第十二章 数项级数

1、第12章 数项级数§1级数的收敛性1.证明下列级数的收敛性，并求其和数： （1）解：（1）因为所以，由定义知该级数收敛，且和为。（2）是公比为的级数，故收敛于，同理收敛于，由级数的性质知，收敛于。（3）因，从而。故该级数收敛，其和为。（4）因为其通项为所以。所以。故该级数收敛且其和为。（5）由于所以，。故原级数收敛，且其和为3。2. 证明：若级数发散，,则也发散。证：（反证法）若收敛，则由知，由定理12.2知也收敛,与题设矛盾,从而当发散时,也发散.3. 设级数和都发散，试问一定发散吗？又若与（n=1,2,.）都是非负数，则能得出什么结论？解：当都发散时,不一定发散.例:=都发散,而

2、=0+0+0+收敛.但当与（n=1,2,.）都是非负数时,则一定发散,证明如下:由发散知,对任何自然数,总存在自然数和,有从而由柯西准则知发散.4. 证明：若数列收敛于a,则级数。证明: 由已知,而所以,5. 证明：若数列有，则(1)级数发散；(2)当时，级数=.证明:(1)因所以. 故级数发散.(2)当时,从而因此=.6. 应用第4，5题的结果求下列级数的和：解: (1)因为而数列收敛于零,由习题4知(2)因为而数列收敛于零,所以由习题4知(3)而数列收敛于0,由了习题4知7. 应用柯西准则判别下列级数的收敛性：解:(1)任给自然数及,有而于是任给当时,任给自然数,都有由柯西准则知该级数收敛

3、. (2) 取,对任一,取则且由柯西准则知该级数发散.(3)任给,取当时,任给正整数都有由柯西准则知该级数收敛.(4)取对任一,取则由柯西准则知该级数发散.8. 证明级数收敛的充要条件是：任给正数，存在某自然数N,对一切n>N,总有证明:(必要性) 若收敛,则由柯西准则知:任给,存在自然数,使当时,取则对任何有(充分性) 若任给,存在某自然数,对一切.总有则对一切都有由柯西准则知收敛.9. 举例说明：若级数对每一个自然数p满足条件此级数仍可能不收敛。解:例如级数,对每一个自然数,有但级数发散.10. 设级数满足:加括号后级数收敛,且在同一括号中的符号相同,证明亦收敛.证明:因为收敛,所以

4、由柯西准则知:当时,对一切有设为任一自然数,则存在使得从而         故由柯西准则知收敛.§2 正项级数1 应用比较原则判别下列级数的收敛性：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)解：（1）由于而正项级数收敛，故收敛。（2）因为当时，而收敛（），故收敛。（3）因为时，而正项级数发散，故原级数发散。（4）因为，而正项级数收敛，故原级数收敛。（5）因为，而正项级数收敛，故原级数收敛。（6）因为，而发散，故原级数发散。（7）因为。又发散，故发散。（8）因为当时，则，所以，而收敛，

5、故原级数收敛。（9）因为，则为正项级数而收敛，故收敛。2.用比较判别法或根式判别法鉴定下列级数的收敛性：（1） ；（2）；（3）； （4）（5）； （6）； （7）（其中且）。解（1）因为依据比式判别法，级数发散。（2）因为依据比式判别法，级数发散。（3）因为。依据根式判别法，级数收敛。（4）因为级数收敛。（5）因为级数收敛。（6）因为。级数发散。（7）因为。 （1）当a>b时，依据根式判别法，级数收敛。 （2）当a<b时，依据根式判别法，级数发散。 （3）当a=b时敛散性不定3.设和为正项级数，且存在正数对一切n>有。证明：若级数，则级数也收敛；若发散，则也发散。解 由题意

6、知：当时，从而对，有故由于是常数，故由比式判别法知，当收敛时，收敛，当发散时，也发散。4.设正项级数收敛，证明级数也收敛；试问反之是否成立？解：由收敛知于是存在N，当时，从而时，有由比较原则推得收敛，则收敛，既得收敛反之不成立。例如收敛，但发散。5.设且数列有界，证明级数收敛。解：因有界，所以，对一切n有，则收敛从而，而收敛（M为常数），由比较原则知，收敛。6设级数收敛，证明级数也收敛。解：对任意正整数n，由于而都收敛，得收敛，由比较原则，收敛。7 设正项级数收敛。证明级数也收敛。解：级数 收敛，所以级数收敛，因此级数收敛。且，而由已知收敛，从而收敛，由比较原则知收敛8.利用级数收敛的必要条件

7、,证明下列等式：（1）;（2）.解：(1) 设,则正项级数是收敛的,这是因为,故由柯西准则可知.(2) 设,则正项级数是收敛的,这是因为,故由柯西准则可知.9.用积分判别法讨论下列级数的收敛性：（1）；（2）；解：（1）设则在上为非负递减函数，而故由积分判别法知收敛.(2) 设,故在上为非负递减函数，而,故发散,于是由积分判别法知发散.§3 一般项级数1.下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散：（1）;（2）（3） （4） （5） （6）（7） （8）解：（1）因为 而收敛，所以为绝对收敛。（2）因为 所以发散(3)当时,故这时级数发散 当而收敛,故这时级数绝对收敛. 当时,令则 而

8、 从而当充分大时,有,即为单调递减，又有.故由定理12.11(莱布尼茨判别法)可知，级数在时条件收敛.(4) 因为 而发散,即原级数不是绝对收敛级数,但是单调递减且所以由莱布尼茨判别法可知条件收敛. (5) 由于发散,收敛,故发散. (6) 因为,而发散,即不是绝对收敛级数,但是单调减且,所以绝对收敛级数绝对收敛. (7)因为 所以绝对收敛. (8)因为, 所以当时, 原级数绝对收敛;原级数发散.2.应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性：(1);(2);(3).解：(1)数列，当时有，同时，当0<x<1时有 ，即严格递减且有界；当x=1时，原级数即为，满足莱布尼兹条件，即收敛；当x>1时有 ，即严格递增且有界.又由于是收敛的,故由阿贝尔判别法知原级数收敛.(2)由于