衡方程满足位移边界的势能极小等价于平衡方程和力边界条件和力边界条件（2 2） 解微分方程的问题转化为极小问题解微分方程的问题转化为极小问题对于的极小对于的极小( )u变形能外力做功有限元方法 第2章 372.1.9 经典弹性力学的近似解经典弹性力学的近似解- RITZ方法方法有限元方法 第2章 38 举例举例1 简支梁的计算简支梁的计算 一旦假定了位移的形式，一旦假定了位移的形式， 则

16、极小化问题变为对则极小化问题变为对待定参数的极小化待定参数的极小化 只是对所选定位移函数形式，导致的极小化，只是对所选定位移函数形式，导致的极小化， 不是不是所有的满足位移边界条件的位移函数所有的满足位移边界条件的位移函数， 因因此是近似。此是近似。 整个位移函数是在整个整个位移函数是在整个结构区域结构区域选取的。选取的。siniii xwaL2221()( )2LLwEIdxqw x dxx 有限元方法 第2章 39第第2章章 作业作业1-3有限元方法 第2章 40第第2章章 作业作业44 请说明下列问题是平面应力还是平面应变请说明下列问题是平面应力还是平面应变?（1）船体梁在总纵弯曲状态下

17、，甲板的应力）船体梁在总纵弯曲状态下，甲板的应力 ；（2）潜艇耐压壳体在水下外压作用；）潜艇耐压壳体在水下外压作用；（3）水工结构中的坝体；）水工结构中的坝体；（4）船体结构强横梁腹板）船体结构强横梁腹板有限元方法 第2章 412. 2平面问题有限元平面问题有限元-三角形单元三角形单元2.2.1 单元的划分单元的划分e 有限元方法 第2章 42有限元方法 第2章 43 单元局部编号单元局部编号 单元总体节点编号单元总体节点编号 节点位移节点位移: 单元节点位移单元节点位移 ：, ,ei j k1,2,3e iiiuv ,iijjkk Teuu v uv uv有限元方法 第2章 442.2.2

18、三角形单元的位移模式三角形单元的位移模式 如果节点位移已知，如何给出单元内部任如果节点位移已知，如何给出单元内部任意一点的位移？意一点的位移？ FEM的思想：单元内部插值的思想：单元内部插值 问题问题: 单元内任意一点的位移是什么形式单元内任意一点的位移是什么形式? 先假定单元内部的变形为一多项式先假定单元内部的变形为一多项式, 这在这在一个小的范围内是可行的。类似与曲线上一个小的范围内是可行的。类似与曲线上相近两点之间可以近似用直线代替。相近两点之间可以近似用直线代替。有限元方法 第2章 45 先假定单元内部的变形为一多项式先假定单元内部的变形为一多项式 再进一步确定系数再进一步确定系数 如

19、何确定多项式的系数？如何确定多项式的系数？ 将其表示为节点位移的函数，只要节点位移给将其表示为节点位移的函数，只要节点位移给出，出， 则问题得以求解。则问题得以求解。 yxu321有限元方法 第2章 46位移模式或位移函数位移模式或位移函数yxu321yxv654)6 , 1( ii 123iiiuxy123jjjuxy123kkkuxy 在节点上应满足节点位移在节点上应满足节点位移 有限元方法 第2章 47111()2iiijijkjjijkkkkuxyuxyaua ua uDAuxy21111()21iijijkjijkkkuyuybub ub uDAuy31111()21iijijkji

20、jkkkxuxucuc uc uDAxu有限元方法 第2章 481211iijjkkxyAxyDxyjjijkkjkkxyax yx yxy11jijkkybyyy 11jikjkxcxxx有限元方法 第2章 49123, ,1()21()21()21()2ijkijkijkijkijkijkiiiii j kuxyaua ua uAbub ub uxAcuc uc uyAab xc y uAijkijkijkijkuN uN uN uvN vN vN v1()( , , )2iiiiNab xc yi j kA有限元方法 第2章 50 将其表示为节点位移的函数，其数学本质就是将其表示为节点位

21、移的函数，其数学本质就是由三个顶点的位移去插值（关于插值的理解后由三个顶点的位移去插值（关于插值的理解后面会进一步讨论）任意一点的位移。面会进一步讨论）任意一点的位移。000000iijijkjjikkkuvuNNNuuNNNvvuv euNu有限元方法 第2章 51关于插值的理解：关于插值的理解： 两个点线性插值两个点线性插值1122(),()y xyxyaxb121122x xx xyaxbyyaxby21121221( )xxxxy xyyxxxx1122( )( )( )y xN x yNx y有限元方法 第2章 52形函数（插值函数）形函数（插值函数）Nshape function 请注意：我们只是在单元上假定位移的形式请注意：我们只是在单元上假定位移的形式有限元