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文档简介

1、第九章 重积分（第一部分）二重积分一、二重积分的概念 1定义 ： .2几何意义： 表示曲顶柱体的体积3物理意义： 的质量. 二、二重积分的性质1线性性质：.2可加性：.3的面积：.4单调性：若在上，则.5估值性质：设，是的面积，则. 6中值定理：设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点，使得 .7奇偶对称性：8轮换对称性：若和互换后区域不变，即关于直线对称，则.三、二重积分的计算方法1利用直角坐标计算（关键：选择积分次序） .（1）型区域： ，（见图（a）. 图（a） 图（b）（2）型区域： ，（见图（b）.2利用极坐标计算：. 3.二重积分的换元法设在平面上的闭区域上连续，变换将平

2、面上的闭区域变为平面上的闭区域，且满足(1) 在上具有一阶连续偏导数；(2) 在上雅可比式： ；(3) 变换是一对一的，则有.五、二重积分的应用1几何应用 （1）曲顶柱体的体积 （其中）. （2）曲面面积 .2物理应用（1）质量 .（2）质心 ，.（3）转动惯量 ，.（4）引力 .四、例题例1. 计算二重积分，其中.分析首先在给定的积分区域内，求出被积函数的解析表达式，即去掉最大符号，然后计算二重积分。解画出区域的图形如图所示。 ，其中，则因，于是 .例2. 求，：. 分析 此题若直接计算，需将积分区域分为4部分麻烦，可利用对称性。解.例3. 求，：.解：因为区域关于直线对称，利用轮换对称性有

3、.例4. 证明.分析 观察所要证明的等式的左右两边不难发现，等式左边是一个二次积分，可视作是一个二重积分化成的二次积分，而等式的右端是一个定积分。对于二重积分来说，若能够化为二次积分并积出一次便可化为定积分。因此，证明上式的关键在于将左边的二次积分交换次序。解 设为：；把表示成型区域为：；于是有.例5.求积分解 例6.计算二重积分，其中分析若将二重积分直接化为极坐标系下的二次积分，积分会很麻烦，故考虑将极坐标转化为直角坐标。解 ， 例7. 设，求，其中：.分析 此题看似为无界区域上的二重积分，但因被积函数只在部分区域内非零，因此，只需在积分区域和被积函数非零区域相交部分积分即可。解 ，则 .例8. 求，其中是由轴、轴和直线所围成的闭区域

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