第九章重积分72341

1、重积分二、典型错误分析例1 求二重积分，其中。错解 因为，所以，故。分析 积分区域是一个三角形，而在上述求解时积分区域却成了正方形。正确解法。例2 求二重积分，其中。错解 令，则。分析 由于，则，而上述解答中错误地认为。正确解法 。例3计算，其中是由及所围成图形的公共部分。错解 令和分别为大、小圆面，则。分析 答案虽然正确，但是解法有问题。因为在小圆内的被积函数，我们不知道，而错误地看成了和大圆的被积函数一样。正确解法 由于被积函数和积分区域都是对称的，故。例4改变积分的次序。错解 原式。分析 问题出现在上，因为在轴的下方区域取负值，因此。正确解法 原式。例5求由平面，与柱面（）所围成的体积错

2、解 原式分析 问题出现在不能保证在以为投影的区域内的非负性。正确解法 原式例6求球面和柱面（）所包围的且在柱面内部的体积。错解 因为所求体积的形体关于平面对称，于是原式分析 问题出现在不能保证成立。正确解法 原式例7计算三重积分，其中由锥面与平面（）围成的区域。错解 因为分析 问题出现在对的积分上限，错误地认为是，而应该为。正确解法 例8计算三重积分，其中：。错解分析若从积分的物理意义去理解，起错误是明显的。把三重积分看成质量，则被积函数就是球体的密度，它与球体上的点到原点的距离的平方成正比（比例系数为1），仅当点在球面上时，其密度才是。正确解法 采用球坐标计算三、综合题型分析例 9、求椭球体

3、的体积。分析由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。作广义极坐标变换 （）。这时椭球面化为。又，于是。所以椭球体积。例10、估计积分的值，其中是由圆周围成。分析 由重积分的性质：在区域上，如果，则，来进行估计。解 先求函数在区域上的极值。因为没有驻点，所以最值一定在边界取得。设，则由拉格朗日乘数法得驻点为和，比较得的最小值，最大值。因为积分区域的面积为，故。例11、估计积分的值。分析 可以由重积分的性质：在区域上，如果，则，来进行估计。也可以由积分中值定理来估计，在本质上是一致的。解 因为函数在闭区域上连续，所

4、以在上至少存在一点使得，显然，而积分区域的面积为，故。例12、计算分析 直接计算是困难的，要交换积分顺序。解例13、计算积分，其中区域为在第一象限的部分。分析 被积函数中含圆，如果用直角坐标计算是困难的，采用极坐标计算。注意：一般来说，对被积函数或积分区域含圆，扇形，半圆，圆环等，往往采用极坐标计算比较简单。解 设，则，令，则原式。例14、计算分析 被积函数中含有绝对值的积分，在计算是先要去掉绝对值，这是解题的一般方法。解 由函数和积分区域的对称性，其中是在第一象限的部分，故。例15、设函数连续，且，其中由，围成，求。分析 这是一道综合题目，表面看来很复杂，只要分析清楚了并不难。首先可以知道积

5、分是一个常数，因此变为，两边再求二重积分就可以坚决了。解 设，则。故，两边求二重积分，则，从而，故。例16、计算，其中。分析 被积函数中含有绝对值的积分，在计算是先要去掉绝对值，这是解题的一般方法。因此要将积分区域分成几部分。解积分区域被球面分成上下两部分和，故以上积分均要采用球面坐标计算。故。例17、设为连续函数，证明，其中分析 这种类型的题目有一点小技巧，解题的常用方法是坐标变换。解 令，则，所以积分区域由变为，且雅可比式为。例18、计算二重积分，其中。分析 这道题本质上是一道分段函数积分题，关键是把用分段函数表示出来。解 设，则例19、设是连续可导的函数，且，已知，其中，求。分析 这是一

6、道综合题目，先用球面坐标先计算，然后用罗必达法则计算极限。解。因为，由罗必达法则得。例20、设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：,其中D为圆环域：。分析 这是一道综合题目，涉及的知识点多，有极限、重积分、偏导数。由于积分区域为圆，要先化为用极坐标。解法1：令，则，从而。在单位圆的边界上取值为零，则当时，。因此，故。解法2：令，则。令为（逆时针），为（顺时针）即，则，。四、考研试题分析例21(2005年高数一) 设围成的空间区域，的整个边界的外侧，则。答案 分析 用Gauss公式和求空间物体体积，此题无其它技巧。解答 用Gauss公式得即空间区域体积的三倍。容易求出锥面与半球面

7、 的交线为 。用柱坐标求积分，。例22(2005年高数一)设表示不超过的最大整数，计算二重积分分析 由于含圆，所以用极坐标求解。解法1解法2 记 ，则有 ，。于是。23、（2004年高数二）设函数连续, 区域, 则等于（A）.（B）.（C）.（D）答案 分析 将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标系,并在两种坐标系下化为累次积分. 将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限.解 积分区域见图.在直角坐标系下,故应排除（A）、（B）.在极坐标系下, ,故应选（D）。24、（2005年高数二、高数三）计算二重积分其中分析 将绝对值在积分中

8、的处理和二重积分在直角坐标系/极坐标系中的计算公式相结合即可。解如图,将D分成D1与D2两部分.,由于,其中,因此.25、（2005年高数二）设区域， f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则A、.B、.C、. D、答 D 分析 对于选择题，可以用适合条件的特殊函数代入的方法确定答案。解 本题取，故应选结论（）。如果不用特殊函数代入的方法，要计算积分，注意到区域关于直线对称，因而被积表达式中的和对调积分值不变。故有即得。26、（2003年高数一）设函数f(x)连续且恒大于零，其中，(1) 讨论F(t)在区间内的单调性.(2) 证明当t>0时，分析(1) 先分别在球面坐标下计算分子的

9、三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.解 (1) 因为，所以在上，故F(t) 在内单调增加.（2） 因，要证明t>0时，只需证明t>0时，即令 ，则 ，故g(t)在内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0).又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，注： 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：，在上式中取f(x)为，g(x)为即可。27、（2005年高数三）设, ,其中A、B、C、D、（ A ）分析 由重积分的性质：在区域上，如果，则，来进行比较。解 在积分区域 上有且等号仅在区域D的边界 上成立，从而在积分区域D上有且等号也仅仅在区域D的边界 上成立，此外，三个被积函数又都在区域D上连续，按二重积分的性质即得，故应选结论（A）。注：考虑D上，注意在 上单调减少性即可。另外，用到二重积分的性质。28、（2001年高数一）交换二次积分的积分顺序= 。分析 这是一道基础题目，画出积分区域容易解答。解